第二节 简谐运动的回复力及能量
(分值:100分)
选择题1~11题,每小题8分,共88分。
基础对点练
题组一 回复力
1.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是 ( )
回复力是使物体回到平衡位置的力,它只能由物体受到的合外力来提供
回复力可以由物体所受到的某一个力的分力提供
回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.关于简谐运动的回复力F=-kx的含义,下列说法正确的是 ( )
k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度
k是回复力跟位移的比值,x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
根据k=-可以认为k与F成正比
表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
3.(多选)如图所示,物体m系在两水平弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态,今向右拉动m,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是 ( )
m做简谐运动,OC=OB
m做简谐运动,OC≠OB
回复力F=-kx
回复力F=-3kx
题组二 简谐运动的能量转化
4.(多选)(2024·山东济南高二月考)如图所示,轻弹簧拴着小球放在光滑水平面上,O为弹簧的原长处。现将小球拉至A处后释放,则小球在A、B间往复运动,下列说法正确的是 ( )
从B→O,速度不断减小
在O处弹性势能最小
从B→O,速度不断增大
在B处弹性势能最小
5.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知 ( )
在0.1 s时,由于位移为零,所以弹簧振子的能量为零
在0.2 s时,弹簧振子具有最大势能
在0.35 s时,弹簧振子的能量尚未达到最大值
在0.4 s时,振子的动能最大
6.(2024·北京丰台区高二期中)如图所示,弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点,建立Ox轴,规定向右为正方向,其简谐运动的周期T=
0.8 s,OM=ON=10 cm。t=0时刻,将小球由N点静止释放。关于小球的运动,下列说法正确的是 ( )
简谐运动的表达式为x=0.1sin(2.5πt)m
每次通过同一位置时,速度一定相同
从M经O到N的过程中,弹簧振子系统的机械能先增加再减小
从N到O的过程中,弹簧的弹性势能转化为小球的动能
题组三 简谐运动中各物理量的变化规律
7.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示,下列描述正确的是 ( )
t =1 s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
t =2 s时,振子的速度为负,加速度为正的最大值
t =3 s时,振子的速度为负的最大值,加速度为零
t =4 s时,振子的速度为正,加速度为负的最大值
8.质量为0.5 kg的小球静止在O点,现用手竖直向上托起小球至A点,使弹簧处于原长状态,如图甲所示。t=0时放手,小球在竖直方向上A、B之间运动,其位移x随时间t的变化如图乙所示,g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
小球在t=0.6 s时速度方向向上
小球在t=1.2 s时加速度方向向下
小球从A到B过程中,弹簧的弹性势能一直增大
该弹簧的劲度系数为100 N/cm
综合提升练
9.(多选)如图所示,在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定,右端与一质量为m的小球相连,构成一个水平弹簧振子,弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置,在C、B两点间沿光滑水平面做简谐运动,关于这个弹簧振子做简谐运动的过程,下列说法中正确的是 ( )
小球从O位置向B位置运动过程中做匀减速运动
小球每次通过同一位置时的加速度一定相同
小球从C位置向B位置运动过程中,弹簧振子所具有的势能持续增加
小球在C位置时弹簧振子所具有的势能与在B位置时弹簧振子所具有的势能相等
10.如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像,下列说法正确的是 ( )
t=0.1 s与t=0.5 s时刻,振子的回复力相同
t=0.1 s到t=0.5 s,振子的动能先减小后增大
振动系统在t=0.1 s时刻的机械能比t=0.2 s时刻的大
从t=0时刻开始,经过任意0.4 s,振动系统的势能不变
11.(多选)如图所示,物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动,A、B之间无相对滑动,已知水平轻质弹簧的劲度系数为k,A、B的质量分别为m和M,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
若A、B之间的动摩擦因数为μ,则A、B间无相对滑动的最大振幅为
培优加强练
12.(12分)(2024·四川乐山高二月考)如图所示,盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2),浸入水中的深度为a,O为木块质心,现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没),木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面),不考虑任何阻力,重力加速度为g,试证明木块做简谐运动。
