7.8实数同步练习（含解析）

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7.8实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．|1+|+|1﹣|=（　　）
A．1 B． C．2 D．2
2．下列一组数：，，，，，，，（相邻两个 之间依次增加一个 ）其中是无理数有 （ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．是无理数
C．无理数包括正无理数、负无理数和零 D．实数和数轴上的点是一一对应的
5．若，则估计m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各数中，3.14159，0.131131113······，， ，，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各数：3. 14，，，0，，，，其中无理数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．规定一种新运算：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则*3等于（ ）
A． B．3 C． D．
10．在0，2，，－5这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．2 C． D．－5
11．下列各数：，0，0.23，，0.303 003 0003…(每两个3之间增加1个0)中，无理数的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．的结果是（ ）
A． B． C．2 D．0
二、填空题
13．计算＝ ．
14．规定“Δ”是一种新的运算法则，满足：a△b=ab-3b，示例:4△(-3)=4×(-3)-3×(-3)=-12+9=-3.若-3△(x+1)=1，则x= .
15．计算： ．
16．下列各数：①3.141，②0.33333…，③，④，⑤，⑥，⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中是无理数的有 ．（填序号）
17．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为 1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是 ．
三、解答题
18．先阅读（1）的解法，再解答第（2）题：
（1）已知a，b是有理数，并且满足等式2b＋a＝a＋5－2，求a，b的值；
解：∵2b＋a＝a＋5－2，∴2b－a＋a＝5－2，
即（2b－a）＋a＝5－2．
又∵a，b为有理数，∴2b－a也为有理数，
∴解得
（2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式m＋2n＋（2－n）＝（＋6）＋15，求的立方根．
19．把下列各数填入相应的大括号中：
自然数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
20．有些大数值问题可以通过用字母代替数，转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．
例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．
解：设123456788=a，那么x=(a＋1)(a-2)=a2-a-2，y=a(a-1)=a2-a，
∵x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2＜0，∴x＜y．
看完后，你学到这种方法了吗？再亲自试一试吧，你准行！
问题：计算1．35×0．35×2．7-1．353-1．35×0．352．
21．计算：
22．计算：
(1)；
(2)．
23．已知a是2的算术平方根，的相反数是0，c是－1的立方根，求a2＋b2＋c2的值．
24．下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示）
《7.8实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D B A C A B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【详解】原式=1++﹣1=2．
故选D．
【点睛】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题的关键．
2．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解： 8，0，2是整数，属于有理数；
2.7，是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；,
无理数有，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）共2个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．C
【分析】根据得到，问题得解．
【详解】解：，
，即在5和6之间．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定的整数部分是解本题的关键．
4．D
【分析】根据算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即可．
【详解】解：A、负数有立方根，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、无理数不包括零，故选项C不符合题意；
D、数轴上的点与实数一一对应，说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题的关键．
5．D
【分析】解决本题的关键是估算出的范围先估算，再确定m的范围，即可得出结论．
【详解】解：因为，所以，
所以m的值所在的范围是．
故选D.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，解决本题的关键是估算出的范围．
6．B
【分析】本题考查了无理数的定义．
无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
【详解】3.14159是有理数； 0.131131113······是无限不循环小数，所以是无理数；是无理数； 是有理数；是分数，所以是有理数；因此无理数有2个．
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了无理数的概念，以及开平方、开立方运算，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．利用相关运算法则化简，并结合概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】在3. 14，，，0，，，，中，无理数有，，共3个．
故选C．
【点睛】此题考查无理数的定义，解题关键在于掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
9．A
【分析】仿照新定义的形式求解即可．
【详解】解：由题意可知：∵a*b=ab，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题借助新定义考查有理数的乘方运算，关键是能读懂题意，仿照新定义形式进行运算即可求解．
10．B
【分析】根据0次幂以及实数大小比较法则进行比较即可得．
【详解】=1，
则有-5<0<1<2，
即-5<0<<2，
即最大的数为2，
故选B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了0指数幂，数的大小比较方法为：正数大于负数，0大于负数，0小于正数，两个正数比较大小，绝对值大的数就大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．任何不为零的数的零次幂为1．
11．A
【详解】无理数有、0.303 003 0003…(每两个3之间增加1个0)共计2个.
故选A.
12．C
【分析】根据零次幂定义，积的乘方的逆运算进行计算．
【详解】．
故选：C
【点睛】此题考查实数的混合运算，掌握零次幂定义，积的乘方的逆运算是解题的关键．
13．4
【分析】按顺序先分别进行算术平方根和平方运算，然后再进行减法运算即可．
【详解】，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．
【分析】根据新定义代入得出含x的方程，解方程即可得出答案.
【详解】∵a△b=ab-3b
∴-3△(x+1)=-3(x+1)-3(x+1)=-6(x+1)
∴-6(x+1)=1
解得：x=
【点睛】本题考查的是新定义，认真审题，理清题目意思是解决本题的关键.
15．
【分析】根据立方根的定义、绝对值的性质、算术平方根的定义化简各数得出答案．
【详解】原式=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
16．③④⑦
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：③ 、④π、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1）是无理数，
故答案为：③④⑦．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
17．或或
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：．
与C重合的点表示的数：．
第二次折叠，折叠点表示的数为：或．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
18．1
【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m，n是有理数，
∴、都是有理数，
∴是无理数，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，代数式求值，求一个数的算术平方根，正确理解题意得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．
19．；，；；；；．
【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．
【详解】解：根据实数的分类，
自然数集合{ …}；
负数集合{ ， …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
实数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.
20．-1．35．
【详解】试题分析：本题中0．35和2．7都与1．35有关系，可设1．35=x，那么0．35=x-1，2．7=2x，然后进行计算．
设1．35=x，那么0．35=x-1，2．7=2x，
原式=x（x-1） 2x-x3-x（x-1）2，
=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），
=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，
=-x
=-1．35．
考点：整式的混合运算．
21．
【分析】根据立方根，零指数幂，乘方法则计算即可，此题易将与混淆，零指数幂易错解成0，本题考查了立方根，零指数幂，乘方，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：原式．
22．(1)3
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键：
（1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
23．3
【分析】本题涉及算术平方根、相反数、立方根3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：∵a是2的算术平方根，的相反数是0，c是－1的立方根，
∴a=，b=0，c=-1，
∴a2+b2+c2=2+0+1=3．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、相反数、立方根等考点的运算．
24．(1)2.25，见解析
(2)
【分析】（1）参照题目的过程解题即可．
（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可．
【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是，
设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键．
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