5.4二次函数的图像和性质同步练习（含解析）

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5.4二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．以下那个点不在函数的图象上（ ）
A．(3，9) B．(-1，1) C．(2，4) D．(1，2)
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x=
C．当x<,y随x的增大而减小
D．当 -1 < x < 2时，y>0
5．函数写成的形式是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0，②a﹣b＝0，③4a+2b+c＜0，④若（﹣2，y1）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）
A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②
7．已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
8．已知的图象如图所示，则函数的图象（ ）
A． B． C． D．
9．同一坐标系中，抛物线的共同特点是（ ）
A．关于轴对称，开口向上 B．关于轴对称，随的增大而增大
C．关于轴对称，随的增大而减小 D．关于轴对称，顶点是原点
10．如图，反比例函数y和正比例函数y2＝k2x的图像交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若k2x，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
11．知反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，它们的解析式可能分别为（　　）

A．y=， y=kx2+2kx B．y=， y=kx2-2kx
C．y=-， y=kx2-2kx D．y=-， y=kx2+2kx
12．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．二次函数的对称轴为：x＝ ，顶点坐标为( )
14．抛物线y＝x2的对称轴是直线 ．
15．已知抛物线经过点，那么m= ．
16．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为 ．
17．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线 ．
三、解答题
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

19．已知抛物线与抛物线的形状相同，并且时，随的增大而减小，求二次函数的解析式．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
··· ···
··· ···
（1） ﹔
（2）与轴的交点坐标是 ﹔
（3）求这个二次函数的表达式 ﹔
（4）在下面框里，画出这个函数的图象；
（5）根据图象，写出当时，的取值范围．
21．如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0) 交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．
（1）求a，b的值；
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m ，△OBP的面积为S，．求K关于m 的函数表达式及K的范围．
22．请在下面横线上写一个y关于x的函数解析式，使它满足：当时，y随x的增大而减小．
（1）若y是x的一次函数，则 ；
（2）若y是x的反比例函数，则 ；
（3）若y是x的二次函数，则 ．
23．函数与直线交于点
(1)求，的值；
(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
24．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．
《5.4二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D A D A D C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，可得△COD≌△OAE，在 中，由∠COD=60°， 可得∠OCD=30°，从而得到 ， ，进而得到 ，可得到点 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，
根据题意得∠AOC=90°，OA=OC=2，∠COD=90°-30°=60°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∵CD⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠CDO=∠OEA=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠COD=∠OAE，
∴△COD≌△OAE，
∴AE=OD，OE=CD，
在 中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
把代入，得：
，解得： ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△COD≌△OAE是解题的关键．
2．D
【分析】利用代入法对各点进行判断即可．
【详解】A. (3，9)，在函数图象上；
B. (-1，1)，在函数图象上；
C. (2，4) ，在函数图象上；
D. (1，2)，不在函数图象上；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
4．D
【详解】试题分析：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．
故选D．
考点：二次函数的性质
5．D
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：y=x2+2x+1
=(x2+4x)+1
=(x2+4x+4)-2+1
=(x+2) 2-1．
故选D．
【点睛】二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
6．A
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；
②根据对称轴求出b=-a；
③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；
④求出点（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x=，
∴-=，
∴b=-a＞0，
∴abc＜0．故①正确；
②∵由①中知b=-a，
∴a+b=0，故②错误；
③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
∵抛物线经过点（2，0），
∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；
④∵（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，
∴y1＜y2．故④正确；
综上所述，正确的结论是①④．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
7．D
【详解】【分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限，据此即可作出判断.
【详解】∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，
∴△=4﹣4（k+1）＞0，
解得k＜0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限，
反比例函数y=的图象在第二四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x轴的交点情况确定出k的取值范围是解本题的关键.
8．A
【分析】由抛物线的开口方向，判断的符号，再由对称轴判定的符号，最后利用一次函数的性质解答．
【详解】解：抛物线的开口向下
抛物线的对称轴，
在中，，
图象经过第二、三、四象限，大致图象如下：
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握数形结合的思想．
9．D
【分析】形如y=ax2的抛物线共同特点就是：关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．
【详解】解：因为抛物线都符合抛物线的最简形式y=ax2，
其对称轴是y轴，
A、开口向下，故选项错误；
B、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0，随的增大的变化情况不一样，故选项错误；
C、抛物线y=ax2在x＜0时和x＞0，随的增大的变化情况不一样，故选项错误；
D、抛物线y=ax2的顶点是原点，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质确定抛物线的开口、对称轴以及顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质确定二次函数的图象是关键．
10．C
【分析】根据图像的交点坐标及函数的大小关系，结合图像直接解答．
【详解】解：由图可知，在A点右侧，y轴左侧，反比例函数的值小于一次函数的值，此时﹣1＜x＜0；
在B点右侧，反比例函数的值小于一次函数的值，此时x＞1；
综上分析可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，k2x，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图像问题是解题的关键．
11．B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象的开口方向判断出反比例函数比例系数与二次项系数同号，再根据二次函数对称轴在y轴右边解答即可．
【详解】∵反比例函数图象位于第二、四象限，二次函数图象开口向下，
∴反比例函数比例系数与二次项系数同号，
∵二次函数对称轴在y轴右边，
∴二次项系数与一次项系数异号，
∴它们的解析式可能分别为y=，y=kx2-2kx，
选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
12．B
【详解】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
13． ，
【解析】略
14．y轴或（x＝0）
【分析】直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．
【详解】解：抛物线y＝x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．
故答案为y轴或（x＝0）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．
15．4
【分析】把点的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【详解】∵经过点，
∴，
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是解题关键．
16．4
【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
17．x=5
【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．
【详解】解：∵二次函数图像经过点和，
∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5
故答案为：x=5．
【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．
18．（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【分析】（1）令y=0，可求出x的值，即为与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，再根据图像信息即可得出x的取值范围.
【详解】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图象如图：