第二节 简谐运动的回复力及能量
1.B [回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力,可以由物体受到的合力提供,也可以由物体所受到的某一个力的分力提供,A错误,B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,跟物体偏离平衡位置的位移方向相反,C错误;回复力的方向总是指向平衡位置,可能跟物体的速度方向相反,也可能跟物体的速度方向相同,D错误。]
2.B [对弹簧振子来说,k为弹簧的劲度系数,x为做简谐运动的物体离开平衡位置的位移,对于其他简谐运动,k不是劲度系数,而是一个比例系数,A错误,B正确;系数k由系统本身结构决定,与力F和位移x无关,C错误;“-”只表示回复力与位移反向,回复力有时是动力有时是阻力,D错误。]
3.AD [以O点为原点,水平向右为x轴正方向,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB,故A、D正确。]
4.BC [从B→O过程中,弹力对小球做正功,速度不断增大,故A错误,C正确;弹簧的弹性势能与形变量有关,在O处,弹簧为原长,弹性势能最小,故B正确,D错误。]
5.B [弹簧振子做简谐运动,弹簧振子的能量不变,不为零,选项A错误;在0.2 s时位移最大,弹簧振子具有最大势能,选项B正确;弹簧振子的能量不变,在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同,选项C错误;在0.4 s时振子的位移最大,动能为零,选项D错误。]
6.D [t=0时刻,将小球由N点静止释放,此时小球位移为0.1 m,周期T=0.8 s,振幅A=0.1 m,所以简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+φ)=0.1sin(2.5πt+0.5π)m,故A错误;每次通过同一位置时,速度大小相等,但是速度方向有可能不同,故B错误;从M经O到N的过程中,弹簧振子系统只有弹簧内力做功,系统机械能守恒,故C错误;从N到O的过程中,弹簧形变量减小,弹性势能减小,动能最大,而系统机械能守恒,则此过程弹簧的弹性势能转化为小球的动能,故D正确。]
7.A [在t=1 s和t=3 s时,振子偏离平衡位置最远,速度为零,回复力最大,加速度最大,方向指向平衡位置,A正确,C错误;在t=2 s和t=4 s时,振子位于平衡位置,速度最大,回复力和加速度均为零,B、D错误。]
8.C [小球在0~1 s时间内向下运动,所以t=0.6 s时速度方向向下,A错误;小球在1~1.5 s 时间内从静止开始向上加速运动,1.5 s末运动到平衡位置时速度最大,方向向上,所以t=1.2 s时加速度方向向上,B错误;小球从A到B过程中,弹簧的形变量一直增大,弹簧的弹性势能一直增大,C正确;因为质量为0.5 kg 的小球静止在O点,根据平衡条件得mg=kA,解得k=100 N/m,D错误。]
9.BD [小球从O位置向B位置运动过程中受到弹簧的弹力在变化,则加速度在变化,所以不是匀减速运动,A错误;小球每次通过同一位置时的回复力F=-kx相同,所以加速度一定相同,B正确;小球从C位置向O位置运动过程中,速度增大,所以动能增大,弹簧振子所具有的势能逐渐减小;从O位置向B位置运动过程中,速度减小,所以动能减小,弹簧振子所具有的势能逐渐增大,C错误;小球在运动的过程中,动能与弹性势能相互转化,由于小球在C位置与在B位置的速度都是零,所以小球在C位置时弹簧振子所具有的势能与在B位置时弹簧振子所具有的势能相等,D正确。]
10.D [t=0.1 s与t=0.5 s时,振子的回复力大小相等,方向相反,A错误;t=0.1 s到t=0.5 s,振子从负向最大位移处回到平衡位置再运动到正向最大位移处,其速度先增大后减小,因此其动能先增大后减小,B错误;振动系统的机械能守恒,C错误;从t=0时刻开始,经过任意0.4 s即半个周期,振子的位移大小相同,则振动系统的势能相同,D正确。]
11.ACD [物体A做简谐运动时,回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的,故A正确;滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的,故B错误;物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力满足F=-kx,则回复力大小跟位移大小之比为k,故C正确;当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时,其振幅最大,设为A,以整体为研究对象有kA=(M+m)a,以物体A为研究对象,由牛顿第二定律得μmg=ma,联立解得A=,故D正确。]
12.见解析
解析 木块的平衡位置就在原来静止的位置,木块漂浮(静止)时,由平衡条件可得
G=F浮,即ρ2ghS=ρ1gSa
现在以木块振动到平衡位置下方情形为例来证明,设木块振动到平衡位置下方x时(x≤A),其偏离平衡位置的位移大小为x,所受到的浮力变为F浮'=ρ1gS
回复力为F回=F浮'-G=ρ1gS-ρ2ghS
解得F回=ρ1gSx
显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比,同理可证,木块振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比,分析木块在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知,回复力恒指向平衡位置,所以木块此时做简谐运动。第二节 简谐运动的回复力及能量
学习目标 1.理解回复力的概念和特点。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。3.会用能量守恒的观点分析弹簧振子动能、势能、总能量的变化规律。
