5.7二次函数的应用同步练习（含解析）
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5.7二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
2．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
3．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A． B． C． D．
4．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，现有四种方案供选择(如图)：
A方案为一个封闭的矩形；
B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门；
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门；
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门．已知计划中的篱笆(不包括门)总长为，则能建成的饲养室中面积最大的方案为( )
A． B． C． D．
5．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（ ）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
6．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒
8．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）
A． B．13 C． D．
12．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上．过点A 作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点A 的纵坐标为（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
13．为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为 元时，可使每天所获销售利润最大．
14．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
16．为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
17．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多．
三、解答题
18．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
19．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
20．已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
21．某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
22．已知函数均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
23．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣， 0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．
24．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．
（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；
（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值；
（3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
《5.7二次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C C C C C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
2．C
【分析】设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．
【详解】设P(x，)()，
∵，
∴周长不变，且始终为6，即小明正确；
∵，
∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．
故选C
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．
3．B
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
4．C
【分析】设建成的饲养室的面积为，先根据篱笆总长、矩形与等边三角形的面积公式求出的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，然后比较大小即可得．
【详解】设建成的饲养室的面积为，
对于A选项，如图（1），设边的长为，则，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为18；
对于B选项，如图（2），设，则，解得，
由等边三角形的性质得：AB边上的高为，
则；
对于C选项，如图（3），设，则，，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为；
对于D选项，如图（4），设，则，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为16；
因为，
所以建成的饲养室中面积最大的方案是C方案，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、矩形与等边三角形的面积公式，依据题意，分别求出各图形的面积的函数表达式是解题关键．
5．A
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．
【详解】当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5cm，选项A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，选项D正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可．
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．
7．C
【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，在t＝4s时，小球的高度最高．
【详解】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出抛物线对称轴是解题关键．
8．C
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
= ×12×6- （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
9．C
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离a时，如图2，，根据函数关系式即可得到结论．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF=AC，DE=BC，
∴EF=ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，如图1，当移动的距离当移动的距离>a 时，如图2，，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
10．C
【详解】试题分析：解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．
解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；
∴S△CPO=CP CO=x 2x=x2．
∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），
故选C．
考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．
11．C
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
【点睛】错因分析 中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.
12．B
【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.
【详解】解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点A 的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
13．80
【分析】根据每天获得利润=单件利润×销售量列出二次函数即可求解．
【详解】解：设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．
根据题意，得
y=（100-50-x）（50+5x）
=-5x2+200x+2500
=-5（x-20）2+4500
∵-5＜0，当x=20时，y有最大值，
即100-x=80，80＞50，
答：当销售单价是80元时，每天获利最多．
故答案为80．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
14．或
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
15．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，8 2m），将点E坐标代入解析式求出m即可解决问题．
【详解】解：把A（4，8）代入中得8＝16a，
解得a＝，
∴，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，8﹣2m），
∴＝8﹣2m，
解得m＝（舍）或m＝，
∴CD＝2m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题关键是设出点C横坐标，表示出点E的坐标．
16．20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
∴x的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．80
【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案．
【详解】解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元，
则y=（x-50）[100-2（x-60）]
=-2x2+320x-11000
=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=80时，y有最大值，且为1800，
答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
18．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.
（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
19．（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐标为（5﹣2，0）．
【分析】（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．
②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．
③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．
【详解】（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．
∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．
∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．
∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．
∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．
∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．
（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；
②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；
③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．
∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．
∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2
综上所述： ．
∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．
【点睛】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
20．（1），顶点坐标为（2，1）．
（2）详见解析
【分析】（1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案不唯一．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
∴可设抛物线解析式为．
把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1．
∴抛物线解析式为，即．
∵，
∴顶点坐标为（2，1）．
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，
平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上．
21．(1) 当40≤x＜60时，W＝－2x2＋200x－4200，当60≤x≤70时，W＝－x2＋110x－2400；(2) 该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．
【分析】(1)根据：年利润=(售价-成本)×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；
(2)将(1)中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案．
【详解】(1)当40≤x＜60时，W=(x-30)(-2x+140)=-2x2+200x-4200，
当60≤x≤70时，W=(x-30)(-x+80)=-x2+110x-2400；
