6.4三角形的中位线定理同步练习（含解析）

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6.4三角形的中位线定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N．若米，则( )
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
拓展设问：若，，则 °．
2．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
3．如图，在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，则四边形的周长为（ ）

A．6 B．9 C．11 D．13
4．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若∠ADC=∠EOC=45°，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，．若，则的长度为（　　）
AI
A．10 B．12 C．14 D．16
8．如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M，N分别是的中点，连接MN．若 ，则（ ）
A．25 B． C．12 D．
9．如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若∠B=50°，则∠AFE的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
11．如图，在四边形中，是对角线的中点，点，分别是，的中点，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知正方形中，G、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不改变 D．线段的长不能确定
二、填空题
13．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm．
14．如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
15．如图，在中，对角线、相交于点O，，点E是边的中点，则 ．
16．连接三角形 的线段叫做三角形的中位线．
17．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为 ．
三、解答题
18．如图：在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若四边形的面积为，求的面积．
19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：，使得．
作法：如图，
①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵_______，_______，
∴（____________）（填推理的依据）．
20．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：DE =DF．
21．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点E，延长到点F，使，连结，交的延长线于点G，连结．
（1）求证：．
（2）判断与有何数量及位置关系，证明你的结论．
（3）若，求正方形的面积．
22．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
(1)求证：BE=EF；
(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.
23．如图所示，在中，，垂足为，平分，点为的中点，点为上的一点，连接、、、，．
（1）若，，求和的长．
（2）求证：．
24．已知：如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形．
《6.4三角形的中位线定理》参考答案
1． B 110
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，根据三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，进行求解即可．
【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，
∴是三角形的中位线，
∴（米）．
故选B．
拓展：∵，
∴，
∵是三角形的中位线，
∴，
∴，
故答案为：
2．D
【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，
∴，
∴四边形EFGH是平行四边形，
对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；
对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；
对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；
对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】由中位线的性质定理，得，，，，可证四边形是平行四边形，由，求得四边形周长．
【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴ 四边形周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质；由中位线性质确定线段间的位置和数量关系是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查中点四边形及矩形的判定和性质，三角形中位线的性质．利用三角形中位线的性质得出，再由四边形是矩形，即可得出结果．
【详解】解：由于E、F、G、H分别是的中点，
根据三角形中位线定理得：，
∵四边形是矩形，即，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】已知四边形ABCD是平行四边形，是边的中点，得OA=OC，OE∥AD，求得∠OEC=∠ADC=∠EOC=45°，即可得到度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵是边的中点
∴OE∥AD
∴∠OEC=∠ADC=∠EOC=45°
∴∠OCE=90°
∵AB∥CD
∴=∠OCE=90°
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等；三角形中位线性质定理；利用三角形内角和求三角形内角．
6．D
【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：分别为的中点，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意；
B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意；
C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意；
D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质；
根据直角三角形斜边中线的性质求出，可得的长，再根据为的中位线，即可求出．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B．
8．D
【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长．
【详解】解：连接，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
在中，
．
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形中位线的定义及性质，正确添加辅助线是解答本题的关键．
9．C
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到．
【详解】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故选C．
【点睛】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解．
10．C
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得∠BCA=∠BAC=65°，由三角形中位线定理可得EF∥BC，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，且∠B=50°
∴∠BCA=∠BAC=65°
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC
∴∠AFE=∠BCA=65°
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形中位线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．
11．D
【分析】根据三角形中位线定理得到PF=BC，PFBC，EP=AD，EPAD，即有EP=FP,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点．
∴PF是△DBC的中位线．
∴PF=BC，PFBC．
同理可得，EP=AD，EPAD．
∴EP=FP．
∵∠EPF=140°．
∴∠PFE=×（180°-140°）=20°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边不变，则对应的中位线的长度就不变．连接，根据三角形中位线定理可得，因此线段的长不变．
【详解】解：如图，连接．
∵E、F分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，为定值．
∴线段的长不改变．
故选：C．
13．7
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】由题意得，连结三边中点所围成的三角形的周长是cm，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．6
【分析】由平行四边形的对边平行且相等，得AD∥BC，AB∥CD ，AD=BC，AB=CD ，若CF平分∠BCD，可证明AE=AF，DF=CD，由AB＝AE从而可求出结果．
【详解】解：∵若CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC，
∴∠BCE=∠EFA，∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，
∴∠E=∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠EFA，
∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=3，
∵AB=AE，AF∥BC，
∴BC=2AF=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，能证得BC=2AF是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用．根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，代入求出即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
．
故答案为：．
16．两边中点
【分析】直接根据三角形的中位线的定义填空即可．
【详解】连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
故答案为：两边中点．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
17．
【分析】利用等腰三角形三线合一，以及三角形的中位线定理，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用即可得解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．
18．(1)见详解
(2)8
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用；
（1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到；
（2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：∵是的中位线，
∴，，
如图，连接，则，
又∵四边形的面积为6，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴的面积为．
19．(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可.