知识点一 回复力
如图所示为穿在光滑水平杆上的弹簧振子的模型,O点为振子的平衡位置,A、O间和B、O间距离都是x。
(1)振子在O点时受到几个力的作用 分别是什么力
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用 是什么力使其回到平衡位置
(3)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系
1.水平弹簧振子
如图所示,在光滑的水平杆上套着一个小球,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,小球可以在杆上滑动。弹簧的质量比小球的质量小得多,可 ,这样的系统称为水平弹簧振子。
2.回复力
(1)定义:振子偏离平衡位置时,都会受到一个指向 的力,这个力叫作 。
(2)方向:跟振子的位移方向相反,总指向 。
(3)效果:把物体拉回到 位置。
(4)简谐运动的回复力:做简谐运动的物体受到总是指向 ,且大小与位移成 的回复力的作用。
公式:F= 。公式中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
3.简谐运动的加速度的特点:根据牛顿第二定律得a=x,表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
4.简谐运动的回复力的规律:因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
思考 1.如图为一个竖直弹簧振子,
该弹簧振子上下做简谐运动时,回复力是不是弹簧的弹力
2.水平弹簧振子运动到平衡位置时,它的位移、速度、回复力、加速度各是多少
例1 关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是 ( )
A.回复力一定是弹力
B.回复力的大小一定与位移大小成正比,且二者方向相同
C.回复力一定是质点所受的合力,大小与位移成正比,方向与位移方向相反
D.回复力的方向一定指向平衡位置
听课笔记
简谐运动中回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力
的合力;还可能是某一力的分力。
训练1 (多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
知识点二 简谐运动的能量转化
如图所示,竖直弹簧振子上下做简谐运动时,系统的机械能是否守恒 小球在什么位置时速度最大 此时系统的势能(重力势能与弹性势能之和)有什么特点
1.简谐运动的能量转化:振动过程中 和 相互转化,在转化过程中总和保持 ,即E= 。
(1)在最大位移处, 最大,动能最小 ,E= 。
(2)在平衡位置处,动能最大,势能 ,E= =。
2.决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能越大,振动越强。
(2)在简谐运动中,振动系统的机械能 ,所以简谐运动是等幅振动,是一种理想化模型。
思考 1.如图为一弹簧振子的振动图像,请分别找出弹簧振子势能和动能最大的时刻,并说明哪段时间内弹簧振子的势能向动能转化。
2.以水平弹簧振子为例,分析振子的机械能由振幅决定的原因。
例2 把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,平衡位置为O,小球在A、B间振动,如图所示。下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示)
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小 最大(负值) ↓ 0 ↑ 最大(正值)
速度的大小 0 ↑ 最大 ↓ 0
动能 0 ↑ 最大 ↓ 0
弹性势能 最大 ↓ 0 ↑ 最大
机械能 不变
训练2 如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧的质量。小球以点O为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2~3 s内,振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是 ( )
A.Ek变小,Ep变大 B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小 D.Ek、Ep均变大
知识点三 简谐运动中各物理量的变化规律
简谐运动中各个物理量的变化规律
1.位置不同,则位移 ,回复力 ,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
2.简谐运动中的最大位移处,回复力F、势能Ep ,动能Ek= ;平衡位置处,回复力F=0,势能Ep ,动能Ek 。
3.位移增大时,回复力、加速度和势能 ,速度和动能 ;位移减小时,回复力、加速度和势能 ,速度和动能 。
4.机械能变化规律:振子振动过程中,动能和势能相互转化,转化过程中系统机械能 。
思考 1.做简谐运动的物体经过同一位置时,相同的物理量有哪些
2.关于平衡位置对称的两点,各物理量间的关系如何
例3 (教科版教材P46自我评价T1改编)某弹簧振子的简谐运动图像如图所示,下列描述正确的是 ( )
A.t=0.5 s时与t=1.5 s时的回复力相同
B.t=0.5 s时与t=1.5 s时的弹性势能相同
C.t=1 s时与t=2 s时的速度相同
D.t=2.3 s时速度为正,加速度也为正
(1)位移最大处:x最大、F最大、a最大、Ep最大,但v=0、Ek=0。
(2)平衡位置处:x=0、F=0、a=0、Ep=0,但v最大,Ek最大。
(3)从平衡位置向最大位移处运动时:x↑、a(F)↑、Ep↑、v↓、Ek↓。
