10.3一次函数的性质同步练习（含解析）

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10.3一次函数的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知初一（6）班的班费总共为200元，现在要为全班x个同学每人购买一个笔袋，笔袋单价为2元，则购买后剩余班费y元与班级人数x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．直线不经过第三象限，，且，这四点都在直线上，则是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．无法确定
3．对于正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　）
A．3 B． C． D．
4．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．已知、、是直线上的三个点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）
A． B． C． D．
9．已知点在直线上，当时，，则在平面直角坐标系内，它的图象不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
10．若点Α在一次函数y=3x+b的图象上,且3m-n>2,则b的取值范围为　(　 　)
A．b>2 B．b>-2 C．b<2 D．b<-2
11．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．若正比例函数的图象经过点（2，4），则这个图象也必经过点（　　）
A．（2，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（4，2）
二、填空题
13．图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点，则 ，一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，则的值为 .
14．已知点在一次函数的图像上，若，则m的取值范围是 .
15．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A（0，2），交x轴于点B，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上且在第一象限一动点．若是等腰三角形，点P的坐标是 ．
16．若一次函数y＝2x＋b的图象经过A（－1，1）则b＝ ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）．
17．已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空．
(1)若，，，则______；
(2)若，，则______；
(3)若，，则k______0．
三、解答题
18．已知y是x的一次函数，当时，；当时，．求这个一次函数的表达式．
19．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为．
(1)求k、b的值；
(2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若点恰好落在直线上，求的面积．
20．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，
(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
21．正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；
(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知点及在第一象限的动点，且，O为坐标原点，设面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)求x的取值范围；
(3)当时，求P点坐标．
24．已知，点是第一象限内的点，直线交y轴于点，交x轴负半轴于点A．连，．
(1)求的面积；
(2)直接写出点A的坐标__________和m的值__________．
《10.3一次函数的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D A D A A B D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据剩余班费＝班费总额－购买笔袋费用列函数关系式即可．
【详解】解：根据题意，得y＝200－2x．
故选：B．
【点睛】本题考查了列函数关系式，解题的关键是找到问题中的相等关系，注意所列函数关系式中，一般有两个变量，其它的要是常量．
2．A
【分析】先根据一次函数的图象及性质与系数的关系求出k的取值范围，再根据一次函数的增减性即可比较m和n的大小，从而得出-m和-n的大小关系，再根据一次函数的增减性即可比较c和d的大小关系，从而判断的符号．
【详解】解：直线不经过第三象限，那么，．
∴y随x的增大而减小
因为，
所以，
所以，
所以．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和一次函数增减性的应用，掌握一次函数的图象及性质与系数的关系是解决此题的关键．
3．C
【分析】当自变量为时，函数值为，代入解析式化简计算即可．
【详解】∵正比例函数，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质及其解析式的确定，熟练掌握性质是解题的关键．
4．D
【解析】略
5．A
【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵、、是直线上的三个点，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
6．D
【分析】先根据函数图象与坐标轴的交点求出函数的解析式，再根据函数的解析式求出y的取值范围．
【详解】解：∵函数图形与y轴交于点（0，2），
∴b=2，
将（4，0）代入得：
，故，
故函数解析式为：，
当x=1时，，
∵y随x的减小而增大，故当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数的图象，能够根据函数的图象求出函数解析式是解决本题的关键．
7．A
【详解】由题意可知，故.
8．A
【分析】根据展开图的性质分析数量关系
【详解】由y－等于该圆的周长，得列方程式y－＝x，即y＝x
∴y与x的函数关系是正比例函数关系，其图象为过原点的直线
故选A
【点睛】考核知识点：展开图
9．B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．先利用当时，，判定的正负，再结合，判断一次函数的大致图象位置，即可解决．
【详解】解：∵当时，，
则函数，的值随的值的增大而增大，
∴，
∴一次函数图象过第一、三象限，
又∵，即与轴交于负半轴，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，
即不经过第二象限，
故选：B．
10．D
【详解】分析：由点（m,n）在一次函数的图像上，可得出3m+b=n，再由3m-n＞2，即可得出b＜-2，此题得解．
详解：
∵点A（m，n）在一次函数y=3x+b的图象上，
∴3m+b=n．
∵3m-n＞2，
∴3m-(3m+b)＞2，即-b>2,
∴b＜-2．
故选D．
点睛：考查了一次函数图象上点的坐标特征:点的坐标满足函数的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征，再结合3m-n＞2，得出-b＞2是解题的关键．
11．A
【详解】一次函数的函数值随的增大而减小，该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
12．B
【分析】设正比例函数解析式y＝kx，将点（2，4）代入可求函数解析式y＝2x，再结合选项进行判断即可．
【详解】∵正比例函数的图象经过点（2，4），
设正比例函数解析式y＝kx，将点（2，4）代入可得k＝2，
∴函数解析式y＝2x，
将选项中点代入，可以判断（﹣1，﹣2）在函数图象上；
故选B．
【点睛】考查正比例函数的图象及性质；熟练掌握函数图象的性质，会用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
13． 2 ，2或．
【分析】利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解m的值，根据为正比例函数图象且过点得出具体解析式，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论．
【详解】解：把点代入得，
，
，
如图，由题意得，
的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象，
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，．
当，2或时，、、不能围成三角形．
故答案为：2；，2或．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．
14．
【分析】根据一次函数的性质，得到，即可得到m的取值范围.
