5.6二次函数的图像与一元二次方程同步练习（含解析）

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5.6二次函数的图像与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，二次函数图象交x轴于（﹣5，0）、（1，0）两点，将此二次函数图象向右平移m个单位，再向下平移n个单位后，发现新的二次函数图象与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则m的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；
丙：3a＋c＞0．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲和丙都错 B．乙和丙都对
C．乙对，丙错 D．甲对，丙错
5．三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线（m是常数）与坐标轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2或3 D．3
7．已知实数a、b、c满足：a＜0，a－b＋c＞0,则一定有（ ）
A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac≥0 C．b2－4ac≤0 D．b2－4ac＜0
8．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ）

A．， B．， C．， D．，
10．四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．将函数在轴下方的图像沿轴向上翻折，在轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
二、填空题
13．关于的方程 的解是，（、、为常数，），则方程的解是 ．
14．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．

15．已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表
x … 0 2 4 5 …
… 0 1 3 5 6 …
… 0 0 5 9 …
当时，自变量x的取值是 ，当时，自变量x的取值范围是 ．
16．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 ．
17．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= ．
三、解答题
18．二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n …
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；
（3）若m=-1，求此二次函数的解析式．
19．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x-2ax+a-2与x轴交点为A、B，
(1)判断点（，-）是否在抛物线y=x-2ax+a-2上，并说明理由；
(2)当线段AB长度为4时，求a的值；
(3)若w= AB，w是否存在最值，若存在，请求出最值，若不存在，请说明由；
21．抛物线经过点、两点．
（1）求抛物线顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．
22．画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0
(3)x取什么值时，函数值小于0
23．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣ …
根据表格中的信息，完成下列各题：
（1）当x=3时，y=________ ；
（2）当x=_____时，y有最________ 值为________；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2 ；
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________．
24．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点，顶点为M．
（1）写出M点的坐标，并指出函数y最值？求a的值．
（2）以AB为直径画，试判定点D与的位置关系，并证明．
《5.6二次函数的图像与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B A C A C B B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】把（-1，0）代入抛物线的解析式得a-b+c=0，由对称轴方程得出a、b的关系，便可用a表示b、c，再把方程中的c与b都换成a，进而解方程便可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵a（x+1）2-cx=a+2b，
∴a（x+1）2+3ax=-3a，
∴a（x+1）2+3a（x+1）=0，
∴a（x+1）（x+1+3）=0，
解得x=-1或x=-4．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，函数图象与性质，关键是根据抛物线与x轴的两交点坐标列出a、b、c的数量关式．
2．C
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
【详解】解：对称轴为直线x=-=1，
解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
3．A
【分析】根据平移前后抛物线对称轴的变化即可得到答案；
【详解】解：∵二次函数图象交x轴于(﹣5，0)、(1，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为，
∵新的二次函数图象与x轴交于(﹣1，0)、(3，0)两点，
∴原二次函数的对称轴为x=，
∴原抛物线向右平移了3个单位，即m=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点以及抛物线的平移，根据题意得出平移前后抛物线对称轴的变化是解题的关键；
4．B
【分析】根据二次函数图形可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙三人的正误即可．
【详解】解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故甲结论是错误的；
根据图象判断，当y=-2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，
∴即，
令x=-1，则y=，
由图像可知当x=-1时，y＞0即，故丙同学结论正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图像判断出系数的正负是解题的关键．
5．A
【分析】分别设： ，，，三个方程的根即为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
【详解】解：设，，，
将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：
则三个方程的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标，
则由图可知： ．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．
6．C
【分析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，再讨论是否有重合的点，可得结果．
【详解】解：令，
则，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y=，
若m=±1，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±1，则抛物线与y轴交于（0，），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，同时也考查了抛物线与y轴的交点．
7．A
【分析】令函数y=ax2-bx+c，a＜0，当x=-1时，y=a-b+c＞0．所以函数y=ax2-bx+c的图像与x轴有两个不同的交点．故△=b2-4ac＞0．
【详解】如图，∵a-b+c＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0且a、b、c为常数），当x=-1时，y＞0，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线与x轴有两个交点，
即ax2 +bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及抛物线和x轴的交点问题，抛物线和x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．熟练掌握二次函数的图像与系数关系是解题关键.
8．C
【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为，
∴点关于的对称点的坐标为，
∴关于x的不等式的解集是
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
9．B
【分析】直接根据图像求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
∵两个交点坐标分别为，，
∴方程的解为，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
10．B
【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
【详解】假设甲和丙的结论是正确的，则，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
乙的结论是错的；
当时，，
丁的结论是正确的；
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
11．C
【分析】令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），翻折后的函数表达式为：y′=x2+2x+m，当x=4时，y′=8m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．
【详解】解：如下图，函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，故顶点P的坐标为（1，m+1），
令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：-y′=-x2+2x+m，
当x=4时，y′=8-m，
当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
①当点A在直线x=4的左侧时（直线n所处的位置），
即＜4，解得：m＜8；
当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8-m，解得：m≥3.5，
当m=3.5时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x=4处取得最大值时，即m+1≤8-m，解得：m≤3.5，
m最大为3.5时，此时最大值为m+1=4.5，
故m=3.5；
②当点A在直线x=4的右侧时（直线m所处的位置），
即＞4，解得：m＞8；
函数的最大为：m+1＞9＞3.5；
综上，m=3.5，
故选：C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
12．A
【详解】试题分析：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞0， ∴＞0，
∴a+b＞0．
考点：抛物线与x轴的交点
13．，
【分析】可利用数形结合的思想，由的解是，，可知二次函数与轴的交点坐标为，，由抛物线向左平移2个单位得到，对应的函数与轴的交点坐标为，，即方程的解是，．
【详解】∵关于的方程的解是，，
∴二次函数与轴的交点坐标为，，
∵把抛物线向左平移2个单位得到，
∴二次函数图象与轴的交点坐标为，，
∴方程的解是，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的解是解本题的关键．
14．①③/③①
【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④
【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点，
该函数自变量的取值范围是；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，
故②不正确；
如图与存在3个交点，则方程有三个根；