详解：（1）尺规作图如下图所示：
（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．
点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
20．答案见解析
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．
【详解】∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°，
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，
∵DF∥AB，且D是BC的中点，
∴F点是线段AC的中点，
∴DF=AC，
取AB的中点G，连接DG，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°，
∵DE⊥AB，
∴∠GED=90°，
在Rt△DEG中，∠DGE=30°，
∴DE=DG =DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）且，证明见解析；（3）2
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得；
（2）首先先判断出，从而得到是的中位线，即可得出答案；
（3）设，则，，由，得出，，利用勾股定理，解得，即正方形的面积是2．
【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）且，
理由：如图，
是正方形的对角线，
，
平分，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
而是的平分线，
，
为正方形的中心，
，
是的中位线，
且；
（3）设，则，，由（2）知，
，
，
，
，解得，
正方形的面积是2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，涉及全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定及性质．
22．(1)证明见解析；(2)结论仍然成立；(3)
【分析】(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论;
(2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明
【详解】(1)证明：∵ΔABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC
∵DE是中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE平分∠ABC，AE=EC
∴∠EBC=∠ABC=
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F
∵∠CEF+∠F=∠ACB=，
∴∠F=，
∴∠EBC=∠F，
∴BE=EF
(2)结论仍然成立.
∵DE是由中位线平移所得；
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，
∴ΔADE是等边三角形，
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=CF
∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，
∴∠FCE=∠EDB，
∴ΔBDE≌ΔECF，
∴BE=EF
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用三线合一证明得出结论
23．（1）BE=3，；（2）证明见解析
【分析】（1）要求BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理计算时，已经知道了AE的长，必须先求出AB的长，而在中，AB=CD,所以要求出CD的长，根据平行四边形的性质和DE平分，还有F是EC的中点，易证明，这样就可求出BE的值；而要求FG的长，只要通过证明，得到CG=CF，由（1）中，得到点G是CD的中点，从而可得FG是△EDC的中位线，利用中位线的性质，在利用勾股定理求出线段DE的前提下易求出FG的值；
（2）延长AG与BC的延长线交于点H ,由（1）中得，只要证明即可．
【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴，，．∴．
∵平分，∴，∴．∴．
∵点为的中点，∴，∴．
在中，由勾股定理得，∴．
在中，由勾股定理得．
∵，，，∴．∴．∴，∴是的中位线．∴．
（2）证明：如图所示，延长，交于点．
∵，∴，．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴．
∵，∴．
【点睛】本题考查的有平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形的全等的判定及三角形中位线的性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，提倡在解决复杂问题的过程中细致的观察，大胆的猜测想及数形结合思想的应用．
24．见解析
【分析】由已知条件得出是的中位线，是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，再证出，即可得出结论．
【详解】证明：点、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系是解决问题的关键．
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