5.2反比例函数同步练习（含解析）
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5.2反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（ ）
A．（1，－2） B．（－1，2） C．（－1，－2） D．（2，1）
2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．2
5．下列关系式中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数（）交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、，分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ）
A． B． C． D．
8．对于反比例函数下列结论中错误的是（ ）
A．图象必经过 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．若，则
9．如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ）
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知关于x的函数y＝(m﹣1)xm是反比例函数，则其图象( )
A．位于一、三象限 B．位于二、四象限
C．经过一、三象限 D．经过二、四象限
12．一次函数的图像经过点，两点，P为反比例函数图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．不确定
二、填空题
13．已知点、点都在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
14．已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则 0．（填“>”“=”或“＜”）
15．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为 ．
16．已知点P（2，-3）满足反比例函数，则k= .
17．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，若菱形的周长为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于菱形的面积，求点的坐标．
19．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
20．如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
21．一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度．
（1）求V与的函数关系式；
（2）求当时，二氧化碳的密度；
（3）结合函数图象回答：当时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大（小）值是多少？
22．已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况．
23．如图1，在平面直角坐标系中，在中，，，，顶点A在第一象限，点B，C在x轴的正半轴上，（C在B的右侧），可沿x轴左右移动，与关于AC所在直线对称．
(1)当时，直接写出点A和点D坐标．
(2)判断（1）中的A，D是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB多长时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，求的值．
(3)如图2，当点A，D在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与BA的延长线交于点P，当是以为底边的等腰三角形，求的值．
24．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
《5.2反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A D C A B B B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．
【详解】解：由已知可得，解这个方程组得， ，则得，
则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2），
因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点睛】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵活运用．
2．C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3．C
【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了相似三角形的判定与性质．
4．A
【详解】试题解析：是反比例函数，
，且m 1≠0，
解得：m=3或m= 1，
∵当x<0时，y随x的增大而增大，
∴m 1<0，
解得m<1，
∴m= 1，
故选A.
5．D
【分析】形如且k为常数，称为反比例函数，根据反比例函数解析式的定义即可完成．
【详解】A、B两个选项中的关系式是一次函数关系式，
C选项的函数是的反比例函数，而不是的反比例函数，
D选项可化为，故它是反比例函数关系式；
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解题的关键．
6．C
【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．A
【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，把，，代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、……的值，故可得出结论．
【详解】解：设，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，，
∵、、、…、在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴，，…，
设从左到右，小三角形面积依次为、、……，则：
∴；
；
；
……
∴，
∴
即：．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，可判断出B、C、D的正误．
【详解】解：A、当 时， ，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意；
B、因为 ，所以在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、因为 ，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
D、若，图象位于第四象限内，y随x的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
9．B
【分析】设先求出的值，从而得出反比例函数解析式，再将代入反比例函数即可得出答案．
【详解】解：电流是电阻的反比例函数，
设
把，代入，得
电阻增大
把代入，得
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握欧姆定律是解题的关键．
10．B
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
11．B
【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据m-1的符号判断函数所在的象限．
【详解】根据反比例函数的定义可知：m=-1，m-1≠0，
解得：m=-1，
此时函数化简为：y=-，该函数的图象经过二、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
12．A
【分析】由一次函数图像上的两个点，，可确定一次函数中的参数k、b的值，从而确定反比例函数的关系式，再根据反比例函数k的几何意义直接求解．
【详解】解：把点，代入得：
，
解得：，
所以反比例函数表达式为，
根据题意可得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、一次函数关系式的确定，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
13．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中横纵坐标的积是定值k．
14．
【详解】点和点均在反比例函数的图象上，，，，，
15．﹣9
【分析】依题意分别设出CE，DE的长，表示出C，B，A三点坐标，用表示出的点表示出两三角形面积代入求值即可．
【详解】解：设CE＝2t，则DE＝3t，
∵点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴，
∴C（，5t），B（，3t），
∴A（，3t），
∵△ABC与△DBC的面积之差为3，
∴，
∴k1＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】本题考查了反比例函数反比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
16．.
【分析】根据函数y=的图象经过（2，-3）求出k的值．
【详解】∵图象经过（2，-3），
∴k=xy=-6，
故答案为-6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
17．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为．
故答案是：．
18．（1）；（2）P的坐标为或.
