10.5一次函数与一元一次不等式同步练习 （含解析）

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10.5一次函数与一元一次不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，M为一次函数（k、b是常数，）图象上一点，过点M作直线轴，已知直线l与x轴的距离为2，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
3．若点(1，2)同时在函数y=ax+b和y=的图象上，则点(a，b)为（ ）
A．(－3，－1) B．(－3，1) C．(1，3) D．(－1，3)
4．如图，一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．图像经过一、二、三象限 B．关于方程的解是
C． D．随的增大而减小
5．已知一次函数y=x-2，当函数值y>0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
8．用图象法解二元一次方程组时，小亮所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（ ）的解．
A． B． C． D．
10．已知函数，，的图象交于一点，则值为（ ）．
A．2 B．3 C．-3 D．-2
11．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ）
A．直线与y轴交点的坐标是 B．与坐标轴围成的三角形面积为
C．直线经过第一、二、四象限 D．若点，在直线上，则
12．如图，已知一次函数和的图象交于点（﹣1，2），则不等式组的解集为（　　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1
C．﹣4＜x＜﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．

14．直线y=4x-2与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
15．如图所示，次函数与的图像相交于点，则不等式 的解集是 ．
16．已知直线过和，则关于的不等式的解集是 ．
17．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简捷．如图所示是一次函数在平面直角坐标系中的图象，通过观察图象我们就可以得到方程的解为 ．
三、解答题
18．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①求点A，C的坐标；
②结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______．
③若x轴上有一动点，是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
19．当k，m分别为何值时，关于x，y的方程组至少有一组解
20．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，直线交x轴于点D，交y轴于B，交直线于点C．
(1)求点D、点E和点C的坐标；
(2)求的面积；
(3)若在直线上存在点F，使是的中线，求点F的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A的坐标是 _________，点B的坐标是 __________，的长为 _________；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是y轴上一动点，若，直接写出点M的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知一次函数当取何值时，函数的值在与之间变化
23．已知函数和．
(1)在同一坐标系中，画出这两个函数图像：
(2)根据图像回答：
①当这两个函数的函数值相等时，直接写出x的值；
②当的函数值大于的函数值时，直接写出x的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，已知直线经过，两点．
（1）画出该一次函数的图象，求经过，两点的直线的解析式；
（2）观察图象直接写出时的取值范围；
（3）求这个一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
《10.5一次函数与一元一次不等式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B B C A A A
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本题考查根据两条直线的交点情况，求不等式的解集，利用图象得到的坐标，根据坐标得到不等式的解集，即可解题．
【详解】解：过点M作直线轴，且直线l与x轴的距离为2，
点M的纵坐标为2，
由图知，点M的横坐标为，
，
关于x的不等式的解集为：；
故选：A．
2．C
【分析】满足不等式的解集即为图象在x轴下方的部分对应的x的取值范围，据此解答即可.
【详解】解：从图象可以观察得出当函数值小于0的时候，自变量x的取值范围是；
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一次函数的关系，数形结合是解题的关键.
3．D
【分析】分别把(1，2)代入y=ax+b和y=，即可得到关于a、b的方程组，解出即可.
【详解】解：由题意得，解得，则点(a，b)为(－1，3)，
故选D.
【点睛】本体考查了一次函数的图像及性质，通过方程组的求解找到一次函数的交点是解题的而关键.
4．A
【分析】根据函数图象可知图象经过一、二、三象限，即可判断A选项，从图象上无法得知与轴的交点坐标，无法求得方程的解，即可判断B选项，根据图象与轴的交点，可知，进而可知，即可判断C选项，根据图象经过一、二、三象限，，即可知随的增大而增大，进而判断D选项
【详解】A. 图像经过一、二、三象限,故该选项正确，符合题意；
B. 关于方程的解不一定是，不正确，不符合题意
C. 根据图象与轴的交点，可知，则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过一、二、三象限，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，与坐标轴交点问题，增减性，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
5．B
【详解】当函数值y＞0时，x－2＞0，所以x＞2，故选B．
6．B
【分析】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解答该题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的解集问题．根据图象，当时，直线在轴的下方，且在直线的上方，据此即可求得不等式的解集为点与点之间的横坐标的范围．
【详解】解：，，
观察图象，不等式的解集为，
故选：B．
7．C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，
，
由图象可知，直线经过第一、三象限，
，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，
，
直线过点，
，
，故说法正确；
，，
，
，
，
解得，
不等式组的解集是故说法正确，
故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
8．A
【分析】根据两直线的交点就是二元一次方程组的解即可得答案．
【详解】解：根据图象可得：
点是两个函数的图象的交点，
故二元一次方程组的解为：，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握两直线的交点就是二元一次方程组的解是解题的关键．
9．A
【分析】首先根据图象判定交点坐标，然后代入方程组即可.
