根据交点确定不等式的解集典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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根据交点确定不等式的解集典型题型 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．
(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
2．如图，抛物线与坐标轴交于点O，B两点，直线与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为．
(1)求b和k的值；
(2)求出点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若对于，，都有，求证：；
(3)若对于，，都有，求的取值范围．
4．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
5．已知：一次函数的图象与抛物线（为常数）的一个交点为．
(1)求的值．
(2)直接写出当时，的取值范围．
(3)若将抛物线（为常数）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线上，求关于的函数表达式．
6．如图，抛物线 经过两点．
(1)设直线的解析式为．
①求直线与抛物线的解析式；
②直接写出不等式 的解集．
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．
(2)设直线的函数表达式为，请结合图象直接写出不等式的解集．
(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点，，交直线于点，若，求的取值范围．
9．已知二次函数（m为常数）．
(1)若二次函数经过点，求m的值；
(2)若二次函数经过点和点，当时，求m的取值范围；
(3)将抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线与x轴的两个交点的距离为4，求k的值．
10．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点，在抛物线上，若，请求出的取值范围；
(3)设点为抛物线上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的上方，求的取值范围．
11．已知函数与（a为常数，且）．
(1)若，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点；
(2)若，当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，，直接写出a的取值范围．
12．已知二次函数的图像的对称轴为直线．将二次函数的图像中轴左侧部分沿轴翻折，将这部分图像与原抛物线剩余部分的图像组成的图像记为．
(1)求的值．
(2)当时：
①直接写出图像对应的函数解析式；
②过点作直线平行于轴，求出直线与图像的交点的横坐标．
(3)已知两点，，当线段与图像恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．(1)，顶点坐标为
(2)或
(3)或
本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求得，再根据图象求解即可；
（3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．
（1）解：将点代入，得，
∴．
当时，，
解得，
∴点．
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
观察图象，得不等式的解集为或；
（3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，
如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；
当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点，
∴n的取值范围为或．
2．(1)，
(2)，
(3)或
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出b和k的值即可；
（2）联立两个函数解析式求出点A的坐标，图象法求出不等式的解集即可；
（3）根据抛物线与线段有交点，得到点在线段上，求出的值，进而求出m的取值范围即可．
（1）解：把分别代入和，得：
，
∴；
（2）由（1）知，两个函数的解析式分别为：，
联立，
解得：或，
∴；
由图象，可知：不等式的解集为；
（3）∵抛物线与线段有交点，
∴点在线段上，
∴，
当时，
解得：，
∴当时，或．
3．(1)抛物线的对称轴
(2)见解析
(3)或
本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据对称轴运算求解即可；
（2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可；
（3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可．
（1）∵二次函数解析式为，
∴抛物线的对称轴．
（2）证明：设点关于对称轴的对称点为，
∵抛物线的对称轴，，
∴，
∵点，在对称轴左侧，，且，
根据二次函数性质，时，随的增大而减小，
∴，
∵，
∴，，
∴当时，，
把代入函数解析式得．
（3）∵抛物线的对称轴，，
∴点在对称轴右侧，
①当点在对称轴右侧时，
∵时，，
根据二次函数性质，时，随的增大而增大，
∴，
②当点在对称轴左侧时，
设点关于对称轴的对称点为，
∵，
∵，，
∴，
根据二次函数性质，时，随的增大而增大，
∴，则，
综上可知，或．
4．(1)
(2)
(3)；
（1）令直线解析式，即可求得点B的坐标，令，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）过点P作轴于点H，交直线于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解．
（1）解：时，，，
，
时，，
，
将，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
时，
由函数图象可得：；
（3）解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F，
设点，
则点，，
，
，
，轴，
是等腰直角三角形，，
，
，
∵P在直线下方，
，
，对称轴为直线，
当时，，
此时点P坐标为．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
5．(1)
(2)当时，
(3)
（1）根据题意，利用待定系数法，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意，联立方程组求出两个图象交点坐标，数形结合由函数图象解不等式的方法求解即可得到答案；
（3）根据函数图象的平移法则得到平移后的抛物线解析式，再由新抛物线顶点落在直线上，代值变形即可得到答案．
（1）解：一次函数的图象与抛物线（为常数）的一个交点为，
，解得，
；
（2）解：联立方程组，解得或，
作出一次函数的图象与抛物线（为常数）在同一坐标系中，如图所示：
当时，；
（3）解：由（1）知抛物线为，
若将抛物线的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到新抛物线为，其顶点坐标为，
平移后的抛物线的顶点落在直线上，
．
本题考查一次函数与二次函数综合，涉及函数图象与性质、待定系数求系数、解二元一次方程组、求函数图象交点坐标、作函数图象、利用函数图象解不等式、函数图象平移等知识，读懂题意，掌握相关函数图象与性质解函数综合题目是解决问题的关键．
6．(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或
