6.4随机现象的变化趋势同步练习（含解析）

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6.4随机现象的变化趋势
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850
发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
下面有三个推断：
①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955；
②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
2．不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．一个不透明的口袋里装有除颜色外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球个数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为(　　)
A．60个 B．50个 C．40个 D．30个
4．下列说法不正确的是（ ）
A．增加几次实验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大
B．增加几次实验，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率的差距可能缩小
C．实验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近
D．实验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率
5．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：
投篮次数n 100 150 300 500 800 1000
投中次数m 58 96 174 302 484 601
投中频率n/m 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601
这名球员投篮一次，投中的概率约是（　　）
A．0.58 B．0.6 C．0.64 D．0.55
6．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知等腰三角形周长为 ，则底边长 关于腰长 的函数图象是 ( )
A． B． C． D．
8．直线 和直线 的交点坐标是 ( )D
A． B． C． D．
9．我校数学教研组有25名教师，将他们的年龄分成3组，在24～36岁组内有8名教师，那么这个小组的频率是（ ）
A．0.12 B．0.32 C．0.38 D．3.125
10．在平面直角坐标系中，记直线 与两坐标围成的面积为 ，则 最接近 ( )
A． B． C． D．
11．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个
A．10 B．15 C．20 D．25
12．100个白色乒乓球中有20个被染红，随机抽取20个球，下列结论正确的是（　　）
A．红球一定刚好4个 B．红球不可能少于4个 C．红球可能多于4个 D．抽到的白球一定比红球多
二、填空题
13．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为，则水塘有鲢鱼 尾．
14．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球 个.
15．在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球 个
16．在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008
“摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
17．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 德·摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基
掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640
出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 (精确到0.1)．
三、解答题
18．一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子；而且不许将棋子倒出来数，请你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目．
19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品．如表所示是活动进行中的一组数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”区域的次数
落在“铅笔”区域的频率
（1）计算并完成表格：
（2）请估计很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到）
20．小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
超市
女工人数占比 62.5% 62.5% 50% 75%
（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？
（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；
（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
21．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．
22．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为　 　，a＝　 　；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
23．在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.58 0.60 0.601
(1)完成上表；
(2)“摸到红球”的概率的估计值　（精确到0.1）
(3)试估算袋子中红球的个数．
24．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和．记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总
次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为7”出
现的频数 1 9 14 24 26 37 58 82 109 150
“和为7”出
现的频率 0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
　
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
《6.4随机现象的变化趋势》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B D D D B C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400，数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的概率即可求得绿豆发芽的粒数，③正确．
【详解】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确．
故选D．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
2．A
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．
【详解】设白球有x个，根据题意得：
，
解得：x=5，
即白球有5个，
故选A．
【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
3．C
【分析】小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：4；即可计算出红球数．
【详解】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：4，
∵白球有10个,
∴红球有10×4=40（个），
故选C．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键点是由频率得出两种球的比．
4．A
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此求解．
【详解】A. 增加几次实验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大，错误；
B. 增加几次实验，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率的差距可能缩小，正确；
C. 实验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近，正确；
D. 实验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率，正确，
故选A.
【点睛】本题考查的是概率问题，熟练掌握根据频率估计概率是解题的关键.
5．B
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格可得答案.
【详解】由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
这名球员投篮一次，投中的概率约是.
故选：.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定.
6．D
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7．D
【详解】根据题意得y+2x=20,y=-2x+20,
∵y＞0且2x＞y,∴-2x+20＞0且2x＞-2x+20,∴5＜x＜10,
∴底边长y关于腰长x的函数关系为y=-2x+20（5＜x＜10）,
∵k=-2＜0,∴y随x的增大而减小,故选D.
8．D
【详解】根据可得:,解得:,把代入可得:,故选D.
9．B
【详解】试题分析：本题中的频数为8，数据总和为25，根据频率的求法：频率=，即可求解．
解：总数是25，而24～36岁组内有8名教师，即这足额中的频数是8，
因而这个小组的频率是：=0.32．
故选B．
点评：本题考查频率、频数的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率=．
10．C
【详解】令x=0,y=,令y=0,x=,则直线（k为正整数）与x轴的交点坐标为（,0）,与y轴的交点坐标为（0,）,
∴直线与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk=,当k为正整数时,
Sk=
当k=1,S1=；当k=2,S2=,
,
=,
=,
=,
故选C.
11．C
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故选C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
12．C
【分析】根据被染红的球的可能性求出抽取的红球的可能数量，再对各选项判断即可得解．
【详解】解：由题意得，抽到的红球的数量可能为20×=4个，
所以，抽到的红球可能是4个，也可能多于4个或少于4个，
说法“红球一定刚好4个”，“红球不可能少于4个”，“抽到的白球一定比红球多”都过于武断，不正确．
故选C．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13．6900
【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，而鲤鱼出现的频率为31%，由此得到水塘有鲢鱼的频率，然后乘以总数即可得到水塘有鲢鱼又多少尾．
【详解】∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，
一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为31%，
∴鲤鱼出现的频率为69%，
∴水塘有鲢鱼有10000×69%=6900尾．
故答案为6900.
