6.1平行四边形及其性质同步练习（含解析）

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6.1平行四边形及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点E是的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则的周长为( )
A．5 B．7 C．10 D．14
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
3．在平行四边形中，的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD中，顶点A( 3，2)，D(2，3)，B( 4， 3)，则顶点C的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．在□ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．1＜OA＜4 B．2＜OA＜8 C．2＜OA＜5 D．3＜OA＜ 8
9．阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图．
解决问题：设两个共点力的合力为F，现保持两力的夹角（）不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则（ ）
A．合力F一定增大 B．合力F的大小可能不变
C．合力F可能增大，也可能减小 D．合力F一定减小
10．如图，在中，是对角线，的交点，若的面积是5，则的面积是（ ）

A．10 B．15 C．20 D．25
11．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )
A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm
12．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的度数为( )

A．112° B．116° C．128° D．148°
二、填空题
13．如图，在中，是对角线上一点，，，则的度数为 。
14．如图，的面积为，两对角线相交于点，以为邻边作，连接，交于点；以，为邻边作，连接，交于点；…；依此类推，则的面积为 ．

15．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标是 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为10，则四边形ABCD的周长是 ．
17．平行四边形的周长是36㎝，＝8㎝，则＝ ㎝.
三、解答题
18．如图，为的对角线的交点，过点作直线分别交，于点，.
（1）求证：.
（2）若，，，求四边形的周长.
（3）若，直接写出的值为______.
19．如图，在中，O是对角线，的交点．已知，的周长是11．求对角线与的和．
20．阅读下面的操作过程,回答后面的问题:在一次数学实践探究活动中,小强过A,C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分(如图1),小刚过AB,CD的中点画直线EF,把平行四边形ABCD也分割成两个部分(如图2).
(1)这两种分割方法中面积之间的关系为:S1　　S2,S3　　S4;
(2)根据这两位同学的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有　　条,请在图3的平行四边形中画出一种;
(3)由上述实验操作过程,你发现了什么规律
21．在中，于点E，求的度数．
22．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：．
23．如图，在中，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数．
24．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
《6.1平行四边形及其性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C D C A D C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC, AD∥BC
∴∠F=∠CBE
∵E是CD的中点
∴DE=CE=2,CD=2DE=4
在和中
∴BC=DF=3
∴平行四边形ABCD的周长=
故选D．
2．B
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=2，
∴DE=2OD=4．
故选B．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质；
根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的值可以是，
故选：D．
4．A
【分析】设点C（x，y），由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：设点C（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，A( 3，2)，D(2，3)，B( 4， 3)，
∴，，
∴x=1，y=-2，
∴点B（1，-2），
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，由可证，所以①符合题意；
当时，可得，即，由可证，所以②符合题意；
当时，不能判定，所以③不符合题意；
当时，由可证，所以④符合题意．
∴满足题意的有3个．
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质依次验证即可．
【详解】解：A.四边形平行四边形，
，
，故选项正确，不符合题意；
B.四边形平行四边形，
，故选项正确，不符合题意；
C.四边形平行四边形，
，
与的高相等，
，故选项正确，不符合题意；
D.四边形平行四边形，
与不一定相等，故选项错误，符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质逐项分析即可．
【详解】如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
8．A
【分析】根据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出OA的取值范围．
【详解】解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴2cm＜AC＜8cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴1cm＜OA＜4cm，
故选A．
【点睛】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到AO是AC的一半是解此题的关键．
9．D
【分析】根据平行四边形的性质即可得到答案．
【详解】解：已知两边及其夹角，可以确定一个平行四边形，即其对角线也确定，而两边夹角不变，某一边不变，另一边减少时，平行四边形的对角线也在减少，两力的夹角（）不变，如果其中一个力减小，另一个力不变，则合力F一定减小．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，理解题意是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质可得，，根据三角形中线的性质可得，即可得答案．
【详解】解：∵在中，O是对角线，的交点，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及三角形中线的性质，平行四边形的对角线互相平分；三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
11．B
【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．