故③正确
当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．
故④不正确
故正确的有①③
故答案为：①③
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
15． ﹣1或4 或
【分析】根据表格中的数据，可直接观察得出时，自变量x的取值；根据表格可知，当-14
【详解】由表可知，当x=-1时，=0，
当x=4时，当x=-1时，=5，
∴当x=-1或4时，当x=-1时，；
故答案为：-1或4．
∵当-1∴当时，x的取值范围应是：x<-1或x>4；
故答案为：x<-1或x>4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据表格数据确定因变量的大小与自变量的取值的关系是解题的关键，也可画出草图帮助解题．
16．
【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（ 1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴y＞0时，x的取值范围为：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．
17．4．
【详解】】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
18．（1）c=-2，对称轴为直线；（2）-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根；（3）
【分析】(1)根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值;
(2)根据二次函数的对称性即可求得;
(3)根据待定系数法求得即可.
【详解】（1）c=-2，对称轴为直线.
（2）由对称性可知，-2,3是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=t的根.
（3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.
∴
解得
∴ 二次函数的解析式为
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键.
19．（1）开口向上，直线；（2）
【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【详解】（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
20．(1)在，理由见解析
(2)-1或2
(3)存在，最小值为7
【分析】（1）将x= 代入y=x-2ax+a-2判断y是否等于-即可；
（2）配方求出A、B交点坐标，利用两点间距离公式即可求出；
（3）由（2）确定解析式，然后利用配方法求出最小值．
【详解】（1）在；理由如下
将点（，-）代入抛物线y=x-2ax+a-2上，可得
y=（）-2×a×+a-2=-
所以，点（，-）在抛物线y=x-2ax+a-2上；
（2）令y=0，即y=x-2ax+a-2=0，
即（x-a）=a-a+2，
∴x=a±，
∵AB=4，
即2=4，
∴a-a-2=0，
解得a=-1或a=2；
（3）w存在最值，理由如下
若w= AB，由（2）可得
w=[2]=4（a-a+2）=4（x-）+7，
∵4＞0，
∴w有最小值，
当x=，最小值为7．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，两点间距离公式，配方法等，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．（1）D（1，4）；（2）6.
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；
（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出△ABC的面积．
试题解析：（1）由题意，得，
解得，
则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
则D（1，4）；
（2）由题意，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3；
则A（-1，0），
又∵B（3，0）、C（0，3），
∴S△ABC＝×4×3＝6
22．(1)x1＝0，x2＝2
(2)x<0或x>2
(3)0【详解】试题分析：画出抛物线y＝x2－2x的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）.
试题解析：
二次函数y＝x2－2x的图象如下图所示：
（1）观察图象可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；
（2）观察图象可得，当x取x<0或x>2时，函数值大于0；
（3）观察图象可得，当x取0点睛：本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出自变量x的范围，运用了数形结合的思想方法．
23．（1）﹣1；（2）1、小、﹣2；（3）＞；（4）﹣2≤y≤2
【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x=3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x=5时，y最大，当x=1时，y最小．
【详解】（1）由表得，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣，当x=3时，y==﹣1．
（2）将y=x2﹣x﹣配方得：y=（x﹣1）2﹣2．
∵a=＞0，∴函数有最小值，当x=1时，最小值为﹣2．
（3）令y=0，则x=±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2．
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x=5时，y最大，即y=2；当x=1时，y最小，即y=﹣2，∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2．
故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
24．（1），最小值为，；（2）点D在上，理由见解析
【分析】（1）根据二次函数顶点式求法直接的出二次函数的顶点坐标以及二次函数的最值；把代入直接求出a的值；
（2）首先求出二次函数与x轴的交点坐标，进而求出P点的坐标，得出PE=4，DE=3，从而得出PD的长，判断出D与的位置关系．
【详解】解：（1）∵抛物线，
∴顶点为 ；
∴该函数有最小值，最小值为 ；
∵抛物线经过点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
（2）点D在上，理由如下：
∵，
令 ，则，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵以AB为直径画，
∴ ，即的半径为5，
∴ ，
∴ ，
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵，
∴ ， ，
∴ ，
∴PD与的半径相等，
∴点D在上．
【点睛】此题主要考查了二次函数的最值以及顶点式和点与圆的位置关系等知识，判定点与圆的位置关系得出点与圆心距离等于半径是解决问题的关键．
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