7.4勾股定理的逆定理同步练习（含解析）

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7.4勾股定理的逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②13、12、5；③1、2、3；④3．5、4．5、5．5；⑤8、10、12，其中能够组成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
2．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ）
A． B． C． D．
3．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，则不能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．6，8，10 C．3，4，5 D．5，12，13
4．的三边满足，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
5．如图，在四边形中，已知，，且，，则（ ）
A． B．3 C． D．
6．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．形状不能确定
7．已知AD为△ABC的中线，且AB＝17，BC＝16，AD＝15，则AC等于( )
A．15 B．16 C．17 D．18
8．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．16 C．19 D．25
9．如图，中，，，是中线，且，则的面积为（　　）
A．30 B．48 C．24 D．18
10．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（ ）
A． B．a∶b∶∶2∶ C．，， D．，，
11．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题
13．已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为 三角形．
14．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ．
15．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西 °的方向．
16．如图，三角形中，于点D，若 ，则C 到的距离为 cm．
17．若三角形的三边长是6，8，，当的值为 时，该三角形是直角三角形.
三、解答题
18．已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点、、的位置，连接，，；是__________三角形；
(2)画出关于x轴对称的．
19．如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC =15，点D是BC边上一点，BD =5，AD=12．
（1）求证：△ADB是直角三角形．
（2）求BC的长度．
20．如图1，中，，点为中点，点为上一点，连结．已知．动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为（秒）．
　
(1)求证：．
(2)若为等腰三角形时，求的值．
(3)如图2，动点出发的同时，另有一点从点出发沿线段向终点运动，速度为个单位/秒，连结，将线段绕点分别向顺时针和逆时针方向旋转，得到线段和，当三点共线时，直接写出的值为______．
21．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由.
22．已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中画一条长度为的线段，要求线段的端点在格点上；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
(3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，求的度数．
24．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
《7.4勾股定理的逆定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B B C C C C
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】试题分析：如果满足两条较小边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形.①、；②、；③、；④、；⑤、，则①和②能构成直角三角形.
考点：直角三角形的判定
2．C
【分析】根据题意可得OA=24海里，OB=18海里，然后利用勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），
∵OA2+OB2=900，AB2=900，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴90°-40°=50°，
∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．A
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．D
【分析】先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：，
，
解得，
，
又，
为直角三角形，不是等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5．B
【分析】连接，取的中点，连接，勾股定理求得，进而证明是等边三角形，结合题意，根据角平分线的性质得出即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是的角平分线，
又∵，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．C
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，∵AD是△ABC的中线，BC=16，
∴BD=CD=8，
∴，
∵AB=17，AD=15，
∴
∴，
∴，
∴，
∴AC=.
故选C.
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，证明是解本题的关键.
8．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即是直角三角形，
∴，且正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选： C．
9．C
【分析】延长到，使，连接，利用得出与全等，得到，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
则；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
10．C
【分析】根据勾股定理的逆定理检验其中两边的平方和是否等于第三边的平方即可．
【详解】解：A、∵b2=（a+c）（a-c），
∴b2=a2-c2，
∴b2+c2=a2，
∴能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵a：b：c=1：2：，
∴设a=x，则b=2x，c=x，
∵x2+（x）2=（2x）2，
∴能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵a=32，b=42，c=52，
∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，
∴不能构成直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵a=6，b=8，c=10，
62+82=36+64=100=102，
∴能构成直角三角形，故选项D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
11．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴C正确，
，A错误，
，B错误，
D错误．
故选：C．
12．A
【分析】连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.
【详解】解：如图，连接PQ，
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
∵∠PBQ=60°，BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，
又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
即CQ=3a，PQ=4a，
∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，
则△PQC为直角三角形.
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13．等腰直角
【分析】根据绝对值和偶次方的性质，可得，由此可得出的形状；
本题考查利用勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，即可作出判断．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角
14．17，144，145
【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，
所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
15．70
【分析】求出OA2+OB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，根据平角定义求出即可．
【详解】解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，
∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°是解此题的关键．
16．
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，再利用面积法求出的长度即可，正确掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键
【详解】解：∵
∴
∴是直角三角形，且
∵，
∴
故答案为：
17．100或28
【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.
【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28；
②最长边不是8时，82+62=，则=100.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.
18．(1)直角
(2)画图见解析
【分析】本题考查了点的坐标，三角形的分类，对称图形的画法及勾股定理的逆定理，理解点的坐标是解答关键．
（1）根据点的坐标确定出三点，，，顺次连接这三点，根据勾股定理逆定理判断即可求解；
（2）根据关于轴对称的特点画出图形即可．
【详解】（1）解：先确定出三点，，，
连接，，，画图如下，
由图可知：，,,
,
所以是直角三角形．
答案为：直角形．
（2）解：根据关于轴对称的特点画图如上图，为所求作．
19．（1）详见解析；（2）BC长为14．
【分析】（1）先证明较短两边平方和等于最长边的平方，再用勾股定理逆定理证明△ADB是直角三角形．
（2）先证明AD⊥BD，再用勾股定理算出CD长，最后用CD+BD就得BC长．
【详解】（1）证明：在△ABD中，
∵BD=5，AD=12，AB=13
∴BD =25，AD =144，AB =169.
25+144=169
∴BD +AD =AB
∴△ABD是直角三角形.
（2）解： ∵△ABD是直角三角形. ．
∴∠ADB=90°
∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中，CD=
∴BC=BD+CD=5+9=14．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．用勾股定理逆定理判定垂直是非常重要的方法．
20．(1)证明见详解；
(2)的值为或；
(3)；
【分析】（1）设，，，则，再利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）如图1中，，取得中点，连接，分两种情况：，，分别求解即可；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，证得，由此构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：设，，，
则，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图1中，取得中点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∵点在上运动，
∴不可能，
综上所述，满足条件的的值为或；
（3）如图2中，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
同理可证，
∴，，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．能检查，理由见解析.
【详解】试题分析：能检查，（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；（2）连接AB得△PAB；（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.
试题解析：
能检查.
作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；
（2）连接AB得△PAB；
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.
理由：∵PA=3cm，PB=4cm，
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角.
点睛：本题关键利用勾股定理逆定理解题.
22．为等腰直角三角形
【分析】本题考查的是两点间的距离及勾股定理的逆运用，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值，在由勾股定理的逆运用判定即可得出答案
【详解】为等腰直角三角形．理由如下：
∵，，
，
而，∴．
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理的逆运用
23．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）连接AC，证明△ABC是等腰直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，线段AB即为所求；
；
（2）解：如图所示，△ABC即为所求；
；
（3）解：如图3所示，连接AC，
∵，，，
∴，，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．直角三角形
【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理
根据正方形的性质即勾股定理可得，，，即可判断结果．
由勾股定理得，，，
∵，
∴△AEF是直角三角形．
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