第一节 简谐运动及其图像
(分值:100分)
选择题1~11题,每小题7分,共77分。
基础对点练
题组一 简谐运动及图像
1.(多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示,用手将小球向下拉一小段距离后释放,小球便上下振动起来,关于小球的平衡位置,下列说法正确的是 ( )
在小球运动的最低点
在弹簧处于原长时的位置
在小球速度最大时的位置
在小球原来静止时的位置
2.如图所示是某振子做简谐运动的图像,以下说法正确的是 ( )
因为振动图像可由实验直接得到,所以图像就是振子实际运动的轨迹
振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律,并不是振子运动的实际轨迹
振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向
3.(多选)如图甲所示,一水平放置的弹簧振子在A、B间振动,取向右为正方向,振子经过O点时开始计时,其振动的x-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是 ( )
t2时刻振子在A点
t2时刻振子在B点
在t1~t2时间内,振子的位移在增大
在t3~t4时间内,振子的位移在减小
题组二 描述简谐运动的物理量
4.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是 ( )
振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
周期和频率的乘积是一个常数
振幅增加,周期必然增加,而频率减小
做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关
5.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,则下列说法正确的是 ( )
振动周期为4 s,振幅为5 m
前2 s内质点的路程为0
t=1 s时,质点位移最大,速度为零
t=2 s,质点的运动方向沿x轴正方向
6.(多选)如图所示,一水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O为平衡位置,测得A、B间距为8 cm,小球完成30次全振动所用时间为60 s,则 ( )
振动周期是2 s,振幅是8 cm
振动频率是2 Hz
小球完成一次全振动通过的路程是16 cm
小球过O点时开始计时,3 s内通过的路程为24 cm
题组三 简谐运动的表达式
7.(多选)有两个简谐运动,其表达式分别x1=4sincm,x2=5sin cm,下列说法正确的是 ( )
它们的振幅相同 它们的周期相同
它们的相位差恒定 它们的振动步调一致
8.弹簧振子做简谐运动,振子运动范围为0.8 cm,周期为0.5 s,计时开始时具有正向最大加速度,则下列说法正确的是 ( )
振幅为0.8 cm
该振子的初相为
振子的振动方程为x=4×10-3sinm
振子的振动方程为x=8×10-3sinm
题组四 简谐运动的周期性和对称性
9.(2024·重庆西南大学附中高二月考)弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过点O时开始计时,经过0.5 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为 ( )
0.6 s 0.8 s
1.2 s 1.8 s
10.某同学用如图所示装置研究简谐运动,初始时小球静止在O点,现将小球移动到B点后由静止释放,发现小球在B、C两点之间做往复运动。小球经过B点时开始计时,测得经过1.5 s第2次到达C点,且B、C相距20 cm。则 ( )
小球运动的周期T=2 s
小球第2次到达O点用时为0.75 s
t=0.125 s和t=0.625 s时小球速度相同
t=0.125 s时小球位移大小为5 cm
综合提升练
11.如图甲所示,水平弹簧振子的平衡位置为O点,小球在B、C两点之间做简谐运动,规定水平向右为正方向,图乙是小球做简谐运动的x-t图像,则 ( )
小球从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
小球的振动方程为x=0.1sin m
图乙中的P点对应时刻小球的速度方向与加速度方向都沿正方向
小球在前2.5 s内的路程为1 m
12.(11分)如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题:
(1)(3分)质点离开平衡位置的最大距离为多大
(2)(4分)在1.5 s和2.5 s两个时刻,质点向哪个方向运动
(3)(4分)质点在第2 s末的位移是多少 在前4 s内的路程是多少
培优加强练
13.(12分)有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。试求:
(1)(4分)振子的振幅和周期;
(2)(4分)在给出的坐标系中画出该振子的位移—时间图像(至少一个周期);
(3)(4分)写出振子的振动方程。
第一节 简谐运动及其图像
1.CD [平衡位置是振动系统不振动时,小球(振子)处于平衡状态时的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,即小球原来静止的位置,选项D正确,A、B错误;当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,选项C正确。]
2.B [振动图像表示振子位移随时间变化的规律,并不是振子实际运动轨迹,B正确,A、C错误;B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向,D错误。]
3.AC [振子在A点和B点时的位移最大,由于取向右为正方向,所以振子在A点有正向最大位移,在B点有负向最大位移,则t2时刻振子在A点,故选项A正确,B错误;振子的位移是以平衡位置为参考点的,所以在t1~t2和t3~t4时间内振子的位移都在增大,故选项C正确,D错误。]
4.BD [振幅是标量,选项A错误;周期与频率互为倒数,即Tf=1,选项B正确;简谐运动的周期和频率与振幅无关,周期和频率由系统本身决定,选项C错误,D正确。]