【分析】（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出OD的长，由菱形四条边相等，求出OC的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的长，确定出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出解析式；
（2）分两种情况考虑：若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，求出菱形的面积即为三角形PBO面积，根据BO的长，利用三角形面积公式求出P的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，同理确定出P′坐标即可．
【详解】(1)连接AC，交x轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB，
∵菱形的周长为20，B( 6,0)，
∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3，
在Rt△COD中,根据勾股定理得：，
∴C( 3, 4)，
把C坐标代入反比例解析式得：k=12，
则反比例解析式为；
（2）分两种情况考虑：
若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，
∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6，
∴S菱形ABCO=，
，OB=6，
∴=8，
把y=8代入反比例函数解析式得：，
此时P坐标为；
若P′在第三象限反比例图象上,连接OP′,BP′，
同理得到= -8，
把y= 8代入反比例函数解析式得：，
此时P′，
综上，P的坐标为或.
【点睛】本题考查反比例函数综合题.（1）要求反比例函数的解析式，只需要求出该函数图象上的一个点的坐标即可，所以解决此问的关键就是利用菱形的性质去求C点坐标；（2）以BO为底，则P点距离x轴的距离（即P点的纵坐标的绝对值）即为三角形的高，故P点的位置有两处，掌握分类讨论思想在本题中非常重要.
19．(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【详解】试题分析: （1）由平均数,得x=，即y=是反比例函数,
（2）由单价乘以油量等于总价,得y=4.75x,即y=4.75x是正比例函数,
（3）由路程与时间的关系,得t=,即t=是反比例函数．
试题解析:（1）由平均数,得x=，即y=是反比例函数,
（2）由单价乘以油量等于总价,得y=4.75x,即y=4.75x是正比例函数,
（3）由路程与时间的关系,得t=,即t=是反比例函数．
20．（1） （2）或
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）设Q（m，n），代入反比例解析式得到n，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标．
【详解】解：（1）把代入中，得，
∴，
∵，∴把代入中，
得，
即，
把代入中，
得，
则双曲线解析式为；
（2）如图，轴于点H，连接；设，
∵在双曲线上，
∴，
∵点B在上，
∴．
当时，
可得，即，
∴，即，
解得或（舍去），
∴；
当时，
可得，即，
整理得，
解得或（舍），
∴，
综上所述，或．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（1）；（2）1.5kg/m3；（3）二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3
【分析】（1）根据质量＝密度×体积，即可得出V与ρ的函数关系式；
（2）将V＝9代入解析式即可求的二氧化碳的密度ρ；
（3）根据反比例函数图象的增减性判断即可．
【详解】解：（1）设，
将V＝4，ρ＝2.25代入，得：
，
解得：m＝9，
∴V与的函数关系式为；
（2）将V＝6代入，得：
，
解得：，
答：当时，二氧化碳的密度为1.5kg/m3；
（3）如图，
∵m＝9＞0，且V＞0，，
∴V随着的增大而减小，
∴当时，，
∴二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据质量＝密度×体积列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
22．，在每个象限内y随x的增大而增大．
【分析】根据反比例函数的定义得出，再由函数图象在第二、四象限内，可得出m-1＜0，两者联立，解方程及不等式即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得：．
∵函数图象在第二、四象限内，
∴在每个象限内y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y=：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
23．(1)，
(2)不在，理由见解析，
(3)
【分析】（1）过点D作轴与点E，由，，，可得点A的坐标，由勾股定理求得，再求得，，，即可得到点D的坐标；
（2）由得到点在反比例函数上，由点，得到点在反比例函数上，得到A，D不在同一个反比例函数图象上，由，，求得，即可得到答案；
（3）由平移到，点在反比例函数的图象上，得，求得，由是以为底边的等腰三角形得，由两点间距离公式即可求得m的值，进而求得的值．
【详解】（1）解：过点D作轴与点E，
∵，，，
∴点A的坐标是，
∴，，，
∴，
∴
∵与关于AC所在直线对称，
∴，，
∴，
∴,
∴，，
∴，
∴；
（2）∵点，,
∴点在反比例函数上，
∵点，,
∴点在反比例函数上，
∴A，D不在同一个反比例函数图象上，
∵，，，
解得，
此时，
∴当时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，
即；
（3）设四边形ABCD向右平移m个单位长度，
由（2）知点，
∴平移到，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵点，
∴点P的横坐标为3，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
由两点间距离公式可得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
即的值是．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，图形的平移，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
24．（1）6；（2）
【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值；
（2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值．
【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面积是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点A，C都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
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5.2反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（ ）
A．（1，－2） B．（－1，2） C．（－1，－2） D．（2，1）
2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．2
5．下列关系式中，是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在x轴正半轴上依次截取（n为正整数），过点、、、…、分别作x轴的垂线，与反比例函数（）交于点、、、…、，连接、、…、，过点、、…、，分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （ ）
A． B． C． D．
8．对于反比例函数下列结论中错误的是（ ）
A．图象必经过 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限 D．若，则
9．如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ）
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知关于x的函数y＝(m﹣1)xm是反比例函数，则其图象( )
A．位于一、三象限 B．位于二、四象限
C．经过一、三象限 D．经过二、四象限
12．一次函数的图像经过点，两点，P为反比例函数图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．不确定
二、填空题
13．已知点、点都在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
14．已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则 0．（填“>”“=”或“＜”）
15．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为 ．
16．已知点P（2，-3）满足反比例函数，则k= .
