6.3特殊的平行四边形同步练习（含解析）

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6.3特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在正方形中，点、分别在，上，且，连接，，则下列结论中不一定正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边互相平行 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．如图，四边形为菱形，A、B两点的坐标分别是，，对角线相交于点O，则点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
8．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．如图，若要使成为菱形，则需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
10．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形
B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形
D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A． B．8 C． D．
12．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线互相垂直
二、填空题
13．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为 ．
14．如图所示，点在长方形的边上，，，则与的关系是 ．
15．如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为 ．（用含正整数的式子表示）

16．如图，在菱形中，，边上的高，那么对角线的长为 .
17．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，在等腰三角形中，，平分，交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交于点，作，交于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？请说明理由．

19．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
20．四边形的对角线，相交于点O，请添加一些条件使其成为正方形．
丽丽同学认为若添加，，可判定四边形是正方形．她的想法是否正确？若不正确，请给出正确的结论．
21．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， E、F是AC上两点，且AE = CF，连接BE、ED、DF、FB得四边形BEDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形．
(2)当EF、BD满足_____________ 条件时，四边形BEDF是矩形．（不必证明）．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）△AOD是等腰三角形．
24．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(0＜m°＜180 ）得线段PQ．
（1）当点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上（C点除外），且∠ADB=n°．
①探究m与n之间的数量关系；
②当点P在线段OB上运动时，存在点Q，使PQ=QD，直接写出n的取值范围．
《6.3特殊的平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C D B A A A
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】正方形的四边相等，四个角都是直角，且BF=CE，很容易证明△ABF≌△BCE，从而判断结论的正误．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴△ABF≌△BCE，
∴，
故D正确；
∵△ABF≌△BCE，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
故C正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故B正确；
综上，B，C，D一定正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．C
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了菱形．熟练掌握菱形的性质，关于原点对称的两点的坐标性质，是解题关键．
根据菱形的对称性，关于坐标原点对称的两点的横纵坐标都互为相反数，逐一判断即得．
【详解】∵菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
∴A、C两点关于原点中心对称；
∵点A的坐标是，
∴C点坐标为 ，
故选：B．
4．B
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．
【详解】是菱形
的面积
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【详解】
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．
6．D
【详解】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，
∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°，
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF；
（2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°；
（3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，
∵ HF⊥AE，HG⊥BD，
∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG；
（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
∴∠IMC=∠ECM=45°，
由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，
又∵MC=CM，
∴△MEC≌△CIM，
∴CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
7．B
【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【点睛】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
8．A
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键．
9．A
【分析】本题考查了菱形的判定，本题从菱形的定义来判断是关键．
根据菱形的判定逐项进行判断即可．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，且，四边形是菱形．故此选项符合题意；
B、四边形是平行四边形，且，不能得出是菱形，故此选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，且，只能得出四边形是平行四边形，不一定是菱形，故此选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，不一定是菱形，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定方法逐项排除即可，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
【详解】、对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形，此选项不符合题意；
、如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
即对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；
、如图，
∵和是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
即用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形，此选项不符合题意；
故选：．
11．A
【分析】由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
【详解】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD==13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE=AD=×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
12．B
【分析】根据矩形和菱形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，故A不符合题意；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故B符合题意；
C、矩形的邻边不一定相等，菱形的邻边相等，故C不符合题意；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线互相垂直，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质，熟知矩形和菱形的性质是解题的关键．
13．45°/45度
【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
根据折叠可得∠1＝∠2＝∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EBF＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．
14．垂直
【分析】利用矩形的性质，三角形内角和定理，即可解答.
【详解】∵，，
∴∠DAE=55°，∠ADE=35°，
∴∠AED=90°，
∴⊥
故答案为垂直.
【点睛】此题考查矩形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义.
15．
【分析】先计算出、、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解．
【详解】解：∵，
∴面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为，
∵点是的中点，∴
∴，
，
∴，
∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以计算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面积分别为：，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，矩形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解．
16．
【分析】首先根据菱形的性质可得AB=BC=13cm，再利用勾股定理计算出BH的长，进而得到HC的长，然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长．
【详解】如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=13cm，
∵BC边上的高AH=5cm，
∴BH==12cm，
∴CH=13-12=1（cm），
∴AC==cm，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的四条边都相等．
17．（2，﹣3）
【分析】根据菱形的轴对称性可知点C与点A关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得.
【详解】∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB（x轴）对称，
∵A（2，3），
∴C（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）．
【点睛】本题考查了菱形的性质、关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
18．（1）详见解析；（2）当点为AD上靠近点D的三等分点即时，.理由见解析；
【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，证明四边形AEPM为平行四边形，再证明EA=EP，则四边形AEPM为菱形；
（2）当点为AD上靠近点D的三等分点即时，四边形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半．作高线EN，先证明四边形EFBM是平行四边形，再证明EP=PF，根据面积公式可得结论．
【详解】（1）∵，，
∴四边形为平行四边形．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（2）当点为AD上靠近点D的三等分点即时，．理由如下：

