5.5确定二次函数的表达式同步练习（含解析）

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5.5确定二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（　　）
x … 0 1 2 …
y … …
A．y=x2﹣x﹣ B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+ D．y=﹣x2+x+
5．若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线 y=mx2－2mx+m－1(m>0)与 x 轴交于 A、 B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（包括边界）恰有 6 个整点，则 m 的取值范围是( )
A． m B． m C． m D． m
6．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
7．抛物线y=－2x2－x+1的顶点在第_____象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
8．已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
9．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
10．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A．1 B．9 C．16 D．24
12．若所求的二次函数图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．把二次函数的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为
14．若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为 ．
15．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与轴交于点，这个二次函数的解析式可以是 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x+2bx+c上
（1）c= (用含b的式子表示)；
（2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥)，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为 ．
17．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ．
三、解答题
18．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．
19．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）请求出该二次函数的表达式．
（2）请求出图象的对称轴和顶点坐标
（3）在二次函数图象的对称轴上是否存在点，使的周长最小 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知下列条件，求二次函数的解析式．
（1）经过(1，0)，(0，2)，(2，3)三点；
（2）图象与x轴一交点为(﹣1，0)，顶点(1，4)．
21．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题：
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式．
22．已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+1的图象的对称轴是x=2，求此二次函数解析式．
23．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
24．如图，已知抛物线经过两点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)直接写出当时，求y的取值范围．
《5.5确定二次函数的表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A A B A B C B C
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与x轴交点时，可设交点式，通过图象社解析式求解即可；
【详解】由题图可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为，由交点式设抛物线的解析式为，对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到的形式，而D选项中．故选D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．
2．A
【分析】先利用待定系数法解题，再结合加减消元法解二元一次方程组，最后根据a＞0解不等式即可．
【详解】解：把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得
，
②﹣①得64a﹣16ah=1，
解得＞0，
所以h＜4．
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，涉及加减消元法解二元一次方程组、不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．A
【分析】观察图象可得抛物线经过点（-1，0）、（3，0）、（0，3），利用待定系数法求二次函数解析式即可.
【详解】由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则有：
a（0+1）（0-3）=3，
解得a=-1；
即：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.
故选A．
【点睛】本题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法，应根据已知点坐标的特点灵活的选用合适的方法求抛物线的解析式．
4．A
【详解】试题分析：根据表中数据得到抛物线过点（0，）和（2，），则利用抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x=1，而x=1时，y=2，则抛物线的顶点坐标为（1，2），于是设顶点式y=a（x-1）2+2，然后把（-1，1）代入求出a的值即可．
解：∵抛物线过点(0, )和(2, )，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为(1, －2)
设抛物线解析式为y=a(x 1)2－2，
把(－1,－1)代入得4a－2=－1,解得a=，
∴抛物线解析式为 .
故选A.
5．B
【分析】先将抛物线化为顶点式写出顶点坐标，然后根据顶点坐标以及恰有6个整点确定A点范围，最后根据A点坐标代入求出m的取值范围.
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，－1），
如图所示，
∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（－1，0）与（－2，0）之间，包括点（－1，0），
当抛物线绕过（－1，0）时，，
当抛物线绕过（－2，0）时，，
∴m的取值范围为，
故选B．
【点睛】本题为二次函数关系式与图象的综合运用，要熟悉表达式之间的转化，以及熟练掌握二次函数的图象.
6．A
【分析】因为这个抛物线过点A(m，n)，B(m+6，n)，可以直接看出对称轴是直线x=m+3，故设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，直接将A(m，n)代入，所以n=3．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，
∴该抛物线的对称轴是直线：x=m+3，
∴设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，
把A(m，n)代入，得
n=(m-m-3)2，
解得n=9．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
7．B
【分析】直接根据顶点坐标公式求出顶点坐标，再判断顶点所在的象限即可．
【详解】∵a=-2，b=-1，c=1，
∴-==，==，
∴顶点坐标为（，），
∴顶点在第二象限.
故选B.
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记顶点坐标公式是解题关键.
8．C
【分析】由抛物线经过，两点，根据抛物线的对称性得到对称轴为，由此得出点为抛物线的顶点，故可设抛物线解析式为，然后代入任何一点即可得出答案．
【详解】抛物线经过F（2，2），G（4，2）两点，
抛物线对称轴为，
为抛物线的顶点，故设抛物线解析式为，
代入点得：，解得，
抛物线解析式为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，能由已知两点纵坐标相等求出对称轴．
9．B
【分析】把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
【详解】解：把(3，0)与(2， 3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴，得到=1，即b= 2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b= 2，c= 3，
则抛物线解析式为y=x2 2x 3，
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式．
10．C
【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；
【详解】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是．
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，难度不大，需要掌握抛物线的顶点式．
11．A
【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可．
【详解】如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
12．D
【分析】先求解的顶点，则所求二次函数的顶点可知；再由增减性可判断所求二次函数的开口方向，由顶点和开口方向可进行判断.
【详解】由二次函数顶点公式求解顶点：
，，
则顶点坐标为（1，-3），
令所求函数为y=a(x-1)2-3，由题意可知a＜0，
展开所求函数得：
故选择D.