5.C [由振动图像可知,周期T=4 s,振幅A=5 cm,A错误;前2 s,即半个周期内,质点运动的路程为2A=10 cm,B错误;t=1 s时,质点位于正向最大位移处,图像切线斜率为0,速度为零,C正确;t=2 s时,图线切线的斜率为负,质点运动方向沿x轴负方向,D错误。]
6.CD [由题意可知周期T= s=2 s,振幅A= cm=4 cm,A错误;频率f==0.5 Hz,B错误;小球完成一次全振动通过的路程s=4A=4×4 cm=16 cm,C正确;小球在3 s内通过的路程为s'=×4A=×4×4 cm=24 cm,D正确。]
7.BC [它们的振幅分别是4 cm、5 cm,不同,选项A错误;它们的圆频率ω相同,由T=知,周期相同,选项B正确;由Δφ=知相位差恒定,选项C正确;由于Δφ≠0,则振动步调不一致,选项D错误。]
8.C [振子运动范围为0.8 cm,所以2A=0.8 cm,振幅A=0.4 cm,故A错误;周期为0.5 s,所以ω==4π rad/s,初始时刻具有正向最大加速度,即振子在负的最大位移处,初相φ0=-,则振子的振动方程为x=4×10-3sinm,故C正确,B、D错误。]
9.B [如图甲所示,
甲
若振子从O点开始向右振动,则振子的振动周期为
T1=4×(0.5+) s=2.4 s
如图乙所示,
乙
若振子从O点开始向左振动,设从O到M的最短时间为t,则有
则可解得t=0.1 s,振子的振动周期为T2=4× s=0.8 s,故B正确。]
10.B [结合题意可知,小球在B、C两点之间做简谐运动,O点为其平衡位置,画出小球从B点开始到第2次到达C点的轨迹如图所示,可知T=1.5 s,解得T=1 s,A错误;由简谐运动的对称性可知,小球从B到O与从O到C用时相等,故小球第2次到达O点用时t=T=0.75 s,B正确;结合时间、位移的对称性可知,0.125 s和0.625 s时小球速度大小相等,方向相反,C错误;设0.125 s时小球运动至D点,此时为小球在B、O间运动的中间时刻,小球从B到O的过程中速度逐渐增大,则小球在BD段的平均速度小于小球在DO段的平均速度,故小球此时在B、O中点靠右侧位置,故0.125 s时小球位移大小大于5 cm,D错误。]
11.D [小球从B点经过O点再运动到C点,之后再返回到B点为一次全振动,A错误;根据题图乙可知,小球的振幅A=0.1 m,周期T=1 s,则ω==2π rad/s,规定向右为正方向,t=0时刻位移为0.1 m,则小球从B点开始运动,初相位为φ0=,则小球的振动方程为x=Asin(ωt+φ0)=0.1sin m,B错误;题图乙中的P点对应时刻小球的速度方向为负,此时刻小球正在沿负方向做减速运动,加速度方向为正,C错误;因周期T=1 s,故2.5 s=T,则小球在前2.5 s内的路程为s=×4A=×4×0.1 m=1 m,D正确。]
12.(1)10 cm (2)见解析 (3)0 40 cm
解析 由题图信息,结合质点的振动过程可知:
(1)质点离开平衡位置的最大距离为10 cm。
(2)从1.5 s到2 s这段时间内,质点位移减小,因此质点向平衡位置运动;从2.5 s到3 s这段时间内,质点位移增大,因此质点背离平衡位置运动。
(3)质点在第2 s末处在平衡位置,因此位移为零;质点在前4 s内的路程为4×10 cm=40 cm。
13.(1)10 cm 0.2 s (2)见解析图 (3)x=-10sin(10πt) cm
解析 (1)振子的振幅为A=10 cm
振子的周期为T==0.2 s。
(2)由题意知,经过周期振子有负向最大位移,所以初始时刻振子沿负方向运动,振子的位移—时间图像如图所示。
(3)ω==10π rad/s
振子的振动方程为x=-Asin ωt=-10sin(10πt) cm。第一节 简谐运动及其图像
学习目标 1.知道什么是弹簧振子,理解振动的平衡位置和位移。2.知道弹簧振子的位移—时间图像,知道简谐运动的过程及其振动图像。3.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相位的概念。4.会写出简谐运动的表达式,并理解各物理量的意义。
知识点一 简谐运动及图像
钟摆的来回摆动,水中浮标的上下浮动,担物行走时扁担下物体的颤动,树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似的运动。这些运动的共同点是什么
一、机械振动
1.机械振动:物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的 运动,叫作机械振动,简称 。
2.平衡位置:物体原来静止时的位置。
二、简谐运动
1.弹簧振子模型
如图所示,将弹簧上端固定,下端连接一个小球,小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多,可以 ,若不计空气阻力,这样的系统称为弹簧振子,其中的小球常称为 。
2.弹簧振子的振动图像
横轴表示时间t,纵轴表示小球 的位移x,绘制出的图像就是振子在平衡位置附近往复运动时的 图像,即x-t图像,称为弹簧振子的振动图像。
3.简谐运动
(1)质点的位移与时间的关系严格遵从 的规律,即它的振动图像是一条 曲线,这样的运动叫作简谐运动。
(2)物理意义:表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律。
思考 (1)平衡位置是不是物体速度为零的位置
(2)弹簧振子的平衡位置是否都在弹簧原长处
(3)弹簧振子的振动图像是不是振子的运动轨迹
例1 如图甲所示,水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O是平衡位置;以水平向右为正方向,其振动图像如图乙所示,则( )
A.AO间的距离为4 cm
B.0.1 s末,小球位于A点
C.0.2 s末,小球有正方向的最大速度
D.0.2~0.3 s内,小球从O向A做减速运动
由简谐运动的图像获取的信息
(1)某一时刻质点的位移大小和方向
如图所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)某一时刻质点的运动方向
根据下一时刻
