抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．已知二次函数（c为常数）．
(1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解：
(3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值．
(2)若，直线与该抛物线有两个交点，其坐标分别为和．当时，求的最小值．
3．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点．
(1)求这个二次函数图象的对称轴；
(2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值．
4．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围；
(3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值．
5．已知抛物线G：．
(1)当时，求x的值；
(2)点是抛物线上一点，若，且时，求m的值；
(3)当时，把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出n的取值范围．
6．已知点、在二次函数的图像上，当时，．
(1)① ；
②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ．
(2)若是图像上的两点，且，求的取值范围．
(3)若对于任意实数、都有，则的取值范围是 ．
7．在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
(1)若，当时，，求的函数表达式．
(2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
(3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
8．在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且）
(1)若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标；
(2)若二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，求代数式的值．
9．已知抛物线
(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长．
10．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标；
(3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设．
①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
②当时，直接写出m的取值范围．
11．抛物线，直线的解析式为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标；
(2)探究抛物线与直线的交点情况并说明理由；
(3)若抛物线经过点，且对于任意实数满足两个条件：
①不等式都成立；
②当时，抛物线的最小值为，求直线的解析式．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，且经过点，且对称轴为直线．点、、是该抛物线上三个动点，其横坐标分别为，，．连结、，并以、为邻边构造平行四边形．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)当时，求的面积；
(3)当时，求的取值范围；
(4)当平行四边形的边与抛物线存在非平行四边形的顶点的其它交点时，记此交点为点，取的中点记为，当的面积是平行四边形面积的时，直接写出的值．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解；
（2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可；
（3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解．
（1）解：由题意得：
，
解得：；
（2）解：把点代入二次函数得：，
∴，
∴一元二次方程为，
解得：；
（3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线，
∵，且，
∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值，
∴，
∴．
2．(1)①顶点坐标为；②
(2)当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把代入解析式，化一般式为顶点式，即可得到顶点坐标；②根据抛物线与轴有两个不同交点，得到，进而求出的值，得到函数解析式，求出时的的值，即可得出结果；
（2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，再代入二次函数解析式，得到的值，再将，分别代入两个解析式，求出的值，进而求出函数解析式，分3种情况，求出最值即可．
（1）解：①当时，代入抛物线并化为顶点式得：
，
顶点坐标为．
②为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，
．
，
，
抛物线为，
当时，，解得：，．
∴；
（2）解：，直线与该抛物线有两个交点，其坐标分别为和，
．解得：．
∴，代入，得：．
∴，
，
．
．
直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得：
，解得：，
抛物线为．
的图象开口方向向上，对称轴为直线．
①当，即时，，随的增大而减小，
当时，取最小值为．
②当，即时，，随的增大而减小，
，随的增大而增大，
当时，取最小值为．
③当时，，随的增大而增大，
当时，取最小值为．
综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为．
3．(1)直线
(2)或
本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求解；
（2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出，解出，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为，再分情况讨论二次函数取得最小值时的值，结合最小值即可求出t的值．
（1）解：二次函数，
二次函数图象的对称轴为直线，
这个二次函数图象的对称轴为直线．
（2）解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
，
解得：，（舍去），
二次函数，
二次函数图象向左平移个单位长度，
新的二次函数为，
新的二次函数图象的对称轴为直线，
，
，
二次函数的对称轴在的范围内，
在取得最大值，在或取得最小值，
①若，即时，在取得最小值，
此时，
解得：，（舍去），
的值为；
②若，即时，在取得最小值，
此时，
解得：，（舍去），
的值为；
综上所述，t的值为或．
4．(1)
(2)或
(3)
本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标；
（2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或；
（3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解．
（1）解：将点代入中，
解得：，
∴，
整理得，
则顶点坐标为；
（2）解：将代入，
解得
∵，当时，
解得，，
∴或；
（3）解：设直线的函数表达式为
将，代入得
，
解得：
∴直线的函数表达式为
设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得
即
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴．
5．(1)或
(2)m
(3)
本题主要考查二次函数的图象与性质．
（1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解；
（2）依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解；
（3）依据题意，当时，抛物线G为，从而表示出H为，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线H与x轴有交点，故，进而可以得解．
（1）解：由题意，，
又∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：由题意，，
∵，
∴当时，函数有最大值为，
又此时点是抛物线上一点，时，都有，
∴，
∴；
（3）解：由题意，当时，抛物线G为，
∴把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H为，
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，
又若当时，，
∴，
∵开口向下，
∴，
又∵抛物线H与x轴有交点，
∴，
∴，
∴．
6．(1)①；②4
(2)
(3)
本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式得关系．
（1）①根据题意可得对称轴为直线，继而列式解出的值；②利用即可求出的值；
（2）根据抛物线对称性特点，点关于直线的对称点为，再根据二次函数增减性列出不等式即可求解；
（3）根据题意可得二次函数最小值为，继而得到的取值范围．
（1）解：①∵当时，，
∴对称轴为：直线，
∵点、在二次函数的图像上，
∴，即：，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵抛物线与轴只有一个公共点，
∴，即：，
故答案为：；
（2）解：∵对称轴为：直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，，
∴，
∴
∵，，对于任意实数、都有，
∴，
∴，
故答案为：．
7．(1)
(2)两个，理由见解析
(3)
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出根的判别式即可判断；
（3）分3种情况求解：当时；当时；当时.