(2)当40≤x＜60时，W=-2x2+200x-4200=-2(x-50)2+800，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；
当60≤x≤70时，W=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625，
∴当x＞55时，W随x的增大而减小，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：-(60-55)2+625=600，
∵800＞600，
∴当x=50时，W取得最大值800，
答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键．
22．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【分析】（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，
，
，
，
设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即
；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点
二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且
，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线
，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线
，
直线
点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
23．（1）y=﹣x2+x+1；（2）S=﹣t2+t+；（3）点N的坐标为（1，2）
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法即可得；
（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴上方，则NP等于点N的纵坐标，求出AB的长，然后利用三角形面积公式即可得；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO，由于PN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，可得关于t的方程，解这个方程即可解决这个问题．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得： ，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=AB PN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴，
∴，
∴PN=2PO，
当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t1=﹣，t2=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2），
故点N的坐标为（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合题，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，解本题需要注意的是：用点的坐标表示线段长度时，应该用绝对值表示线段的长度，根据坐标的正负化简绝对值，解方程的要进行检验，不符合条件的要舍去，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
24．（1）；（2）w有最小值是；（3）t的值为3﹣或4+．
【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w关于a的二次函数，求最小值即可；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则，得到n=（m﹣t）2﹣t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）设“和谐点”的坐标为，
将点坐标代入直线y=3x﹣2得：t=3t﹣2，
解得：t=1，
故“和谐点”的坐标为；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，
代入抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1中得：
x=﹣x2+（a+1）x﹣a+1，
﹣x2+ax﹣a+1=0，
∵“和谐点”为和，
∴x1、x2是方程﹣x2+ax﹣a+1=0的两个根，
则x1+x2=﹣=，x1 x2==2a﹣2，
w=x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2（2a﹣2），
w=﹣4a+4=（a﹣）2+，
∵＞0，
∴抛物线开口向上当a=时，w有最小值是；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，
代入函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2得：
x=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2，
x2+（m﹣t）x+n+t﹣2=0，
∵存在唯一的一个“和谐点”，
∴=（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）=0，
n=（m﹣t）2﹣t+2，
这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大；
①t＜2，当2≤m≤3时，在对称轴右侧递增，
∴当m=2时，n有最小值为t，
即（2﹣t）2﹣t+2=t，
t2﹣6t+6=0，
解得：t1=3+＞2（舍去），t2=3﹣，
②t＞3，当2≤m≤3时，在对称轴左侧递减，
∴当m=3时，n有最小值为t，
即（3﹣t）2﹣t+2=t，
解得：t1=4+，t2=4﹣＜3（舍），
③当2≤t≤3，当2≤m≤3时，n有最小值为﹣t+2，
∴﹣t+2=t，
t=1＜2（舍去），
综上所以述：t的值为3﹣或4+．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；②当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
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5.7二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
2．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的
3．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A． B． C． D．
4．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，现有四种方案供选择(如图)：
A方案为一个封闭的矩形；
B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门；
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门；
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门．已知计划中的篱笆(不包括门)总长为，则能建成的饲养室中面积最大的方案为( )
A． B． C． D．
5．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（ ）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
6．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4秒 D．第6秒
8．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）
A． B．13 C． D．
12．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上．过点A 作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点A 的纵坐标为（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
13．为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为 元时，可使每天所获销售利润最大．
14．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
16．为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 ．
17．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多．
三、解答题
18．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
19．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
20．已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
21．某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
22．已知函数均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
23．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣， 0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．
24．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．
（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；
（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值；
（3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
《5.7二次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C C C C C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
2．C
【分析】设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误．
【详解】设P(x，)()，
∵，
∴周长不变，且始终为6，即小明正确；
∵，
∴当时，最大，最大为，即小红是错误的．
故选C
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键．
3．B
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
4．C
【分析】设建成的饲养室的面积为，先根据篱笆总长、矩形与等边三角形的面积公式求出的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，然后比较大小即可得．
【详解】设建成的饲养室的面积为，
对于A选项，如图（1），设边的长为，则，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为18；
对于B选项，如图（2），设，则，解得，
由等边三角形的性质得：AB边上的高为，
则；
对于C选项，如图（3），设，则，，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为；
对于D选项，如图（4），设，则，
，
，
由矩形的面积公式得：，
则在范围内，当时，取得最大值，最大值为16；
因为，
所以建成的饲养室中面积最大的方案是C方案，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、矩形与等边三角形的面积公式，依据题意，分别求出各图形的面积的函数表达式是解题关键．
5．A
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．
【详解】当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5cm，选项A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，选项D正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可．
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．
7．C
【分析】根据题中已知条件求出函数h＝at2+bt的对称轴t＝4，在t＝4s时，小球的高度最高．
【详解】解：由题意可知：小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，
即4a+2b＝36a+6b，
解得b＝﹣8a，
函数h＝at2+bt的对称轴t＝﹣＝4，
故在t＝4s时，小球的高度最高，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出抛物线对称轴是解题关键．
8．C
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
= ×12×6- （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
9．C
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF=AC，DE=BC，
∴EF=ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，如图1，当移动的距离
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
10．C
【详解】试题分析：解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．
解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；
∴S△CPO=CP CO=x 2x=x2．
∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），
故选C．
考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．
11．C
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=-=≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
【点睛】错因分析 中等题.失分原因：没有理解本题考查的真正意图，通过二次函数图象上的点结合函数性质，推断对称轴位置.
12．B
【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.
