6.2平行四边形的判定同步练习（含解析）

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6.2平行四边形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，且，则（ ）
A．80° B．100° C．105° D．120°
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
3．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是（ ）．
A．3 B．12 C．15 D．19
5．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A． B． C． D．
7．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
9．在如图所示的4个四边形中，能根据图中标出的条件判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（ ）

A．BC∥AD B．BC=AD C．AB=CD D．∠A+∠B=180°
12．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）
二、填空题
13．M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC ，BD与AC ．
14．如图所示，在等腰中，延长边到点D，延长边到点E，连接，恰有．则 ．
15．下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号）
①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等．
16．如图，在等腰直角三角形中，，在内一点，已知，将以直线为对称轴翻折，使点与点重合，与交于点，连结，将的面积记为，将的面积记为，则的值为 ．
17．如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ．
三、解答题
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD=8，AB=10，BD=6，求BC、CD及此平行四边形的面积.
19．已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
20．如图，已知是等边三角形，点D在BC边上，是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，求证：
（1）；
（2）四边形BCEF是平行四边形．
21．如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形.
22．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．求证：
（1）△BOE≌△DOF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
23．如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
24．如图，．图中有哪些互相平行的线段？
《6.2平行四边形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C C B C B A B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可．
【详解】解：作，，与交于点，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】在Rt△CBE中，由勾股定理可求得EC=5，又因AC=10，所以AE=EC=5．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，进而可求得四边形ABCD的面积．
【详解】解：∵∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，
∴，
∵AC＝10，
∴，
又∵BE＝ED＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积为BC×BD=4×6=24，
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，平行四边形的判定．
3．B
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
故选B.
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.
4．C
【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质和平行四边形的判定及性质. 根据等腰梯形的两腰相等可得出DE、DC的长度，利用平行线的性质可得出BE的长度，继而可得出答案
【详解】∵AD∥BC，AB∥DE，
∴ABED是平行四边形，
∴DE=CD=AB=6，EB=AD=5，
∴EC=8-5=3，
则△DEC的周长=DE+DC+EC=6+6+3=15．
故选C
5．C
【详解】解：以AD、BC为对边可组成 ABCD，以AD、EF为对边可组成 AEFD，以EF、BC为对边可组成 EFCB．故选C．
6．B
【分析】根据等腰梯形的定义可判断A；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C； 根据平行线的性质可以判断D.
【详解】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确．
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故D选项错误；
故选B
【点睛】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
7．C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．
【详解】解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意；
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰梯形，故C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．B
【详解】分析：根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°，
∴∠BAD=180°-∠B=100°．
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAD=50°．
∴∠AEB=∠DAE=50°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=50°．
故选B．
9．A
【解析】略
10．B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
11．B
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：根据平行四边形的判定，
A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、AB∥CD，AB=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、添加BC=AD，则不能判定是平行四边形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
12．D
【详解】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（3，-1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，
∴BO=AC2=2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（1，1）时，
∴BO=AC3=2，
∵A，C3，两点纵坐标相等，
∴C3O=BC3=，
同理可得出AO=AB= ，
进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，
∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；
D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形；
∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选D．
13． 平行且相等 平行且相等
【详解】解：如图，∵M是△ABC的AB边上的中点，∴AM=MB．∵MD＝CM，∴四边形ADBC是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，BD=AC，BD∥AC．故答案为平行且相等，平行且相等．
14．/100度
【分析】过点D作，且使，连接、，则四边形时平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用判定，根据全等三角形的性质可得，从而可推出为等边三角形，设，则，根据三角形内角和定理可分别表示出，根据等边三角形的性质不难求得的度数．
【详解】解：过点D作，且使，连接、，则四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为等边三角形，
设，则
，，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．
15．②③④
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确；
③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键．
16．
【分析】由为等腰直角三角形，结合，即可求证四边形为平行四边形，则问题得解.
【详解】连结，延长交于点，如下图所示：
由翻折可知，，
∵，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，，
∵∴，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，以及平行四边形的证明，属综合中档题.
17．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线，然后可得四边形是平行四边形，则有，，进而可得，所以可知当当时，有最小值，最后问题可求解
【详解】解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线．
，
∴四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
．
∵四边形是平行四边形，
，
∴当时，有最小值，此时，
最小值是．
故答案为
18．BC=8;CD=10;平行四边形ABCD的面积为48.
【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质即可解答.
【详解】在□ABCD中，BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∵，∴AD⊥BD，＝AD·DB＝48.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，注意平行四边形对边平行且相等.
19．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答．
（1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】（1）∵和都是等边三角形，
∴，
，即，
在和中，，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BCEF是平行四边形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
21．见解析
【分析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，
∵ AE＝CF，
∴ BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
∴DE∥BF ,DE=BF，
∵点M,N分别是DE,BF中点，
∴EM=DE, FN=BF，
∴EM=FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
【点睛】本题考查平行四边形的判定、性质、三角形的中位线定理，解题关键是正确选择判定与性质，不能混淆.
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；
（2）根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识求证.
23．(1)（4，4）；(2)见解析;(3)1.
【分析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据勾股定理即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；
（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，然后根据勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．
【详解】在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，
∴AB＝OB＝×8＝4，
OA ＝OB -AB
∴OA= ==4
∴点B的坐标为（4，4）；
（2）证明：∵∠OAB＝90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵DB＝DO＝4
∴DB＝AB＝4
∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ADB＝∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）设OG的长为x，
∵OC＝OB＝8，
∴CG＝8﹣x，
由折叠的性质可得：AG＝CG＝8﹣x，
在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2，
即（8﹣x）2＝x2+（4）2，
解得：x＝1，
即OG＝1．
【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
24．
【分析】根据平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵DE＝CF，DC＝EF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴DC∥EF，DE∥CF，
∴AB∥EF，
因此互相平行的线段有：．
【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定解答．
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