质点的位移确定运动方向,如图中的a点,下一时刻质点离平衡位置更远,故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置。
(3)质点的速度、位移的变化情况
①根据下一时刻质点的位移,判断质点是远离还是衡位置。若远离平衡位置,则速度越来越小,位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,位移越来越小。
②根据斜率判断速度的大小和方向。斜率越大,则速度越大,斜率越小,则速度越小;斜率为正,则速度沿正方向,斜率为负,则速度沿负方向。
训练1 (多选)如图所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定在天花板上,它们组成一个振动系统。开始时钢球静止,现用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动起来,若以竖直向下为正方向,下列说法正确的是 ( )
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
知识点二 描述简谐运动的物理量
1.振幅
(1)振幅:振子离开平衡位置的 距离。
(2)物理意义:表示 的物理量,是 (“矢”或“标”)量。
2.全振动
振子完成一次 (以后完全重复原来的运动)叫作一次全振动,例如弹簧振子的运动:O→B→O→B'→O或B→O→B'→O→B为一次全振动(如图所示,其中O为平衡位置,B、B'为最大位移处)。
3.周期和频率
(1)周期T:振子完成一次 所用的时间,叫作振动的周期。单位: 。
(2)频率f:完成的 的次数与所用时间之比,叫作振动的频率。频率的单位是 ,简称赫,符号是 ,1 Hz=1 s-1。
(3)频率f与周期T的关系式:f= 。
(4)在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
4.相位:描述做周期性运动的物体在各个时刻所处的状态。
思考 1.完成一次全振动时,振子的路程与振幅是什么关系 与起始位置有关系吗
2.简谐运动的周期与振幅大小有关吗
例2 (2024·四川成都高二月考)如图所示,一水平放置的弹簧振子在BC间做简谐运动,O为平衡位置,BC间距离是20 cm,B→O运动时间是1 s,则( )
A.振动周期是2 s,振幅是10 cm
B.从B→O→C振子做了一次全振动
C.经过三次全振动,通过的路程是80 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
简谐运动中物体运动路程的计算
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据:
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为4倍振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为2倍振幅。
③振动物体在个周期内通过的路程可能等于振幅,还可能大于或小于振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,个周期内通过的路程才能等于振幅。
(2)计算路程的方法:先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。
训练2 (多选)(教科版教材P40自我评价4改编)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像,下列说法正确的是 ( )
A.物体的振动周期是2×10-2 s
B.第2个10-2 s内物体的位移是-10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
知识点三 简谐运动的表达式及理解
1.简谐运动的表达式为:x=Asin(ωt+φ0)=Asin(t+φ0)=Asin(2πft+φ0)。
(1)A表示振幅,T和f分别表示物体振动的周期和频率。
(2)2πft+φ0表示简谐运动的相位,t=0时的相位φ0叫作初相位,简称初相。
2.对简谐运动的表达式的理解
(1)表达式反映了做简谐运动物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)其中t+φ0为相位,描述了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动间振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(3)从表达式体会简谐运动的周期性:当Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=2nπ时,Δt==nT,振子位移相同,每经过周期T完成一次全振动。
(4)相位差:频率相同的两个简谐运动有固定的相位差,即Δφ=φ1-φ2(φ1>φ2)。
①若Δφ=0,表明两个物体运动步调相同,即同相。
②若Δφ=π,表明两个物体运动步调相反,即反相。
思考 1.某质点的振动图像如图所示,根据振动图像写出质点做简谐运动的表达式
2.两个简谐运动的相位差Δφ≠0,说明了什么 甲、乙两个简谐运动的相位差为π,意味着什么
例3 (多选)物体A做简谐运动的表达式为xA=3sin m,物体B做简谐运动的表达式为xB=5sin m。比较物体A、B的运动,有( )
A.振幅是矢量,物体A的振幅是6 m,物体B的振幅是10 m
B.周期是标量,物体A、B周期相等,均为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终超前物体B的相位
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)解答简谐运动问题时,首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值,根据ω==2πf,确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要画出其振动图像来解决有关问题。
训练3 有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是 ( )