【详解】解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A 恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点A 的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
13．80
【分析】根据每天获得利润=单件利润×销售量列出二次函数即可求解．
【详解】解：设销售单价降低x元时，则销售单价是（100-x）元时，每天获利y元．
根据题意，得
y=（100-50-x）（50+5x）
=-5x2+200x+2500
=-5（x-20）2+4500
∵-5＜0，当x=20时，y有最大值，
即100-x=80，80＞50，
答：当销售单价是80元时，每天获利最多．
故答案为80．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
14．或
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
15．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，8 2m），将点E坐标代入解析式求出m即可解决问题．
【详解】解：把A（4，8）代入中得8＝16a，
解得a＝，
∴，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，8﹣2m），
∴＝8﹣2m，
解得m＝（舍）或m＝，
∴CD＝2m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题关键是设出点C横坐标，表示出点E的坐标．
16．20%
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：(不符合题意，舍去)，
∴x的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．80
【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案．
【详解】解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元，
则y=（x-50）[100-2（x-60）]
=-2x2+320x-11000
=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=80时，y有最大值，且为1800，
答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
18．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.
（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
19．（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐标为（5﹣2，0）．
【分析】（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．
②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．
③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．
【详解】（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．
∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．
∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．
∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．
∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．
∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．
（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；
②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；
③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．
∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．
∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2
综上所述： ．
∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．
【点睛】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
20．（1），顶点坐标为（2，1）．
（2）详见解析
【分析】（1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案不唯一．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），
∴可设抛物线解析式为．
把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1．
∴抛物线解析式为，即．
∵，
∴顶点坐标为（2，1）．
（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，
平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上．
21．(1) 当40≤x＜60时，W＝－2x2＋200x－4200，当60≤x≤70时，W＝－x2＋110x－2400；(2) 该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．
【分析】(1)根据：年利润=(售价-成本)×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；
(2)将(1)中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案．
【详解】(1)当40≤x＜60时，W=(x-30)(-2x+140)=-2x2+200x-4200，
当60≤x≤70时，W=(x-30)(-x+80)=-x2+110x-2400；
(2)当40≤x＜60时，W=-2x2+200x-4200=-2(x-50)2+800，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；
当60≤x≤70时，W=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625，
∴当x＞55时，W随x的增大而减小，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：-(60-55)2+625=600，
∵800＞600，
∴当x=50时，W取得最大值800，
答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键．
22．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【分析】（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，
，
，
，
设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即
；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点
二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且
，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线
，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线
，
直线
点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
23．（1）y=﹣x2+x+1；（2）S=﹣t2+t+；（3）点N的坐标为（1，2）
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法即可得；
（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴上方，则NP等于点N的纵坐标，求出AB的长，然后利用三角形面积公式即可得；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO，由于PN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，可得关于t的方程，解这个方程即可解决这个问题．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得： ，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=AB PN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴，
∴，
∴PN=2PO，
当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t1=﹣，t2=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2），
故点N的坐标为（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合题，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，解本题需要注意的是：用点的坐标表示线段长度时，应该用绝对值表示线段的长度，根据坐标的正负化简绝对值，解方程的要进行检验，不符合条件的要舍去，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
24．（1）；（2）w有最小值是；（3）t的值为3﹣或4+．
【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w关于a的二次函数，求最小值即可；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则，得到n=（m﹣t）2﹣t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）设“和谐点”的坐标为，
将点坐标代入直线y=3x﹣2得：t=3t﹣2，
解得：t=1，
故“和谐点”的坐标为；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，
代入抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1中得：
x=﹣x2+（a+1）x﹣a+1，
﹣x2+ax﹣a+1=0，
∵“和谐点”为和，
∴x1、x2是方程﹣x2+ax﹣a+1=0的两个根，
则x1+x2=﹣=，x1 x2==2a﹣2，
w=x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2（2a﹣2），
w=﹣4a+4=（a﹣）2+，
∵＞0，
∴抛物线开口向上当a=时，w有最小值是；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，
代入函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2得：
x=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2，
x2+（m﹣t）x+n+t﹣2=0，
∵存在唯一的一个“和谐点”，
∴=（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）=0，
n=（m﹣t）2﹣t+2，
这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大；
①t＜2，当2≤m≤3时，在对称轴右侧递增，
∴当m=2时，n有最小值为t，
即（2﹣t）2﹣t+2=t，
t2﹣6t+6=0，
解得：t1=3+＞2（舍去），t2=3﹣，
②t＞3，当2≤m≤3时，在对称轴左侧递减，
∴当m=3时，n有最小值为t，
即（3﹣t）2﹣t+2=t，
解得：t1=4+，t2=4﹣＜3（舍），
③当2≤t≤3，当2≤m≤3时，n有最小值为﹣t+2，
∴﹣t+2=t，
t=1＜2（舍去），
综上所以述：t的值为3﹣或4+．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；②当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．
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