训练3 (2024·四川绵阳中学高二月考)如图甲所示,金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动,到达最高点时,弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向,小球的振动图像如图乙所示。则( )
A.弹簧的最大伸长量为2 cm
B.t=0.2 s时,弹簧的弹性势能最大
C.t=0.2 s到t=0.6 s内,小球的重力势能逐渐减小
D.t=0到t=0.4 s内,小球运动的路程为零
随堂对点自测
1.(回复力)对于弹簧振子的回复力和位移的关系,下列图中正确的是 ( )
2.(简谐运动的能量转化)如图所示,由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板上,当物块处于静止状态时,取它的重力势能为零,现将物块向下拉一小段距离后放手,此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则 ( )
A.弹簧振子速度最大时,振动系统的势能为零
B.弹簧振子速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.弹簧振子经过平衡位置时,振动系统的势能最小
D.弹簧振子在振动过程中,振动系统的机械能不守恒
3.(简谐运动中各物理量的变化规律)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定 ( )
A.t1到t2时间内,系统的动能不断增大,势能不断减小
B.0到t2时间内,振子的位移增大,速度增大
C.t2到t3时间内,振子的回复力先减小后增大,加速度的方向一直沿x轴正方向
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
第二节 简谐运动的回复力及能量
知识点一
导学
提示 (1)两个力;重力、支持力。
(2)A点:重力、支持力、弹簧对其向右的弹力;B点:重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
(3) 弹簧弹力与位移大小成正比,方向与位移方向相反。
知识梳理
1.忽略不计
2.(1)平衡位置 回复力 (2)平衡位置 (3)平衡 (4)平衡位置 正比 -kx
[思考] 1.提示 竖直弹簧振子的回复力不是弹簧的弹力,而是弹簧弹力与重力的合力。
2.提示 水平弹簧振子运动到平衡位置时,位移为0、速度最大、回复力为0、加速度为0。
例1 D [回复力不一定是弹力,也不一定是质点所受的合力,A、C错误;回复力的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,一定指向平衡位置,B错误,D正确。]
训练1 AD [弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用,回复力是根据效果命名的力,故A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,则此过程回复力逐渐减小,故C错误;回复力总是指向平衡位置,故D正确。]
知识点二
导学
提示 系统机械能守恒;小球在平衡位置时速度最大,此时系统势能最小。
知识梳理
1.动能 势能 不变 Ep+Ek (1)势能 为零 Epmax
(2)最小 Ekmax
2.(2)守恒
[思考]
1.提示 在0、4 s、8 s时刻弹簧振子的动能最大,在2 s、6 s时刻弹簧振子的势能最大,2~4 s和6~8 s内,弹簧振子的势能向动能转化。
2.提示 在最大位移处,振子速度为0,动能为0,振子机械能E=Epm。而Epm=kA2,对于确定劲度系数的弹簧振子来说,E∝A2,所以振幅决定弹簧振子的机械能大小。
例2 A [小球在平衡位置时动能最大,加速度为零,A正确;小球在A、B位置时,动能最小,加速度最大,B错误;小球衡位置时,回复力做正功,远离平衡位置时,回复力做负功;在小球振动过程中系统的总能量不变,C、D错误。]
训练2 B [由题图乙可知,在2~3 s内,振子的回复力减小,则振子向平衡位置运动,速度变大,动能Ek变大,由能量守恒定律知,弹性势能Ep变小,B正确。]
知识点三
1.不同 不同
2.最大 0 最小 最大
3.增大 减小 减小 增大
4.守恒
[思考] 1.提示 做简谐运动的物体,在同一位置位移相同,回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同,但速度方向可能相同,也可能相反。
2.提示 关于平衡位置对称的两点,动能、势能相同,加速度、回复力大小相等、方向相反;速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
例3 B [t=0.5 s时,振子处于正的最大位移处,t=1.5 s时,振子处于负的最大位移处,故回复力大小相等,方向相反,A错误;t=0.5 s时与t=1.5 s时弹簧的改变量相等,故弹性势能相同,B正确;t=1 s时,振子位于平衡位置正在向负方向运动,振子的速度最大,t=2 s时,振子位于平衡位置正在向正方向运动,振子的速度最大,故t=1 s时与t=2 s时的速度大小相等,方向相反,C错误;t=2.3 s时振子向正方向振动,速度为正,位移为正,加速度为负,D错误。]
训练3 C [由图乙可知,振幅为A=2 cm,由于振子到达斜面最高点时,弹簧处于原长,所以弹簧的最大伸长量为2A=4 cm,A错误;由图乙可知,t=0.2 s时,小球在斜面的最高点,弹簧处于原长,弹簧的弹性势能为零,B错误;t=0.2 s到t=0.6 s内,小球沿斜面向下运动,小球的重力势能逐渐减小,C正确;t=0到t=0.4 s内,小球的路程是2A=4 cm,D错误。]
随堂对点自测
1.C [由简谐运动的回复力公式F=-kx可知,C正确。]
