第五章对函数的再探索同步练习（含解析）

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第五章对函数的再探索
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过（1，2）点 B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．
4．抛物线y=x2-2x+a2的顶点在直线y=2上，则a的值为（　　）
A．－2 B．2 C．±2 D．无法确定
5．已知二次函数 y ＝－ x 2 + bx + c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示，点 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )在函数的图象上，当0＜ x 1 ＜1，2＜ x 2 ＜3时， y 1 与 y 2 的大小关系正确的是（　　）．
x … 0 1 2 3 …
y … －1 2 3 2 …
A．y 1 ≥ y 2 B．y 1 ＞ y 2 C．y 1 ＜ y 2 D．y 1 ≤ y 2
6．若关于的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列关于二次函数的说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3
C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小
8．已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（　　）个
A．3 B．2 C．1 D．0
9．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
11．若抛物线y=x2-x-2经过点A（3，a），则a的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知反比例函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．6
二、填空题
13．在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则与之间的函数关系式是 ，自变量取值范围为 ．
14．抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （h＞0）或 （h＜0）平移 个单位．
15．抛物线的开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .
16．李大伯家有10棵樱桃树，去年每棵樱桃树的产量如下表所示，若出售的价格为每千克15元，则李大伯去年的樱桃收入为 元.
17．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ．
三、解答题
18．某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？
19．如图．正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，已知图中阴影部分的面积等于9，求这个反比例函数的表达式．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
21．如图一，抛物线过三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结，点为线段的中点，点分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
22．已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
(1)二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
(2)二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
23．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)多解法 当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值：
(2)点在抛物线上．若，求t的取值范围及的取值范围．
24．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
《第五章对函数的再探索》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B C A D B D D
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐一判断即可得答案，
【详解】∵反比例函数中，-2＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴B、C选项错误，D选项正确，
∵当x=1时，y=-2，
∴图象不经过（1，2）点，故A错误，
故选：D．
2．A
【分析】根据抛物线的顶点式所对应的顶点坐标是，可作出选择．
【详解】解：对照抛物线的顶点式可得，，
把，代入顶点坐标公式中，得此抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的基础知识：会根据顶点式写出顶点坐标．需要强调的是：公式要记清楚．顶点式中的m与顶点坐标中的－m是互为相反数的关系．
3．A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD证明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF S△OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求．
【详解】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，
∴∠DAE＋∠OAG＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＋∠D＝90°．
∴∠D＝∠OAG，
在△DAE和△AOG中，，
∴△DAE≌△AOG（AAS），
∴DE＝AG，AE＝OG，
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝DE，
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，
∴OG＝AE＝＝3a，
∴EG＝AE＋AG＝7a，
∴E（3a，7a），
∵反比例函数的图象经过点E，
∴k＝21a2，
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形，
∴HF＝AG＝4a，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴x＝，
∴F（，4a），
∴OH＝，FH＝4a，
∴GH＝OH OG＝，
∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF S△OFH，S△EOF＝，
∴OG EG＋（EG＋FH） GH－OH HF＝，
∴×21a2＋ (7a＋4a)×－×21a2＝，
解得：a2＝，
∴k＝21a2＝21×＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形判定与性质，菱形的性质，勾股定理等．熟练掌握利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
4．B
【分析】根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意 要有意义．
【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为（-，）
所以=2
解得：a1=2，a2=-1
又因为要有意义
则a≥0
所以a=2．
故选B
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式．
5．C
【详解】由题中条件可知，该抛物线的对称轴是 x ＝2，且开口向下，
∴当0＜ x 1 ＜1,2＜ x 2 ＜3时， y 1 ＜ y 2 .
故选C.
6．A
【分析】此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和二次函数的性质，由的一元二次方程没有实数根得，结合配成顶点式即可，熟练掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根是解题的关键.
