7.2勾股定理同步练习 （含解析）

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7.2勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点E，交于G，，连接交于点H、下列结论：①若将沿折叠，则点E一定落在上；②图中有8对全等三角形；③；④若，则，上述结论中正确的个数是（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（ ）米．
A． B．14 C． D．
3．如图，中，，由尺规作图得到的射线与交于点E，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
5．如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　）

A．4 B．2．5 C．3 D．
6．如图，在长方形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A．3 B．3.6 C．3.5 D．3.4
7．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B． C．3 D．
8．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC的长是（ ）．
A．21 B．15 C．6 D．21或9
9．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B． C．2 D．0
11．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ 　）
A． B． C． D．
12．如图，等边的周长为12，则它的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
14．如图，在等腰三角形中，，，为底边上一动点（不与点 重合），， ，垂足分别为，则 ．
15．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ．
16．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，连接AD，若DE=2cm，则BC= cm
17．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为： ．
三、解答题
18．如图，铁路上两点相距，于点，于点，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？
19．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，．
(1)求修建的公路的长；
(2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3．求斜边上的高线及中线的长．
21．如图，点D、E、F分别足的边AB、BC、AC的中点，延长DE至点G．使得，连接AE，FG．
(1)求证：四边形AEGF是平行四边形．
(2)若，，求FG的长．
22．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
(1)求的长；
(2)求的长．
23．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
24．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
《7.2勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B B D A B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】由，得，由，得，先证明，得，则垂直平分，再证明，得，若将沿折叠，则点E一定落在上，可判断①正确；
可证明，得，则垂直平分，可知与互相垂直平分，则，可列举出原图中的9对全等三角形，可判断②错误；
连接，则，得，可推导出，再证明，则，可判断③正确；
作于点L，则，由，得，则，再证明，则，于是求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点A、点E都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴与互相垂直平分，
∴，
在原图中，这四个三角形全等，就可组成6对全等三角形，
还有，再加上前面证明的，
上述的全等三角形已达到9对，超过8对，故②错误；
连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于点L，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
3．B
【分析】由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，再根据即可得解．
【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的作图，等腰三角形三线合一，是解题的关键．
4．A
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值．
【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，
∴AC=AD=，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴AB2-AC2=42-（）2=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，先由三线合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，，是的高线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴点D为的中点，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．连接，交于点，根据翻折的性质知，，垂直平分，再说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，交于点，
将沿折叠得到，
，，垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：B．
7．B
【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB10，
由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，，
∴，
解得：x＝，
∴CD＝，
即点D到顶点C的距离是．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．D
【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，在Rt△ABD中，
∵AB=17，AD=8，

∴BD==15；
在Rt△ACD中，
∵AC=10，AD=8，
∴CD==6，
∴当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；
当AD在三角形的外部时，BC=15-6=9．
∴BC的长是21或9．
故选：D．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于要进行分类讨论，不要漏解．
9．A
【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．
【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故选：A．
【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．
10．B
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
11．B
【分析】由勾股定理逐项判断即可．
【详解】∵在△ABC中，∠A=90°，
∴，故选项A成立，不符合题意；
，故选项C成立，不符合题意；
，故选项D成立，不符合题意；
由条件得不到，故选项B不成立，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
12．B
【分析】本题主要考查了的等边三角形的性质，解题的关键是掌握“三线合一”，以及勾股定理．由等边三角形周长求出，根据三线合一可得，，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，且周长为12，
∴，
∵是高，
∴，，
在中，由勾股定理得：
∴．
故选：B．
13．2或
【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．
【详解】解：当为直角三角形时，可有：
①当时，如图1，
此时，
由折叠性质可知，，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图2，
由折叠性质可知，，，，
∴，即M、E、C三点共线，
设，则，
在中，，
∴，
在中，有，
即，解得 ，
即，
③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．
综上所述，满足条件的BN的长为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．
14．4.8
【分析】连接CD，过C点作底边AB上的高CG，根据S△ABC=S△ACD+S△DCB即可求得DE+DF的值．
【详解】解：连接CD，过C点作底边AB上的高CG，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．解答本题的关键是根据题意作出辅助线．
15．16
【分析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．
【详解】解：连接，
∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
16．12
【分析】作，由线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得AC，再根据勾股定理即可求解；
【详解】解：如图，作，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴，
∵DE垂直平分AC，
∴，
∵DE=2（cm），
∴
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
17．6
【分析】先根据勾股定理求出斜边AC的长，比较即可得到结果．
【详解】，
米，
答：标牌的▇处应填6．
考点：本题考查的是勾股定理的应用
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识．
18．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可．
【详解】解：∵要使两村到站的距离相等，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∵
∴，
设，则．
∵，
∴，
解得：，
∴．
答：站应建在离站处．
19．(1)修建的公路CD的长为
(2)总路程为
【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；
（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
，
∴，
∴，
∴修建的公路CD的长为；
（2）解：∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴总路程为．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．
20．高线：2.4；中线 ： 2.5
【分析】根据直角三角形的性质可求斜边上中线的长，根据勾股定理求得AC的长，再根据面积公式求得斜边上的高线的长．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴斜边上中线的长=AB=2.5，
根据勾股定理，得：AC==4，
三角形的面积是ACBC=AB×AB边上的高，
∴AB边上的高为=2.4．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练运用勾股定理进行计算．注意：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半；直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线的性质结合已知条件，可得，即可得证；
（2）根据勾股定理，求得的长，根据直角三角形斜边上的中线可得的长，进而根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴，，
∵，
∴，，
∵F为AC的中点，
∴，
∴，
∴四边形AEGF是平行四边形．
（2）∵D是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
由（1）得四边形AEGF是平行四边形
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质：
（1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可；
（2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
23．(1)见解析
(2)两个村庄相距41千米．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
【详解】（1）解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2，
它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2，
即a2+b2=c2；
（2）解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD= =41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24．32m或 20+ m或 m
【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD三种情况进行讨论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
（1）当AB=AD时，CD=6m，
△ABD的周长为32m；
（2）当AB=BD时，CD=4m，AD=m，
△ABD的周长是（20+）m；
（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，
则，
∴，
∴△ABD的周长是m，
答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+ m或 m．
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