2.C [弹簧振子在平衡位置时,速度最大,重力势能为零,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系统的势能不为零,A、B错误;因为只有重力和弹簧弹力做功,所以振动系统的机械能守恒,而弹簧振子在平衡位置时动能最大,故振动系统的势能最小,C正确,D错误。]
3.A [t1到t2时间内,位移减小,弹力做正功,系统的动能不断增大,势能不断减小,A正确;0到t2时间内,振子的位移减小,速度增大,B错误;t2到t3时间内,振子的位移先增大后减小,所以回复力先增大后减小,C错误;t1和t4时刻振子的位移相同,即位于同一位置,其速度等大反向,但动能相同,D错误。](共54张PPT)
第二节 简谐运动的回复力及能量
第二章 机械振动
1.理解回复力的概念和特点。
2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。
3.会用能量守恒的观点分析弹簧振子动能、势能、总能量的变化规律。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二 简谐运动的能量转化
知识点一 回复力
知识点三 简谐运动中各物理量的变化规律
知识点一 回复力
如图所示为穿在光滑水平杆上的弹簧振子的模型，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x。
(1)振子在O点时受到几个力的作用？分别是什么力？
(2)振子在A、B点时受到哪些力的作用？是什么力使其
回到平衡位置？
(3)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位
移的大小及方向有何关系？
提示 (1)两个力；重力、支持力。
(2)A点：重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；B点：重力、支持力、弹簧对其向左的弹力。弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
(3) 弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.水平弹簧振子
如图所示，在光滑的水平杆上套着一个小球，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，小球可以在杆上滑动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可__________，这样的系统称为水平弹簧振子。
忽略不计
2.回复力
(1)定义：振子偏离平衡位置时，都会受到一个指向__________的力，这个力叫作________。
(2)方向：跟振子的位移方向相反，总指向__________。
(3)效果：把物体拉回到______位置。
(4)简谐运动的回复力：做简谐运动的物体受到总是指向__________，且大小与位移成______的回复力的作用。
公式：F＝________。公式中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
平衡位置
回复力
平衡位置
平衡
平衡位置
正比
－kx
【思考】 1.如图为一个竖直弹簧振子，该弹簧振子上下做简谐运动时，回复力是不是弹簧的弹力？
提示 竖直弹簧振子的回复力不是弹簧的弹力，而是弹簧弹力与重力的合力。
2.水平弹簧振子运动到平衡位置时，它的位移、速度、回复力、加速度各是多少？
提示 水平弹簧振子运动到平衡位置时，位移为0、速度最大、回复力为0、加速度为0。
例1 关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是( )
A.回复力一定是弹力
B.回复力的大小一定与位移大小成正比，且二者方向相同
C.回复力一定是质点所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反
D.回复力的方向一定指向平衡位置
解析 回复力不一定是弹力，也不一定是质点所受的合力，A、C错误；回复力的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，一定指向平衡位置，B错误，D正确。
D
简谐运动中回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某一力的分力。
AD
训练1 (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹
力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析 弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，则此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。
知识点二 简谐运动的能量转化
如图所示，竖直弹簧振子上下做简谐运动时，系统的机械能是否守恒？小球在什么位置时速度最大？此时系统的势能(重力势能与弹性势能之和)有什么特点？
提示 系统机械能守恒；小球在平衡位置时速度最大，此时系统势能最小。
1.简谐运动的能量转化：振动过程中______和______相互转化，在转化过程中总和保持______，即E＝____________。
(1)在最大位移处，______最大，动能最小______，E＝____________。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能______，E＝____________＝mv。
2.决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能______，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