【详解】由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8-3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B在此范围内，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．
12．B
【分析】根据平行四边形的性质得出，再求出，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握这些知识点是解题的关键．
13．21°
【分析】设，根据AE=DE得到∠DAE=∠ADE，根据外角性质得到∠DEC=∠DCE=2x，再根据列式求出x的值.
【详解】设．
∵，
∴，
∴．
∵．∴．
∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴．
∴，解得．
即．
故答案为：21°．
【点睛】此题考查平行四边形的对边平行的性质，三角形的外角性质，题中设使计算较简单.
14．10
【分析】根据平行四边形的对角线的性质可得平行四边形的底边上的高等于平行四边形的底边上的高的，从而得到平行四边形的面积为，同理可得平行四边形的面积为，以此类推得到平行四边形的面积为，当时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：点为平行四边形的对角线的交点，
平行四边形的底边上的高等于平行四边形的底边上的高的，
平行四边形的面积为，
平行四边形的对角线交于点，
平行四边形的底边上的高等于平行四边形的底边上的高的，
平行四边形的面积为，
，
依次类推，可得平行四边形的面积为，
平行四边形的面积为：，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，得到规律：平行四边形的面积为，是解题的关键．
15．或或
【分析】设第四个点D的坐标为（m，n）然后根据平行线的性质可知平行四边形对角线的中点坐标相同分别讨论当AB为平行四边形的对角线时，当AC为平行四边形的对角线时，当BC为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：设第四个点D的坐标为（m，n），
当AB为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可知AB与CD的中点坐标相同，
∴ ，
解得，
∴；
当AC为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可知AC与BD的中点坐标相同，
∴ ，
解得，
∴；
当BC为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质可知AD与BC的中点坐标相同，
∴ ，
解得，
∴；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．20
【分析】证明，得到：，再利用△ABE的周长为10，证明，即可得到平行四边形ABCD的周长是20．
【详解】解：∵ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵△ABE的周长为10，
∴，即，
∴平行四边形ABCD的周长是20，
故答案为：20
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解平行四边形的性质，证明．
17．10
【分析】根据平行四边形的性质即可求出．
【详解】因为平行四边形的两组对边分别相等，□ABCD的周长为36cm，
所以AB＋BC＝18cm，
则BC＝10cm.
故答案为10.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握该性质是本题解题的关键.
18．（1）见解析；（2）12；（3）20.
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到CD∥AB，OC=OA由平行线的性质得到∠OAB=∠OCD，推出△OAF≌△OCE（ASA）．根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据△DEO≌△BFO得到OE=OF=1.5，BF=DE，于是得到EF=3，BF+CE=AB=5，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到S ABCD=2S四边形CEFB=10×2=20．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，又，
．．
（2）同（1）可证△DEO≌△BFO（ASA）．
∴OE=OF=1.5，BF=DE，
∴EF=3，BF+CE=AB=5，
∴四边形EFBC的周长=3+5+4=12
（3）∵△DEO≌△BFO，
∴S四边形CEFB=S△BCD，
∴S ABCD=2S四边形CEFB=10×2=20，
故答案为20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．
19．．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵的周长是11，
∴，
∵，
∴，
∵是平行四边形，
∴，，
∴，即．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形周长，解题的关键是掌握平行四边形的性质，得到，．
20．（1）=，=（2）无数（3）见解析
【分析】（1）都是相等关系，因为AC，EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；（2）有无数条，因为经过对称中心的直线即可,这样的直线有无数条；（3）经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形的面积分成相等的两份．
【详解】(1)这两种分割方法中面积之间的关系为:S1　=　S2,S3　=　S4;
(2)根据这两位同学的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有　无数　条,请在图3的平行四边形中画出一种;
(3)规律:经过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线都把平行四边形分成面积相等的两部分.
【点睛】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
21．
【分析】根据等边对等角求得∠DBC=∠C=70°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC=70°，在直角△AED中，即可求出∠DAE的度数．
【详解】在△DBC中，
∵DB=CD，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质以及等腰三角形的性质，难易程度适中．
22．见详解
【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．
【分析】先求解 再证明 再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： ，
平分
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等，邻角互补”是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）50°．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；
（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，
∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
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