A.x=8×10-3sin4πt+m
B.x=8×10-3sin4πt-m
C.x=8×10-3sin4πt+m
D.x=8×10-3sinm
知识点四 简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等,即tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等,方向相反。
例4 (教科版教材P42自我评价T3改编)一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过A、B两点,历时1 s,质点通过B点后,再经过1 s,第二次通过B点,在这2 s内,质点的总路程是12 cm,则质点振动的周期和振幅分别可能为 ( )
A.2 s,6 cm B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm D.2 s,8 cm
求解该类问题的关键是弄清物理情景,画出振子的运动过程示意图,结合简谐运动的对称性和周期性分析讨论。
训练4 如图所示,滑块在M、N之间做简谐运动,当滑块到达N位置时开始计时,测得t=12 s时滑块在M位置,则滑块做简谐运动的周期可能为 ( )
A.7 s B.8 s
C.9 s D.10 s
随堂对点自测
1.(简谐运动的图像)某弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动。如图所示,当t=0时,弹簧振子位于B点,若规定向右为正方向,则下列图像能正确表示弹簧振子相对平衡位置的位移与时间关系的是 ( )
2.(描述简谐运动的物理量)关于描述物体做简谐运动的物理量,下列说法中正确的是 ( )
A.物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率
B.做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位
C.做简谐运动的物体在运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅
D.做简谐运动的物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期
3.(简谐运动的表达式)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=3sin cm,则 ( )
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时,质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
4.(简谐运动的周期性与对称性)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v,已知B、C之间的距离为25 cm。
(1)求弹簧振子的振幅A;
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。
第一节 简谐运动及其图像
知识点一
导学
提示 以某个位置为中心来回往复运动。
知识梳理
一、1.往复 振动
二、1.忽略不计 振子 2.相对平衡位置 位移—时间
3.(1)正弦函数 正弦
[思考] 提示 (1)不是 (2)不是 (3)不是
例1 D [由振动图像可知,振幅为2 cm,所以AO间的距离为2 cm,故A错误;0.1 s末,小球在正向最大位移处,即在图中B处,故B错误;0.2 s末,小球的速度方向沿x轴负方向,并且速度最大,故C错误;0.2~0.3 s内,小球沿x轴负方向的速度逐渐减小至零,即从O向A做减速运动,故D正确。]
训练1 BC [钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置,故A错误,B正确;钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段,由于竖直向下为正方向,可知C正确,D错误。]
知识点二
1.(1)最大 (2)振动强弱 标
2.完整的振动过程
3.(1)全振动 秒(s) (2)全振动 赫兹 Hz (3)
[思考]
1.提示 完成一次全振动,路程为振幅的4倍,即s=4A,与起始位置无关。
2.提示 无关。
例2 D [振子从B→O是次全振动,周期T=4×1 s=4 s,振幅A=OB==10 cm,故A错误;从B→O→C→O→B是一次全振动,故B错误;经过一次全振动,振子通过的路程是4A=40 cm,三次全振动通过的路程是120 cm,故C错误;从B开始3 s时间内振子做次全振动,路程是s=×4A=30 cm,故D正确。]
训练2 BCD [由题图可知,物体完成一次全振动需要的时间为4×10-2 s,故周期为T=4×10-2 s,A错误;在第2个10-2 s内,即在1×10-2 s到2×10-2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置,故位移为x=0-10 cm=-10 cm,B正确;频率f= Hz=25 Hz,C正确;由题图可知,物体的振幅为10 cm,故D正确。]
知识点三
[思考] 1.提示 x=2sin(0.5πt+0.5π)cm。
2.提示 两个简谐运动有相位差,说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π,意味着乙总比甲滞后次全振动。
例3 CD [振幅是标量,物体A、B的振幅分别为3 m、5 m,选项A错误;物体A、B振动的周期相等,均为T= s=0.02π s,选项B错误;因TA=TB,故fA=fB,选项C正确;Δφ=φA-φB=为定值,即物体A的相位始终超前物体B的相位,选项D正确。]
训练3 A [由题可知,A=0.8 cm=8×10-3 m,T=0.5 s,则ω==4π rad/s,初始时刻具有负方向的最大加速度,则初位移x0=0.8 cm,初相位φ0=,故弹簧振子的振动方程为x=8×10-3sin4πt+ m,A正确。]
知识点四