动能
势能
不变
Ep＋Ek
势能
为零
Epmax
最小
Ekmax
守恒
【思考】 1.如图为一弹簧振子的振动图像，请分别找出弹簧振子势能和动能最大的时刻，并说明哪段时间内弹簧振子的势能向动能转化。
提示 在0、4 s、8 s时刻弹簧振子的动能最大，在2 s、6 s时刻弹簧振子的势能最大，2～4 s和6～8 s内，弹簧振子的势能向动能转化。
2.以水平弹簧振子为例，分析振子的机械能由振幅决定的原因。
例2 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是( )
A
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误；小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功；在小球振动过程中系统的总能量不变，C、D错误。
弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示)
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小 最大(负值) ↓ 0 ↑ 最大(正值)
速度的大小 0 ↑ 最大 ↓ 0
动能 0 ↑ 最大 ↓ 0
弹性势能 最大 ↓ 0 ↑ 最大
机械能 不变
训练2 如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧的质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示，则在2～3 s内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是( )
B
A.Ek变小，Ep变大
B.Ek变大，Ep变小
C.Ek、Ep均变小
D.Ek、Ep均变大
解析 由题图乙可知，在2～3 s内，振子的回复力减小，则振子向平衡位置运动，速度变大，动能Ek变大，由能量守恒定律知，弹性势能Ep变小，B正确。
知识点三 简谐运动中各物理量的变化规律
简谐运动中各个物理量的变化规律
1.位置不同，则位移______，回复力______，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
2.简谐运动中的最大位移处，回复力F、势能Ep _______，动能Ek＝____；平衡位置处，回复力F＝0，势能Ep______，动能Ek______。
3.位移增大时，回复力、加速度和势能______，速度和动能______；位移减小时，回复力、加速度和势能______，速度和动能______。
4.机械能变化规律：振子振动过程中，动能和势能相互转化，转化过程中系统机械能______。
不同
不同
最大
0
最小
最大
增大
减小
减小
增大
守恒
【思考】 1.做简谐运动的物体经过同一位置时，相同的物理量有哪些？
提示 做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同，也可能相反。
2.关于平衡位置对称的两点，各物理量间的关系如何？
提示 关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向相反；速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
B
例3 (教科版教材P46自我评价T1改编)某弹簧振子的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A.t＝0.5 s时与t＝1.5 s时的回复力相同
B.t＝0.5 s时与t＝1.5 s时的弹性势能相同
C.t＝1 s时与t＝2 s时的速度相同
D.t＝2.3 s时速度为正，加速度也为正
解析 t＝0.5 s时，振子处于正的最大位移处，t＝1.5 s时，振子处于负的最大位移处，故回复力大小相等，方向相反，A错误；t＝0.5 s时与t＝1.5 s时弹簧的改变量相等，故弹性势能相同，B正确；t＝1 s时，振子位于平衡位置正在向负方向运动，振子的速度最大，t＝2 s时，振子位于平衡位置正在向正方向运动，振子的速度最大，故t＝1 s时与t＝2 s时的速度大小相等，方向相反，C错误；t＝2.3 s时振子向正方向振动，速度为正，位移为正，加速度为负，D错误。
(1)位移最大处：x最大、F最大、a最大、Ep最大，但v＝0、Ek＝0。
(2)平衡位置处：x＝0、F＝0、a＝0、Ep＝0，但v最大，Ek最大。
(3)从平衡位置向最大位移处运动时：x↑、a(F)↑、Ep↑、v↓、Ek↓。
C
训练3 (2024·四川绵阳中学高二月考)如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则( )
A.弹簧的最大伸长量为2 cm
B.t＝0.2 s时，弹簧的弹性势能最大
C.t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球的重力势能逐渐减小
D.t＝0到t＝0.4 s内，小球运动的路程为零
解析 由图乙可知，振幅为A＝2 cm，由于振子到达斜面最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，A错误；由图乙可知，t＝0.2 s时，小球在斜面的最高点，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能为零，B错误；t＝0.2 s到t＝0.6 s内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，C正确；t＝0到t＝0.4 s内，小球的路程是2A＝4 cm，D错误。
随堂对点自测
2
C