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
由，
∴顶点坐标为，
∵，
∴，
∴二次函数的图象的顶点在第一象限，
故选：．
7．D
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝ 1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D．
【详解】解：∵二次函数，
∴当x＝ 1时，y＝3，故选项A不符合题意；
它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．B
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
9．D
【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
【详解】①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得
故②错误；
③经过
又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,
函数有最小值
化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
10．D
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解答此题的关键．
【详解】解：∵，
∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵的图象上有三点，，，
∴点在第二象限，，在第四象限，
∴．
故选：D．
11．B
【分析】将A点坐标代入抛物线解析式y=x2-x-2即可求得a的值
【详解】解: 将A点坐标x=3代入抛物线解析式y=x2-x-2，
得：a=32-3-2=4．
故选B．
【点睛】本题考查了给出函数解析式求点的坐标的方法，代入已知量即可求得未知量，理解二次函数的定义是解题关键．
12．C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标的积=k进行计算即可．
【详解】解：把，代入，得，
解得．
故选：C
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，关键是掌握横纵坐标的积=k．
13． y=24-3x 0＜x＜8
【分析】由图形可知三角形ABP边BP上的高为AC，利用三角形的面积公式表示出y，即可得到y与x之间的函数关系式；根据关系式结合实际得出自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵BC=8，CP=x，
∴BP=8-x，
∴S△ABP=0.5×BP AC
=0.5×（8-x）×6
=24-3x，
即y=24-3x；
∵BC=8，根据题意可得自变量的取值范围为：0＜x＜8.
【点睛】本题考查了函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
14． 向右 向左 |h|
【解析】略
15． 向下 （0，0） y轴
【分析】对于二次函数，有，则抛物线开口向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
【详解】解：∵二次函数为，
∴，
∴抛物线开口向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
故答案为向下，（0，0），y轴.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，综合性较强．解题的关键是熟记二次函数的图像和性质.
16．3000
【分析】根据公式：总收入=每千克售价×总产量，即可求出.
【详解】解：根据题意可得：总收入=15×（14＋21＋27＋17＋18＋20＋19＋23＋19＋22）=3000元
故答案为：3000.
【点睛】此题考查的是销售问题，掌握总收入=每千克售价×总产量是解决此题的关键.
17． ； ．
【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键．
【详解】解：依题意得，
时间应，用油量不能超过原有油量，
∴，解得，
∴，
故答案为：，．
18．每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元
【分析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．
【详解】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．
由题意可得：
y＝（150＋25x）（240 20x）
＝ 500x2＋3000x＋36000
＝ 500（x 3）2＋40500
当x＝3时，y最大值＝40500．
因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．
【点睛】本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．
19．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为，图中阴影部分的面积等于9可求出的值，进而可得出直线的表达式，再根据点在直线上可求出的值，进而得出反比例函数的解析式．
【详解】解：反比例函数的图象关于原点对称，
阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为，则，解得，
正方形的中心在原点，
直线的解析式为：，
点在直线上，如下图：
，解得，
，
点在反比例函数的图象上，
，
此反比例函数的解析式为：．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式及正方形的性质，解题的关键是根据题意得出直线的解析式．
20．(1)k的值为，的值为6
(2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
21．（1）；（2）点横坐标的取值范围：或；（3）的周长最小值为3.
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出，即可求出关系式；
（2）可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时点横坐标的取值范围；
（3）由于点是的中点，可求出点的坐标，根据对称找出关于直线的对称点，连接两个对称点的直线与的交点，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【详解】解：（1）∵抛物线过三点
∴ 解得：；
∴抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
∴或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3）∵，，
∴，，
∵是的中点，
∴
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为，此时的周长最小，周长为的长，
，点F的纵坐标为，
∴点F到直线CE的距离为，
由对称可得到：点到直线的距离为，
∴，
点F与点关于直线CD对称，则有：⊥CD，
∴易求直线CD为，
∴设直线的解析式为：，
把点F代入解析式得：，
∴设直线的解析式为：，
∴即点，
，
即：的周长最小值为3，
【点睛】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．
22．(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7
(2)a＝2，b＝8，c＝7
【分析】（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变进行求解即可；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数进行求解即可；
【详解】（1）解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，
∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，
即y＝2x2+8x+7
∴二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
23．(1)，；
(2)t的取值范围为；的取值范围为．
【详解】解：（1）解法一：当时，点，的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为，∴，
∵，∴抛物线与y轴交点的坐标为；
多解法 解法二：将点，代入抛物线，∴
∵，∴，整理，得，
∴抛物线的对称轴为直线，∴，
∵，∴抛物线与y轴交点的坐标为；
（2）∵，∴，
解得，∴，
∴，即；
由题意可知，点与点关于对称，∴，
当时，；当时，，∴的取值范围为．
综上所述，t的取值范围为；的取值范围为．
24．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
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