例4 B [由做简谐运动的质点,先后以相同的速度通过A、B两点,可知这两点关于平衡位置O点对称,所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等。那么从平衡位置O到B点的时间t1=0.5 s,因过B点后再经过t=1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点,则从B点到OB方向最大位移处的时间t2=0.5 s,因此,质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s,质点总路程的一半,即为振幅,所以振幅为A= cm=6 cm,故B正确,A、C、D错误。]
训练4 B [设滑块做简谐运动的周期为T,分析可得,滑块从N点第一次到达M点的过程用时为,t=12 s时,滑块可能第n次到达M位置,结合简谐运动的周期性可知,t=T=12 s(n=1,2,…),解得T=s(n=1,2,…),将n=2代入解得T=8 s,故B正确。]
随堂对点自测
1.D [规定向右为正方向,t=0时,弹簧振子相对平衡位置的位移为正的最大值,接下来位移随着时间按照余弦规律变化,D正确。]
2.A [物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率,故A正确;物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位,在开始时刻所处的状态叫作初相位,故B错误;物体偏离平衡位置最大的距离叫振幅,相距最远的两点之间的距离等于两个振幅,故C错误;物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间叫作振动周期,故D错误。]
3.D [由关系式可知A=3 cm,ω= rad/s,故周期为T==3 s,A、B错误;t=0.75 s时,质点的位移为x=3sin cm=0,质点在平衡位置处,C错误;在t=0时刻质点的位移x=3 cm,2 s时质点的位移x'=3sin cm=-1.5 cm,故前2 s内质点的位移为Δx=x'-x=-4.5 cm,D正确。]
4.(1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
解析 (1)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,所以振幅是B、C之间距离的一半,即A= cm=12.5 cm。
(2)由简谐运动的对称性可知,从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的,
所以tBP= s=0.1 s
同理可知tPO= s=0.15 s
又tBP+tPO=
可得周期T=1 s
频率f==1 Hz。(共66张PPT)
第一节 简谐运动及其图像
第二章 机械振动
1.知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和位移。
2.知道弹簧振子的位移—时间图像，知道简谐运动的过程及其振动图像。
3.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相位的概念。
4.会写出简谐运动的表达式，并理解各物理量的意义。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二 描述简谐运动的物理量
知识点一 简谐运动及图像
知识点三 简谐运动的表达式及理解
知识点四 简谐运动的周期性与对称性
知识点一 简谐运动及图像
钟摆的来回摆动，水中浮标的上下浮动，担物行走时扁担下物体的颤动，树梢在微风中的摇摆……在生活中我们会观察到很多类似的运动。这些运动的共同点是什么？
提示 以某个位置为中心来回往复运动。
一、机械振动
1.机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的______运动，叫作机械振动，简称______。
2.平衡位置：物体原来静止时的位置。
往复
振动
二、简谐运动
1.弹簧振子模型
如图所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以__________，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称为______。
忽略不计
振子
2.弹簧振子的振动图像
横轴表示时间t，纵轴表示小球______________的位移x，绘制出的图像就是振子在平衡位置附近往复运动时的____________图像，即x－t图像，称为弹簧振子的振动图像。
3.简谐运动
(1)质点的位移与时间的关系严格遵从__________的规律，即它的振动图像是一条______曲线，这样的运动叫作简谐运动。
(2)物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
相对平衡位置
位移—时间
正弦函数
正弦
【思考】 (1)平衡位置是不是物体速度为零的位置？
(2)弹簧振子的平衡位置是否都在弹簧原长处？
(3)弹簧振子的振动图像是不是振子的运动轨迹？
提示 (1)不是 (2)不是 (3)不是
例1 如图甲所示，水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O是平衡位置；以水平向右为正方向，其振动图像如图乙所示，则( )
D
A.AO间的距离为4 cm
B.0.1 s末，小球位于A点
C.0.2 s末，小球有正方向的最大速度
D.0.2～0.3 s内，小球从O向A做减速运动
解析 由振动图像可知，振幅为2 cm，所以AO间的距离为2 cm，故A错误；0.1 s末，小球在正向最大位移处，即在图中B处，故B错误；0.2 s末，小球的速度方向沿x轴负方向，并且速度最大，故C错误；0.2～0.3 s内，小球沿x轴负方向的速度逐渐减小至零，即从O向A做减速运动，故D正确。
由简谐运动的图像获取的信息
(1)某一时刻质点的位移大小和方向
如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)某一时刻质点的运动方向
根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置。
(3)质点的速度、位移的变化情况