（1）解：把代入得，，
当时，，
，
，
二次函数的关系式为；
（2）解：，
∴
函数的图象与轴有两个交点；
（3）解：的对称轴为直线：，
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，即，
解得：（舍去），
；
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，不符合题意；
当时，
函数最大值为：，
函数最小值为，
，即，
（两个都不符合题意，舍去）；
的值为.
8．(1)该二次函数图像与轴的交点坐标为或
(2)
本题考查抛物线与轴的交点，一次函数与二次函数的交点问题，代数式求值，解答本题的关键是掌握相关知识．
（1）将的值代入题目中的函数解析式即可得到该函数的解析式为，然后令求得的值，从而可以得到二次函数图像与轴的交点；
（2）根据二次函数图像抛物线与直线有且仅有一个交点列出等式，得到一元二次方程有且只有两个相等实根，由得到，即可求解．
（1）解：当时，二次函数为，
令，则，
解得：，，
该二次函数图像与轴的交点坐标为或；
（2）二次函数的图像与直线有且仅有一个交点，
有两个相等的实数根，
，
，即，
为常数，且，
等号两边同时除以得：，即，
，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)6
本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式．
（1）证明，即可求解；
（2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解．
（1）证明：
，
故此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：当时，，
令，则，
解得：或，
∴．
10．(1)；
(2)；
(3)①；②或．
（1）把点、代入，利用待定系数法求解；
（2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标；
（3）① 分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可．
（1）解：把点、代入得：
，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，或3，
∴D点坐标为，
∴.
又∵，，
∴，
∴，
∴F点坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得，，
即，
解方程组，得或，
即M点坐标为．
（3）解：由（1）知，，
∴点C为．
P点坐标为．
过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称，
∴E点坐标为（2，3），如图所示：
①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，．
（ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，；
（ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，．
（iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.．
综合得：．
②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意；
当时，，解得（舍去）或（舍去）；
当时，，解得（舍去）或．
综上所述，m的取值范围为或．
本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．
11．(1)
(2)抛物线与直线必有两个交点，理由见解析
(3)或
本题考查二次函数的综合应用，
（1）将代入求出的值，确定抛物线的解析式，即可得出结论；
（2）联立抛物线方程与直线方程，确定判别式与零的大小关系；
（3）由可得函数最小值为，由抛物线顶点公式可得的值，从而可得抛物线对称轴，分三种情况讨论：①当时，②当，
③当；
解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为：，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）抛物线与直线必有两个交点．理由如下：
联立方程组，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线与直线必有两个交点；
（3）∵对于任意实数，不等式都成立，
∴的最小值为，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
①当时，当时，随增大而减小，
∴时，函数最小值为，
∴，
解得：或（舍去），
此时直线的解析式为；
②当，即时，当时，函数最小值为，
∴，
解得：（舍去）；
③当，即时，当时，随增大而增大，
∴，函数最小值为，
∴，
解得：或（舍去），
此时直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．
12．(1)抛物线的函数关系式为；
(2)的面积为；
(3)的取值范围为；
(4)的值为或．
根据抛物线的对称轴为可得，根据抛物线经过点可得，解方程组求出、的值即可得抛物线的解析式；
分别求出当时点、、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出线段与轴的交点，根据求出结果；
根据抛物线的解析式分别求出点、、的坐标，根据得到关于的不等式组，解不等式组确定的取值范围；
当时，根据平行四边形的性质和点、、的坐标可以得到点的坐标，根据平行四边形的性质可得，从而可得，又因为点是的中点，点是的中点，可以把点、的坐标用含的代数式表示出来，把点的坐标代入二次函数的解析式中得到关于的方程，解方程求出的值；当时，与抛物线不存在交点；当时，即时，利用平行四边形的性质把点的坐标用含的代数式表示出来，根据点在抛物线上，把点的坐标代入二次函数的解析式中得到关于的方程，解方程求出的值．
（1）解：抛物线、为常数，且经过点，且对称轴为直线，
，
解得：，
抛物线的函数关系式为：；
（2）解：当时，，，，
如图，设交轴于，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，，
；
（3）解：当时，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，
，
由得：，
由得：，
解得：；
（4）解：分三种情况：
当时，，
，
，
如图，取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
是的中点，
点的坐标为，，即点的坐标为，
，是的中点，
是的中点，
同理得：，，
点在抛物线上，
，
解得：（舍，；
当时，即，如图，此时与抛物线不存在交点，不符合题意；
当时，即时，如图，连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
点的坐标为，，即点的坐标为，，
点在抛物线上，
，
解得：（舍，；
综上所述的值是或．
本题是二次函数与几何的综合题，本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、解不等式组、平面直角坐标系中两点间的中点的坐标的求法．解决本题时要注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想．
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