1.(回复力)对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
解析 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，C正确。
C
2.(简谐运动的能量转化)如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则( )
A.弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B.弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.弹簧振子经过平衡位置时，振动系统的势能最小
D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
解析 弹簧振子在平衡位置时，速度最大，重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，所以振动系统的机械能守恒，而弹簧振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确，D错误。
A
3.(简谐运动中各物理量的变化规律)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定( )
A.t1到t2时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小
B.0到t2时间内，振子的位移增大，速度增大
C.t2到t3时间内，振子的回复力先减小后增大，加速度
的方向一直沿x轴正方向
D.t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
解析 t1到t2时间内，位移减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t2时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t2到t3时间内，振子的位移先增大后减小，所以回复力先增大后减小，C错误；t1和t4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。
课后巩固训练
3
B
题组一 回复力
1.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以由物体所受到的某一个力的分力提供
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
解析 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，可以由物体受到的合力提供，也可以由物体所受到的某一个力的分力提供，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
基础对点练
B
2.关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是( )
解析 对弹簧振子来说，k为弹簧的劲度系数，x为做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动，k不是劲度系数，而是一个比例系数，A错误，B正确；系数k由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力有时是阻力，D错误。
AD
3.(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是( )
A.m做简谐运动，OC＝OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx
D.回复力F＝－3kx
解析 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。
BC
题组二 简谐运动的能量转化
4.(多选)(2024·山东济南高二月考)如图所示，轻弹簧拴着小球放在光滑水平面上，O为弹簧的原长处。现将小球拉至A处后释放，则小球在A、B间往复运动，下列说法正确的是( )
A.从B→O，速度不断减小 B.在O处弹性势能最小
C.从B→O，速度不断增大 D.在B处弹性势能最小
解析 从B→O过程中，弹力对小球做正功，速度不断增大，故A错误，C正确；弹簧的弹性势能与形变量有关，在O处，弹簧为原长，弹性势能最小，故B正确，D错误。
B
5.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知( )
A.在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B.在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C.在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时，振子的动能最大
解析 弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，选项A错误；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，选项B正确；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，选项C错误；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错误。
D
6.(2024·北京丰台区高二期中)如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T＝0.8 s，OM＝ON＝10 cm。t＝0时刻，将小球由N点静止释放。关于小球的运动，下列说法正确的是( )