①根据下一时刻质点的位移，判断质点是远离还是衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。
②根据斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿正方向，斜率为负，则速度沿负方向。
BC
训练1 (多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定在天花板上，它们组成一个振动系统。开始时钢球静止，现用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
解析 钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置，故A错误，B正确；钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段，由于竖直向下为正方向，可知C正确，D错误。
知识点二 描述简谐运动的物理量
1.振幅
(1)振幅：振子离开平衡位置的______距离。
(2)物理意义：表示__________的物理量，是标(“矢”或“标”)量。
2.全振动振子完成一次________________ (以后完全重复原来的运动)叫作一次全振动，例如弹簧振子的运动：O→B→O→B′→O或B→O→B′→O→B为一次全振动(如图所示，其中O为平衡位置，B、B′为最大位移处)。
最大
振动强弱
完整的振动过程
3.周期和频率
(1)周期T：振子完成一次________所用的时间，叫作振动的周期。单位：__________。
(2)频率f：完成的________的次数与所用时间之比，叫作振动的频率。频率的单位是______，简称赫，符号是______，1 Hz＝1 s－1。
(4)在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
全振动
秒(s)
全振动
赫兹
Hz
【思考】 1.完成一次全振动时，振子的路程与振幅是什么关系？与起始位置有关系吗？
提示 完成一次全振动，路程为振幅的4倍，即s＝4A，与起始位置无关。
2.简谐运动的周期与振幅大小有关吗？
提示 无关。
例2 (2024·四川成都高二月考)如图所示，一水平放置的弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是20 cm，B→O运动时间是1 s，则( )
D
A.振动周期是2 s，振幅是10 cm
B.从B→O→C振子做了一次全振动
C.经过三次全振动，通过的路程是80 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
训练2 (多选)(教科版教材P40自我评价4改编)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是 ( )
BCD
A.物体的振动周期是2×10－2 s
B.第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
知识点三 简谐运动的表达式及理解
【思考】 1.某质点的振动图像如图所示，根据振动图像写出质点做简谐运动的表达式？
提示 x＝2sin(0.5πt＋0.5π)cm。
CD
A
训练3 有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 ( )
知识点四 简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，即tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等，方向相反。
B
例4 (教科版教材P42自我评价T3改编)一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为( )
A.2 s，6 cm B.4 s，6 cm
C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
求解该类问题的关键是弄清物理情景，画出振子的运动过程示意图，结合简谐运动的对称性和周期性分析讨论。
训练4 如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动，当滑块到达N位置时开始计时，测得t＝12 s时滑块在M位置，则滑块做简谐运动的周期可能为( )
B
A.7 s B.8 s
C.9 s D.10 s
随堂对点自测
2
D
1.(简谐运动的图像)某弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动。如图所示，当t＝0时，弹簧振子位于B点，若规定向右为正方向，则下列图像能正确表示弹簧振子相对平衡位置的位移与时间关系的是( )
解析 规定向右为正方向，t＝0时，弹簧振子相对平衡位置的位移为正的最大值，接下来位移随着时间按照余弦规律变化，D正确。
A
2.(描述简谐运动的物理量)关于描述物体做简谐运动的物理量，下列说法中正确的是( )
A.物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率
B.做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位
C.做简谐运动的物体在运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅
D.做简谐运动的物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期
解析 物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率，故A正确；物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位，在开始时刻所处的状态叫作初相位，故B错误；物体偏离平衡位置最大的距离叫振幅，相距最远的两点之间的距离等于两个振幅，故C错误；物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间叫作振动周期，故D错误。
D