【详解】由图象，得直线、的交点坐标是（2,3），将其代入，得
A选项，满足方程组，符合题意；
B选项，不满足方程组，不符合题意；
C选项，不满足方程组，不符合题意；
D选项，不满足方程组，不符合题意；
故选：A.
【点睛】此题主要考查一次函数图象和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握，即可解题.
10．A
【分析】先联立得出，代入，即可求解．
【详解】解：依题意
解得：，即函数，交于，
∵经过
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键．
11．D
【分析】利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、∵当x=0时，y=2， ∴直线与y轴交点的坐标是（0，2），正确，故此选项不符合题意；
B、∵当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，∴直线与x轴交点的坐标是（2，0），∴直线与坐标轴围成的三角形面积=×2×2=2．正确，故此选项不符合题意；
C、∵k=-1＜0，b=2＞0，∴直线经过第一、二、四象限；正确，故此选项不符合题意；
D、∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，∵点A（-1，a），B（1，b）在直线上，∵-1<1，∴a＞b，故a故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键．
12．C
【分析】先把点（﹣1，2）代入，求出，解不等式5＞﹣x+1，得x＞﹣4，再由一次函数和的图象交于（﹣1，2），得出的解集为x＜﹣1，进而求出不等式组的解集．
【详解】解：∵一次函数的图象过点（﹣1，2），
∴1 =2，
∴，
∴=﹣x+1．
解不等式5＞﹣x+1，得x＞﹣4，
∵一次函数和的图象交于（﹣1，2），
∴的解集为x＜﹣1，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组．
13．
【分析】要求的解集，即求的解集，根据函数图象写出点A左边部分的x的取值范围即可．
【详解】解：∵
∴
∴的解集，即为的解集，
由图可知，关于x的不等式的解是，
∴关于的不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法．
14．．
【详解】试题分析：令x=0，则y=-2，
令y=0，则x=，
故直线y=2x-4与两坐标轴的交点分别为（0，-2）、（，0），
故直线y=4x-2与两坐标轴围成的三角形面积=×|-2|×=．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
15．
【分析】先求出，然后根据图象可知：在交点的左侧，，即当时，
，从而求出不等式的解集．
【详解】解：
由图象可知：在交点的左侧，
即当时，
∴ 的解集是．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是根据交点坐标求不等式的解集，掌握一次函数和一元一次不等式的关系是解决此题的关键．
16．/
【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，根据题意可得随的增大而增大，据此即可求解.