17．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，若菱形的周长为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点是反比例函数上的一点，且的面积恰好等于菱形的面积，求点的坐标．
19．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
20．如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
21．一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度．
（1）求V与的函数关系式；
（2）求当时，二氧化碳的密度；
（3）结合函数图象回答：当时，二氧化碳的密度有最大值还是最小值？最大（小）值是多少？
22．已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况．
23．如图1，在平面直角坐标系中，在中，，，，顶点A在第一象限，点B，C在x轴的正半轴上，（C在B的右侧），可沿x轴左右移动，与关于AC所在直线对称．
(1)当时，直接写出点A和点D坐标．
(2)判断（1）中的A，D是否在同一个反比例函数图象上，说明理由，如果不在，试问OB多长时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，求的值．
(3)如图2，当点A，D在同一个反比例函数图象上，把四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与BA的延长线交于点P，当是以为底边的等腰三角形，求的值．
24．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
《5.2反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A D C A B B B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．
【详解】解：由已知可得，解这个方程组得， ，则得，
则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2），
因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点睛】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵活运用．
2．C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
3．C
【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了相似三角形的判定与性质．
4．A
【详解】试题解析：是反比例函数，
，且m 1≠0，
解得：m=3或m= 1，
∵当x<0时，y随x的增大而增大，
∴m 1<0，
解得m<1，
∴m= 1，
故选A.
5．D
【分析】形如且k为常数，称为反比例函数，根据反比例函数解析式的定义即可完成．
【详解】A、B两个选项中的关系式是一次函数关系式，
C选项的函数是的反比例函数，而不是的反比例函数，
D选项可化为，故它是反比例函数关系式；
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数定义是解题的关键．
6．C
【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．A
【分析】由可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，把，，代入反比例函数的解析式即可求出、、的值，再由三角形的面积公式可得出、、……的值，故可得出结论．
【详解】解：设，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为……点的坐标为，，
∵、、、…、在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴，，…，
设从左到右，小三角形面积依次为、、……，则：
∴；
；
；
……
∴，
∴
即：．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，可判断出B、C、D的正误．
【详解】解：A、当 时， ，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意；
B、因为 ，所以在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、因为 ，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
D、若，图象位于第四象限内，y随x的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
9．B
【分析】设先求出的值，从而得出反比例函数解析式，再将代入反比例函数即可得出答案．
【详解】解：电流是电阻的反比例函数，
设
把，代入，得
电阻增大
把代入，得
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握欧姆定律是解题的关键．
10．B
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
11．B
【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据m-1的符号判断函数所在的象限．
【详解】根据反比例函数的定义可知：m=-1，m-1≠0，
解得：m=-1，
此时函数化简为：y=-，该函数的图象经过二、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
12．A
【分析】由一次函数图像上的两个点，，可确定一次函数中的参数k、b的值，从而确定反比例函数的关系式，再根据反比例函数k的几何意义直接求解．
【详解】解：把点，代入得：
，
解得：，
所以反比例函数表达式为，
根据题意可得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、一次函数关系式的确定，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
13．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中横纵坐标的积是定值k．
14．
【详解】点和点均在反比例函数的图象上，，，，，
15．﹣9
【分析】依题意分别设出CE，DE的长，表示出C，B，A三点坐标，用表示出的点表示出两三角形面积代入求值即可．
【详解】解：设CE＝2t，则DE＝3t，
∵点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴，
∴C（，5t），B（，3t），
∴A（，3t），
∵△ABC与△DBC的面积之差为3，
∴，
∴k1＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】本题考查了反比例函数反比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
16．.
【分析】根据函数y=的图象经过（2，-3）求出k的值．
【详解】∵图象经过（2，-3），
∴k=xy=-6，
故答案为-6．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
17．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为．
故答案是：．
18．（1）；（2）P的坐标为或.