【详解】解：∵点在一次函数的图像上，
又∵，，
∴一次函数中y随x增大而减小，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质.
15．，，，
【分析】利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①，②，③，依据题意画出图形，利用勾股定理和轴对称的性质解答即可得出结论．
【详解】交轴于点，
．
．
令，则，
．
．
直线垂直平分交于点，交轴于点，
，点的横坐标为1．
．
①时，如图，
过点作交轴于点，则，
，
．
．
，
．
．
同理，．
②当时，如图，
点在的垂直平分线上，
点的纵坐标为1，
．
③当时，则，如图，
，
．
综上，若是等腰三角形，点的坐标是或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
16． 3 5
【解析】略
17．(1)<
(2)>
(3)>
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．
（1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴y的值随x的值增大而增大，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴y的值随x的值增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：；
（3）∵，，
∴y的值随x的值增大而增大，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】直接用待定系数法求解即可．
【详解】解：因为y是x的一次函数，所以可设所求表达式为．
将，和，分别代入上式，得
解这个方程组，得
所以所求的一次函数表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①先设出函数解析式的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b(k≠0)；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19．(1)
(2)存在，或或或
(3)或
【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分三种情形讨论，①当时，②当时，③当时；分别求出即可；
（3）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求，根据三角形面积公式可得结论；
②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：如图1所示，
①当时，，
可得．
②当时，，可得．
③当时，点C与点O重合，可得，
综上所述，满足条件的点C坐标为或或或．
（3）解：存在两种情况：①当P在x轴的正半轴上时，如图2所示：
点恰好落在直线上，则，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴；
②当P在x轴的负半轴时，如图3所示：
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法、坐标与图形性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
20．(1)，；
(2)
(3)，，
【分析】（1）含角直角三角形的性质及勾股定理得、的长度，则可得、的坐标；
（2）由折叠性质得，，可证明，则，由矩形可知，四边形是平行四边形；设，则，在中，由勾股定理建立方程可求得的值，从而可求得结果；
（3）分三种情况考虑：以为边；为边，为对角线；若为边，为对角线；分别利用菱形的性质及相关知识即可求得点的坐标．
【详解】（1），，
由勾股定理得：
∴，；
（2）由折叠的性质得：，
四边形是矩形
四边形是平行四边形
设，则
∵在中，
∴
解得：
（3）若以为边，如图
∵F是中点
由（1）知，
∴
设直线的解析式为
把点与点的坐标分别代入得：
解得：
∴直线解析式
∵四边形是菱形
∴
∴的解析式
设
∴
解得：
∴
若为边，为对角线，如图
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴是的垂直平分线
∵四边形是菱形
∴是的垂直平分线
∴M与D重合，即
设
∵与互相平分
∴
∴，
∴
若为边，为对角线
如图
∵直线解析式
∴直线与y轴的交点为
∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴M是直线与y轴的交点
∵四边形是菱形，
∴，且
∴
综上所述，，
【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．
21．3
【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m的值即可．
【详解】设正比例函数解析式为，
因为正比例函数的图像过点P（-3，2），将点P坐标代入得，
再代入点Q坐标，即把x=-m，y=m-1代入左右两边，
解得m=3．
【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；
（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；
（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．
【详解】（1）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
，
将，代入，得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：，，
，，
，
．
沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）解：如图，过C作于M，
，，
，
．
由折叠的性质可知，
，
，
．
过点作，，过点作，，连接，，，与交于，
则四边形是正方形，
，，均为等腰直角三角形．
作轴于N，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
四边形是正方形，
是的中点，也是的中点，
，，
的横坐标为，纵坐标为，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，
，
综上，点P的坐标为：，，．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．
23．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）的面积以为底，则高为点纵坐标，即，所以；
（2）点在第一象限，则，且，即可解得x的取值范围；
（3）当时，可算出x，且，又可以算出ｙ的值，进而P点坐标可求出．
【详解】（1）解：已知点、，，
，
；
（2）解：点在第一象限，
，
，即，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
点坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式以及带点求值，根据题意找等量关系列出解析式是解题的关键．
24．(1)2；
(2)，3．
【分析】（1）根据三角形面积公式求解；
（2）先计算出，利用三角形面积公式得，解得，则A点坐标为；再利用待定系数法求直线的解析式，然后把代入可求出m的值．
【详解】（1）解：的面积；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴A点坐标为；
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
∴直线的解析式为，
把代入得．
故答案为：，3．
【点睛】本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图形利用点的坐标求面积．
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