由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键.
19．
【分析】先根据两条抛物线的形状相同可得，再根据二次函数的增减性可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∴或．
又时，随的增大而减小，
∴，即，
∴．
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
20．（1）；（2）；（3）；（4）见解析；（5）或．
【分析】（1）根据表格可直接进行解答；
（2）由表格可直接进行求解；
（3）由表格可设函数解析式为，然后任意代一个点进行求解即可；
（4）根据五点法进行作图即可；
（5）由函数图像可直接进行求解．
【详解】解：（1）由表格可得：；
故答案为；
（2）由表格可得：与x轴的交点，则纵坐标为0，所以与x轴的交点坐标为：；
故答案为；
（3）由表格可设函数解析式为，把代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
函数图象如图所示：
（5）由（4）可得：当时，或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
21．（1）a=-1；b=4；（2）K=-m+4，0＜K＜2
【详解】分析: （1）将x=2代入直线y=2x得出对应的函数值，从而得出M点的坐标，将M点的坐标代入抛物线 y = a x 2 + b x ，再根据抛物线的对称轴为直线 x = 2，得出关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值;
（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，根据P点的横坐标及点P在抛物线上从而得出PH的值，根据B点的坐标得出OB的长，从而根据三角形的面积公式得出S=-m2+4m，再根据,得出k=-m+4，由题意得A（4，0），M（2，4），根据P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，从而得出2＜m＜4，根据一次函数的性质知K随着m的增大而减小，从而得出答案0＜K＜2.
详解:
（1）解 ;将x=2代入y=2x得y=4
∴M（2，4）
由题意得 ，
∴ .
（2）解 ：如图，过点P作PH⊥x轴于点H
∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y=-x2+4x
∴PH=-m2+4m
∵B（2，0），
∴OB=2
∴S= OB·PH=×2×（-m2+4m）=-m2+4m
∴K==-m+4
由题意得A（4，0）
∵M（2，4）
∴2＜m＜4
∵K随着m的增大而减小，所以0＜K＜2
点睛: 本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点.
22． （答案不唯一）； （答案不唯一）； （答案不唯一）．
【解析】略
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入可得：
点的坐标为
把代入可得：
，；
（2）解：由（1）可得，
抛物线开口向下，且对称轴为轴，
当时，随的增大而增大．
24．（1）；（2）向上，；（3）
【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解．
【详解】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（ 1，3），把点（ 1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2， 1），
所以原二次函数的解析式为
所以；
（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2， 1）．
（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2， 1）
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∴当x=2时，y的最小值为-1，
∵x=1时，；x=5时，
∴当时，求函数y的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
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