【点睛】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键.
13．
【分析】先求出原抛物线的顶点，然后求出绕原点旋转180°后的点，根据旋转抛物线开口大小不变，值是开口方向改变即可得解
【详解】二次函数的图像的顶点为，绕原点旋转180°后顶点坐标变为，旋转过程中二次函数形状保持不变，开口方向相反，所以旋转后的图象解析式为．
【点睛】本题考查二次函数旋转，掌握二次函数旋转的特征是解题关键
14．或
【分析】根据抛物线与抛物线的形状相同，得到，根据抛物线经过点，得到，或，解得，，或，得到，或．
【详解】抛物线与抛物线的形状相同，，
∴，
∴，或
∵抛物线经过点，
∴，或，
解得，，或，
∴，或．
故答案为：，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图象形状与a的关系，待定系数法求函数解析式．
15．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-3是解题的关键．
16． 2b /0.4375
【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可；
（2）根据（1）所求，将点A和t代入表达式得到b、t的关系，根据t的取值范围，求出b的范围，进而即可求解．
【详解】解：（1）将点A(-1，1)代入y=x2+2bx+c得
化简得，，
故答案是：2b；
（2）由（1）
平移后得，
将点A(-1，1)代入
得，
化简得，
记得（舍去）
将代入
得
化简得，
∵，t≥
∴
∴平移后抛物线的顶点纵坐标为：
当时，平移后抛物线的顶点纵坐标有最大值为：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的相关知识结合不等式并灵活应用是解题的关键．
17．﹣2
【详解】试题分析：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：，
①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2．
18．(1) (，－)；(2)答案不唯一，合理即可，y＝x2＋x＋2.
【详解】试题分析：将点c坐标代入函数表达式即可求出a的值，a=1，将函数表达式转换为顶点式y＝x2－5x＋4＝(x－)2－，所以顶点坐标是（，－）；将抛物线平移后顶点在第二象限，答案不唯一，可通过平移顶点，例如先向左平移3个单位长度，则变为y＝ (x－)2－，再向上平移4个单位，得到y＝ (x－)2－+4= (x＋)2＋= x2＋x＋2.
解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4.解得a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝(x－)2－，
∴顶点P的坐标为(，－)．
(2)答案不唯一，合理即可，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数表达式为y＝(x－＋3)2－＋4＝(x＋)2＋，
即y＝x2＋x＋2.
19．（1）；（2）对称轴为直线，顶点坐标为；（3）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）用配方法或公式法求解即可；
（3）利用将军饮马河原理求解即可．
【详解】解（1）将，两点的坐标代入，
得
，
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）
，
∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
（3）存在．如图，作点关于二次函数图象的对称轴的对称点，
连接A，交二次函数图象的对称轴于点，此时△的周长最小．
，
∴．
设直线A的表达式为，
则，
解得
∴直线A的表达式为．
当时，，即．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，抛物线的对称轴和顶点坐标，线段和最小值问题，熟练掌握待定系数法求解析式，配方法或公式法求顶点坐标，将军饮马河原理求新都安和的最小值是解题的关键．
20．（1）y＝x2﹣x+2；（2）y＝﹣(x﹣1)2+4
【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式设解析式为y＝ax2+bx+c，把三点坐标代入组成三元方程组，解方程组即可,
（2）用顶点式求解，设顶点式为y＝ax2+bx+c，把点（-1，0）代入，求出a即可．
【详解】解：（1）设所求二次函数是y＝ax2+bx+c，
把（1，0），（0，2），（2，3）代入二次函数，得
，
解得，
∴所求二次函数解析式是y＝；
（2）设所求二次函数解析式是y＝a（x﹣1）2+4， 把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中，得,
a＝﹣1，
∴所求二次函数解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4．
【点睛】本题考查二次函数的解析式问题，关键掌握二次函数的求法，根据条件特征选择适当的方法来解．
21．由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值；（2）
【分析】（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出k，b的值．用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出a，b，c的值．由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值．
（2）设所求二次函数为，根据已知的三点坐标代入解析式，列出三元一次方程组，解方程组即可求得．
【详解】（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值．
（2）设所求二次函数为．
由已知，函数图象经过三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
解这个方程组，得
．
所求二次函数是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
22．二次函数解析式为或
【分析】利用对称轴方程公式解出m值，再代入解析式中即可求解．
【详解】∵ 图象的对称轴是x=2
∴ ，即，
解得：，，
经检验，，是所列分式方程的解，
分别将，代入y=(m2－2)x2－4mx+1中，解得：
此二次函数解析式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握对称轴方程公式是解答的关键．
23．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论．
【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3；
∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有：
解得；
∴y=﹣x2﹣2x+3．
（2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
24．(1)，顶点坐标
(2)
【分析】（1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）当时，由图象可直接得出y的取值范围
【详解】（1）解：将将，两点坐标代入，
可得：，
解得：，
，
化为顶点式：，则顶点坐标为．
（2）由图得当时，
∴，函数取最小值，
当时，，
当时，，
所以y的取值范围为：
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，以及图象与性质，牢固掌握待定系数法及其性质是解题的关键．
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