【分析】（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出OD的长，由菱形四条边相等，求出OC的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的长，确定出点C坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出解析式；
（2）分两种情况考虑：若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，求出菱形的面积即为三角形PBO面积，根据BO的长，利用三角形面积公式求出P的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，同理确定出P′坐标即可．
【详解】(1)连接AC，交x轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB，
∵菱形的周长为20，B( 6,0)，
∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3，
在Rt△COD中,根据勾股定理得：，
∴C( 3, 4)，
把C坐标代入反比例解析式得：k=12，
则反比例解析式为；
（2）分两种情况考虑：
若P在第一象限反比例函数图象上，连接PB，PO，
∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6，
∴S菱形ABCO=，
，OB=6，
∴=8，
把y=8代入反比例函数解析式得：，
此时P坐标为；
若P′在第三象限反比例图象上,连接OP′,BP′，
同理得到= -8，
把y= 8代入反比例函数解析式得：，
此时P′，
综上，P的坐标为或.
【点睛】本题考查反比例函数综合题.（1）要求反比例函数的解析式，只需要求出该函数图象上的一个点的坐标即可，所以解决此问的关键就是利用菱形的性质去求C点坐标；（2）以BO为底，则P点距离x轴的距离（即P点的纵坐标的绝对值）即为三角形的高，故P点的位置有两处，掌握分类讨论思想在本题中非常重要.
19．(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【详解】试题分析: （1）由平均数,得x=，即y=是反比例函数,
（2）由单价乘以油量等于总价,得y=4.75x,即y=4.75x是正比例函数,
（3）由路程与时间的关系,得t=,即t=是反比例函数．
试题解析:（1）由平均数,得x=，即y=是反比例函数,
（2）由单价乘以油量等于总价,得y=4.75x,即y=4.75x是正比例函数,
（3）由路程与时间的关系,得t=,即t=是反比例函数．
20．（1） （2）或
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）设Q（m，n），代入反比例解析式得到n，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标．
【详解】解：（1）把代入中，得，
∴，
∵，∴把代入中，
得，
即，
把代入中，
得，
则双曲线解析式为；
（2）如图，轴于点H，连接；设，
∵在双曲线上，
∴，
∵点B在上，
∴．
当时，
可得，即，
∴，即，
解得或（舍去），
∴；
当时，
可得，即，
整理得，
解得或（舍），
∴，
综上所述，或．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（1）；（2）1.5kg/m3；（3）二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3
【分析】（1）根据质量＝密度×体积，即可得出V与ρ的函数关系式；
（2）将V＝9代入解析式即可求的二氧化碳的密度ρ；
（3）根据反比例函数图象的增减性判断即可．
【详解】解：（1）设，
将V＝4，ρ＝2.25代入，得：
，
解得：m＝9，
∴V与的函数关系式为；
（2）将V＝6代入，得：
，
解得：，
答：当时，二氧化碳的密度为1.5kg/m3；
（3）如图，
∵m＝9＞0，且V＞0，，
∴V随着的增大而减小，
∴当时，，
∴二氧化碳的密度有最大值，最大值为1.5kg/m3．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据质量＝密度×体积列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
22．，在每个象限内y随x的增大而增大．
【分析】根据反比例函数的定义得出，再由函数图象在第二、四象限内，可得出m-1＜0，两者联立，解方程及不等式即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得：．
∵函数图象在第二、四象限内，
∴在每个象限内y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y=：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
23．(1)，
(2)不在，理由见解析，
(3)
【分析】（1）过点D作轴与点E，由，，，可得点A的坐标，由勾股定理求得，再求得，，，即可得到点D的坐标；
（2）由得到点在反比例函数上，由点，得到点在反比例函数上，得到A，D不在同一个反比例函数图象上，由，，求得，即可得到答案；
（3）由平移到，点在反比例函数的图象上，得，求得，由是以为底边的等腰三角形得，由两点间距离公式即可求得m的值，进而求得的值．
【详解】（1）解：过点D作轴与点E，
∵，，，
∴点A的坐标是，
∴，，，
∴，
∴
∵与关于AC所在直线对称，
∴，，
∴，
∴,
∴，，
∴，
∴；
（2）∵点，,
∴点在反比例函数上，
∵点，,
∴点在反比例函数上，
∴A，D不在同一个反比例函数图象上，
∵，，，
解得，
此时，
∴当时，点A，D在同一个反比例函数的图象上，
即；
（3）设四边形ABCD向右平移m个单位长度，
由（2）知点，
∴平移到，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵点，
∴点P的横坐标为3，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
由两点间距离公式可得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
即的值是．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，图形的平移，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
24．（1）6；（2）
【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值；
（2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值．
【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面积是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点A，C都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
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