A.简谐运动的表达式为x＝0.1sin(2.5πt)m
B.每次通过同一位置时，速度一定相同
C.从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小
D.从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能
解析 t＝0时刻，将小球由N点静止释放，此时小球位移为0.1 m，周期T＝0.8 s，振幅A＝0.1 m，所以简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)＝0.1sin(2.5πt＋0.5π)m，故A错误；每次通过同一位置时，速度大小相等，但是速度方向有可能不同，故B错误；从M经O到N的过程中，弹簧振子系统只有弹簧内力做功，系统机械能守恒，故C错误；从N到O的过程中，弹簧形变量减小，弹性势能减小，动能最大，而系统机械能守恒，则此过程弹簧的弹性势能转化为小球的动能，故D正确。
A
题组三 简谐运动中各物理量的变化规律
7.某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是( )
A.t ＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t ＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t ＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t ＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
解析 在t＝1 s和t＝3 s时，振子偏离平衡位置最远，速度为零，回复力最大，加速度最大，方向指向平衡位置，A正确，C错误；在t＝2 s和t＝4 s时，振子位于平衡位置，速度最大，回复力和加速度均为零，B、D错误。
C
8.质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.小球在t＝0.6 s时速度方向向上
B.小球在t＝1.2 s时加速度方向向下
C.小球从A到B过程中，弹簧的弹性势能一直增大
D.该弹簧的劲度系数为100 N/cm
解析 小球在0～1 s时间内向下运动，所以t＝0.6 s时速度方向向下，A错误；小球在1～1.5 s 时间内从静止开始向上加速运动，1.5 s末运动到平衡位置时速度最大，方向向上，所以t＝1.2 s时加速度方向向上，B错误；小球从A到B过程中，弹簧的形变量一直增大，弹簧的弹性势能一直增大，C正确；因为质量为0.5 kg 的小球静止在O点，根据平衡条件得mg＝kA，解得k＝100 N/m ，D错误。
BD
9.(多选)如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置，在C、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( )
综合提升练
A.小球从O位置向B位置运动过程中做匀减速运动
B.小球每次通过同一位置时的加速度一定相同
C.小球从C位置向B位置运动过程中，弹簧振子所具有的势能持续增加
D.小球在C位置时弹簧振子所具有的势能与在B位置时弹簧振子所具有的势能相等
解析 小球从O位置向B位置运动过程中受到弹簧的弹力在变化，则加速度在变化，所以不是匀减速运动，A错误；小球每次通过同一位置时的回复力F＝－kx相同，所以加速度一定相同，B正确；小球从C位置向O位置运动过程中，速度增大，所以动能增大，弹簧振子所具有的势能逐渐减小；从O位置向B位置运动过程中，速度减小，所以动能减小，弹簧振子所具有的势能逐渐增大，C错误；小球在运动的过程中，动能与弹性势能相互转化，由于小球在C位置与在B位置的速度都是零，所以小球在C位置时弹簧振子所具有的势能与在B位置时弹簧振子所具有的势能相等，D正确。
D
10.如图所示为某弹簧振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A.t＝0.1 s与t＝0.5 s时刻，振子的回复力相同
B.t＝0.1 s到t＝0.5 s，振子的动能先减小后增大
C.振动系统在t＝0.1 s时刻的机械能比t＝0.2 s时刻
的大
D.从t＝0时刻开始，经过任意0.4 s，振动系统的势能不变
解析 t＝0.1 s与t＝0.5 s时，振子的回复力大小相等，方向相反，A错误；t＝0.1 s到t＝0.5 s，振子从负向最大位移处回到平衡位置再运动到正向最大位移处，其速度先增大后减小，因此其动能先增大后减小，B错误；振动系统的机械能守恒，C错误；从t＝0时刻开始，经过任意0.4 s即半个周期，振子的位移大小相同，则振动系统的势能相同，D正确。
ACD
11.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
培优加强练
12.(2024·四川乐山高二月考)如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。
答案 见解析
解析 木块的平衡位置就在原来静止的位置，木块漂浮(静止)时，由平衡条件可得G＝F浮，即ρ2ghS＝ρ1gSa
现在以木块振动到平衡位置下方情形为例来证明，设木块振动到平衡位置下方x时(x≤A)，其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为
显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，同理可证，木块振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，分析木块在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，所以木块此时做简谐运动。