【详解】解：∵点和在直线上，
∴随的增大而增大，
∵点是直线与轴的交点，
∴关于的不等式的解集是：，
故答案为：
17．
【分析】观察题图，可知一次函数的图象与x轴的交点坐标是（-1,0），即可求解．
【详解】解：观察题图，可知一次函数的图象与x轴的交点坐标是（-1,0），所以方程的解为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查一次函数与一元一次方程之间的关系，熟练利用数形结合的思想是解题关键．
18．（1）；（2），，；（3）①，；②；③P点坐标为或或或
【分析】（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
②通过观察图象求解即可；
③分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴方程的解为，
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，，；
（3）①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：；
③存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
∴，
∴，
∴，，，
①当时，则，
解得（舍）或，
∴P点坐标为；
②当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
③当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
19．k＝1，m＝4或k≠1．
【分析】把方程组的解理解为直线y=kx+m与直线y=（2k-1）x+4的交点个数，然后分类讨论：当k=2k-1，m=4时，直线y=kx+m与直线y=（2k-1）x+4重合；当k≠2k-1时，直线y=kx+m与直线y=（2k-1）x+4有一个交点，两种情况都得到m=4．
【详解】解：当k=2k-1，m=4时，直线y=kx+m与直线y=（2k-1）x+4重合，即方程组有无数组解，所以k=1，m=4；
当k≠2k-1时，直线y=kx+m与直线y=（2k-1）x+4有一个交点，即方程组有一组解，所以k≠1．
所以k=1，m=4或k≠1时，方程组至少有一个解．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，正确解方程组是解题关键．
20．(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）把代入求出点D的坐标即可；把代入求出点E的坐标即可；求出两个函数关系式组成的二次一次方程组，即可得出点C的坐标；
（2）根据点D、点E和点C的坐标求出的面积即可；
（3）先求出点A的坐标，根据点A为的中点，结合中点坐标公式求出点F的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴点D的坐标为：；
把代入得：，
解得：，
∴点的坐标为；
联立，
解得：，
∴点C的坐标为．
（2）解：，
；
（3）解：把代入得：，
∴点A的坐标为，
∵是的中线，
∴点A为的中点，
设点F的坐标为，
∴，，
解得：，，
∴点F的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，中点坐标公式，两条直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握中点坐标公式．
21．(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
(4)点P的坐标为或或
【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理即可求解；
（3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可；
（4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可．
【详解】（1）令得：，
∴，
∴
令得：，解得：，
∴，
∴，
在Rt△OAB中，．
故答案为：；
（2）由折叠的性质可知，
∴，
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵，
，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
（4）存在，理由如下：
①若，如图，过点P作交A于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴此时点P的坐标为；
②若，如图，过点P作交点H，
同理可得，此时点P的坐标为；
③若，如图，过点P作交OA于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
∴，解得：，
∴此时点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
22．＜x＜2
【详解】试题分析：本题解答过程的关键是根据题意把一次函数的函数值介于范围内时候转化为不等式组，然后解决问题
试题解析：本题可以转化为不等式 所以本题可以转化为不等式组
解得不等式组的解集是
23．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）过点（0，0），（1，1）画出函数y=x，过点（0，3）和（6，0）画出函数y=-x+3即可；
（2）①联立解析式，求出两条直线的交点，写出两个函数的函数值相等时x的值；
②联立解析式，求出两条直线的交点，当y=-x+3的函数值大于y=x的函数值时，写出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：当x=1时，y=x=1，
∴过点（0，0），（1，1）画出函数y=x的图像，
当y=0时， x+3=0，
解得x=6，
∴过点（0，3）和（6，0）画出函数y=-x+3的图像，
如图：
（2）解：联立解析式得，解得：，
如图：
则由图像可得：
当这两个函数的函数值相等时，x=2；
②当y=-x+3的函数值大于y=x的函数值时，x＜2．
【点睛】此题主要考查了一次函数图像的画法以及利用函数图像比较函数值的大小，联立解析式求出两直线的交点是解题关键．
24．（1）y＝ 2x＋1，图像见详解；（2）x≥；（3）
【分析】（1）建立平面直角坐标系，描出A（ 3，7）、B（2， 3）两点，画直线AB即可，可设一次函数的表达式为y＝kx＋b，进而利用方程组求得k、b的值，即可得到函数解析式；
（2）由直线在x轴下方部分所对应的y≤0，进而即可求解；
（3）求出直线与x，y轴的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）一次函数图像如图所示：
设一次函数的表达式为y＝kx＋b，
由题意，得：，解得：，
∴一次函数的表达式为y＝ 2x＋1；
（2）令y=0，代入y＝ 2x＋1得：x=，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），
∵直线在x轴下方部分所对应的y≤0，
∴当时的取值范围：x≥；
（3）令x=0，则y=1，
∴直线与y轴的交点坐标为（0，1），
∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质以及待定系数法，画出函数图像，理解函数图像上的点的坐标特征，是解题的关键．
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