(2)或
本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键．
（1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式；
②根据图象写出答案即可；
（2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解．
（1）解：①把，分别代入可得，
，解得，
则抛物线的解析式为．
把，分别代入可得，
，解得，
则直线的解析式为．
②不等式的解集为或；
（2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令，
解得：，，
故P，Q两点的坐标分别为，．
如图，当直线，经过点时，可得；
当直线经过点时，可得，
的取值范围为，
翻折后的二次函数解析式为．
当直线与二次函数的图象只有一个交点时，，
整理得：，，
解得：，
的取值范围为：，
由图可知，符合题意的的取值范围为：或．
7．(1)
(2)a的取值范围是或
(3)或
本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
（1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据确定m的取值范围．
（1）解：∵，为抛物线上的对称点，
∴，
抛物线的对称轴；
（2）解：∵过，，
∴，，，
∴对称轴．
①当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
②当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴，
综上：a的取值范围是或；
（3）解：∵点在抛物线上，
，
∵点，在抛物线上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为或．
8．(1)，点A的坐标为
(2)或
(3)
本题考查了求出抛物线的解析式和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把代入抛物线，求出抛物线的解析式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图象求出不等式的解集即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，根据二次函数性质求出，由，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方，求出直线的函数表达式为，令，得出，求出结果即可．
（1）解：∵点是抛物线上一点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
令，
解得，．
∴点A的坐标为．
（2）解：根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在二次函数图象的上面，
∴不等式的解集为或；
（3）解：∵直线l平行于x轴，
∴，即点关于对称轴对称，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，
∴，由，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
令，
解得，
∴．
∴．
9．(1)；
(2)；
(3)；
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将点代入求解即可得到答案；
（2）将点代入解析式，结合列不等式求解即可得到答案；
（3）根据平移得到新函数，先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与积的式子，再结合与x轴的两个交点的距离为4列式求解即可得到答案；
（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
解得：；
（2）解：∵二次函数经过点和点，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵抛物线向下平移k个单位，
∴，
当时，
，
∴，，
∵新抛物线与x轴的两个交点的距离为4，
∴，
解得：．
10．(1)
(2)或
(3)
（1）根据对称轴，列式，即可求解，
（2）分别将，代代入抛物线的表达式，根据抛物线的增减性，即可求解，
（3）分别求出当，时，点关于轴的对称点的坐标，根据正负性，分情况讨论，即可求解，
本题考查了，求抛物线解析式，抛物线的增减性，根据交点确定不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，解得：，
故答案为：，
（2）解：将代入抛物线的表达式，得：，
将代入得：，解得：，，
∵，
∴当或时，，
故答案为：或，
（3）解：设点关于轴对称点为，则点运动的轨迹如图所示：
∵当时，，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
∵当时，，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
①当时，
∵点关于轴的对称点都在直线的上方，
∴，解得：，
②当时，
∵点关于轴的对称点都在直线的上方，
∴，解得：，
故答案为：．
11．(1)见解析
(2)当时，；理由见解析
(3)或
本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，
（1）令，得，证明，即可得与的函数图象总有两个公共点；
（2）设，可得图象的对称轴为直线，故y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，而当时，，当时，，即可知；
（3）由（2）知的图象的对称轴为直线，根据当时，，可知当时，y的最大值为负数，分两种情况：当时，在时取最大值，有，当时，在顶点处，即时取最大值，有，解不等式可得答案；
解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，即与的函数图象总有两个公共点；
（2）设，
∵函数的图象的对称轴为直线，
∴函数的图象在时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，
当时，，
∵，
∴，即时，，
∴，
当时，，
∴，
综上所述，当时，；
（3）由（2）知的图象的对称轴为直线，
∵当时，，
∴当时，y的最大值为负数，
当时，
∵，
∴在时取最大值，
∵，
∴，解得，
∴；
当时，在顶点处，即时取最大值，
∴，解得，
∴，
综上所述，a的范围是或．
12．(1)
(2)①；②直线与图像的交点的横坐标为，；
(3)或
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的翻折变换，二次函数的图像及性质，图形翻折的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴，即可求得的值；
（2）①根据抛物线沿轴翻折可得，即可求得；
②当，时，，可得；当，时，，可得；
（3）通过画函数的图像，分类讨论求解即可．
（1）抛物线的对称轴为直线，
，
；
（2）当时，，
①将二次函数的图像中轴左侧部分沿轴翻折，所得抛物线的解析式为，
图像对应的函数解析式为；
②当时，，
解得：，
，
；
当时，，
解得：，
，
；
综上所述，直线与图像的交点的横坐标为或．
（3）关于轴对称的抛物线解析式为，
如图1，当经过点时，，
解得：，
，当时，，
与线段有一个交点，
时，当线段与图像恰有两个公共点；
如图2，当经过点时，，
此时图像与线段有三个公共点，
时，线段与图像恰有两个公共点；
如图3，当经过点时，，
此时图像与线段有两个公共点，
当的顶点在线段上时，，
解得，
此时图像与线段有一个公共点，
时，线段与图像恰有两个公共点；
综上所述：或时，线段与图像恰有两个公共点．
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