【点睛】考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后即可估计事件的概率.
14．20
【详解】∵摸到黄球的频率稳定在30%，
∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，
∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），
故答案为20．
15．18
【分析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是，口袋中有12个红球，
设有x个白球，
则，
解得：，
答：袋中大约有白球18个．
故答案为18．
【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
16．0.4
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为0.4．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
17．0.5
【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0．5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．
【详解】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0．5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0．5．
故答案为0.5．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
18．方案一：可以向口袋中放入黑色围棋子，然后借用样本估计总体的方法计算出白色棋子数目．
方案二：可以从口袋中随机抽取围棋子做上标记，再计算概率，进而求出白色棋子的数目．
【分析】运用样本信息估计总体信息的知识来设计方案
运用频率估算概率来设计方案
【详解】解：方案一：可以向口袋中放入黑色围棋子，然后借用样本估计总体的方法计算出白色棋子数目.
方案二：可以从口袋中随机抽取围棋子做上标记，再计算概率，进而求出白色棋子的数目.
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，运用样本信息估算总体信息；大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系
19．（1）；；；；；；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据频率的算法，频率=频数÷总数，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【详解】解：（1）
故答案为：；；；；；；
（2）由实验可得：当很大时，频率将会接近；
（3）由很大时，获得铅笔的频率将会接近；所以实验获得“洗衣粉”的概率约是；
（4）铅笔区域的扇形的圆心角的度数约为．
【点睛】本题考查的是频数分布表，从频数分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率=频数与总数之比．同时考查了用频率来估计概率，求某部分扇形圆心角的度数，掌握以上知识是解题的关键．
20．（1）32（人），25（人）；（2）；（3）乙同学，见解析.
【分析】（1）用A超市有女工人数除以女工人数占比，可求A超市共有员工多少人；先求出D超市女工所占圆心角度数，进一步得到四个中小型超市的女工人数比，从而求得B超市有女工多少人；
（2）先求出C超市有女工人数，进一步得到四个中小型超市共有女工人数，再根据概率的定义即可求解；
（3）先求出D超市有女工人数、共有员工多少人，再得到D超市又招进男、女员工各1人，D超市有女工人数、共有员工多少人，再根据概率的定义即可求解．
【详解】解：（1）A超市共有员工：20÷62.5％＝32（人），
∵360°－80°－100°－120°＝60°，
∴四个超市女工人数的比为：80：100：120：60＝4：5：6：3，
∴B超市有女工：20×＝25（人）；
（2）C超市有女工：20×＝30（人）．
四个超市共有女工：20×＝90（人）．
从这些女工中随机选出一个，正好是C超市的概率为＝．
（3）乙同学.
理由：D超市有女工20×＝15（人），共有员工15÷75%＝20（人），
再招进男、女员工各1人，共有员工22人，其中女工是16人，女工占比为＝≠75％．
【点睛】本题考查了统计表与扇形统计图的综合，以及概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）50；（2）60
【分析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；
（2）因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【详解】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个）
（2）设小明放入红球x个．根据题意得：
解得：x=60（个）．
经检验：x=60是所列方程的根．
答：小明放入的红球的个数为60．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
22．（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解.
【详解】解：（1），
所以样本容量为100；
B组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
23．(1)见解析；(2)0.6；(3)口袋中约有红球12只．
【分析】(1)用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
(2)大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
(3)用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数.
【详解】解： (1)填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
摸到红球的频率 0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601
(2)观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，
故“摸到红球”的概率的估计值是0.6．
答：概率为0.6；
(3)20×0.6=12（只）．
答：口袋中约有红球12只．
故答案为(1)见解析；(2)0.6；(3)12只.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.
24．(1)0.33；(2)5.
【分析】(1)由于大量试验中“和为7”出现的频数稳定在0.3附近;(2)据图表，可估计“和为7”出现的概率为3.1，3.2，3.3等均可．
【详解】(1) 由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近；
(2)列表如下：
甲和乙 2 3 4 x
2 / 5 6 2＋x
3 5 / 7 3＋x
4 6 7 / 4＋x
x x＋2 x＋3 x＋4 /
由表格可知，一共有12种等可能的结果，由(1)知，出现“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数为0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，则x＝5，符合题意，若3＋x＝7，则x＝4，不合题意．若4＋x＝7，则x＝3，不合题意．∴x＝5.
【点睛】根据题干中图表进行分析，利用频率估计概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
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