4.(简谐运动的周期性与对称性)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm。
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。
答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
课后巩固训练
3
CD
题组一 简谐运动及图像
1.(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手将小球向下拉一小段距离后释放，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
基础对点练
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
解析 平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，即小球原来静止的位置，选项D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。
B
2.如图所示是某振子做简谐运动的图像，以下说法正确的是( )
A.因为振动图像可由实验直接得到，所以图像就是振子
实际运动的轨迹
B.振动图像反映的是振子位移随时间变化的规律，并不
是振子运动的实际轨迹
C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D.振子运动到B点时的速度方向即该点的切线方向
解析 振动图像表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子实际运动轨迹，B正确，A、C错误；B点切线的方向不表示振子运动到B点时的速度方向，D错误。
AC
3.(多选)如图甲所示，一水平放置的弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x－t图像如图乙所示。则下列说法正确的是( )
A.t2时刻振子在A点
B.t2时刻振子在B点
C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小
解析 振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误。
BD
题组二 描述简谐运动的物理量
4.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析 振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期和频率与振幅无关，周期和频率由系统本身决定，选项C错误，D正确。
C
5.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是( )
A.振动周期为4 s，振幅为5 m
B.前2 s内质点的路程为0
C.t＝1 s时，质点位移最大，速度为零
D.t＝2 s，质点的运动方向沿x轴正方向
解析 由振动图像可知，周期T＝4 s，振幅A＝5 cm，A错误；前2 s，即半个周期内，质点运动的路程为2A＝10 cm，B错误；t＝1 s时，质点位于正向最大位移处，图像切线斜率为0，速度为零，C正确；t＝2 s时，图线切线的斜率为负，质点运动方向沿x轴负方向，D错误。
CD
6.(多选)如图所示，一水平放置的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A.振动周期是2 s，振幅是8 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是16 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
BC
题组三 简谐运动的表达式
C
8.弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则下列说法正确的是( )
B
题组四 简谐运动的周期性和对称性
9.(2024·重庆西南大学附中高二月考)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
A.0.6 s B.0.8 s C.1.2 s D.1.8 s
解析 如图甲所示，
甲
乙
B
10.某同学用如图所示装置研究简谐运动，初始时小球静止在O点，现将小球移动到B点后由静止释放，发现小球在B、C两点之间做往复运动。小球经过B点时开始计时，测得经过1.5 s第2次到达C点，且B、C相距20 cm。则( )
A.小球运动的周期T＝2 s
B.小球第2次到达O点用时为0.75 s
C.t＝0.125 s和t＝0.625 s时小球速度相同
D.t＝0.125 s时小球位移大小为5 cm
D
综合提升练
11.如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，小球在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向，图乙是小球做简谐运动的x－t图像，则( )
12.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离开平衡位置的最大距离为多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
答案 (1)10 cm (2)见解析 (3)0 40 cm
解析 由题图信息，结合质点的振动过程可知：
(1)质点离开平衡位置的最大距离为10 cm。
(2)从1.5 s到2 s这段时间内，质点位移减小，因此质点向平衡位置运动；从2.5 s到3 s这段时间内，质点位移增大，因此质点背离平衡位置运动。
(3)质点在第2 s末处在平衡位置，因此位移为零；质点在前4 s内的路程为4×10 cm＝40 cm。
培优加强练
(1)振子的振幅和周期；
(2)在给出的坐标系中画出该振子的位移—时间图像(至少一个周期)；
(3)写出振子的振动方程。
答案 (1)10 cm 0.2 s (2)见解析图 (3)x＝－10sin(10πt) cm
解析 (1)振子的振幅为A＝10 cm