设AP与EM交于H，过点作于点．
∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∵
∴
∵四边形为菱形
∴
∴
又∵
∴
∴EP=PF
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形和平行四边形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法是关键，还要熟记平行四边形和三角形的面积公式．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
20．不正确，添加条件，可判定四边形为正方形
【分析】根据正方形的判定方法，可按四边形—平行四边形—矩形—正方形，或四边形—平行四边形—菱形—正方形的顺序依次添加条件．
本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：不正确．若要使四边形是正方形，可先使其成为菱形或者矩形．
当，，时，四边形为矩形．添加条件，可判定四边形为正方形；
当，，时，四边形为菱形．添加条件，可判定四边形为正方形．答案不唯一，合理即可．
21．（1）证明见解析（2）证明见解析．
【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质得出∠ABP=∠DCP，再利用SAS判定三角形全等即可；
（2）根据已知条件和正方形的性质得到△APD为等边三角形，求得∠DAP=60°，即可分别求出∠PAC、∠BAP的度数，即可得到二者关系．
【详解】(1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC ∠PBC=∠DCB ∠PCB，即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP ∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC ∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的证明，要熟练掌握几种判定方法，根据条件选择合适的判定方法．本题是用角度证明2倍角关系，有时候也可用角平分线或等角转移来证明．
22．(1)见解析
(2)EF=BD
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据已知条件即可求得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据矩形的判定定理可知，对角线相等的平行四边形是矩形即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
AE=CF，
OE=OF，
BFDE是平行四边形．
（2）EF=BD．
证明：EF=BD，BFDE是平行四边形，
四边形BEDF是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，掌握平行四边形的性质与判定以及矩形的判定定理是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可.
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，然后求出∠DAF=∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可.
【详解】（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵BE=CF，BF=BC﹣FC，CE=BC﹣BE，∴BF=CE.
在△ABF和△DCE中，∵AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF=∠EDC.
∵∠DAF=90°﹣∠BAF，∠EDA=90°﹣∠EDC，∴∠DAF=∠EDA.
∴△AOD是等腰三角形.
24．（1）见解析；（2）①m+2n=180；②30＜n＜45
【分析】（1）作AD的垂直平分线，与BD的交点P即为所求；
（2）①连接PC． 由PC=PQ，得∠3=∠4，根据菱形的性质可得∠3=∠PAD，即可得到∠4=∠PAD，再根据∠4+∠PQD=180°即可求得结果；②根据旋转的性质结合菱形的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示：作的垂直平分线，交于点．
（2）①如图2，连接．
由，得．
由菱形，得．
所以得，
而．
所以．
所以．
②，
．
而点在线段上运动，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和菱形的性质以及外角的性质等知识，解题的关键是熟练利用相关知识得出对应角的关系．
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