第二章实数同步练习（含解析）
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第二章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．用计算器进行计算时，其按键顺序如下：，则输出的结果为
B．计算器上先输入某数，再依次按键显示的结果是，则原来输入的某数是
C．用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：，则输出的结果为
D．用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键清除最后一步，再重新输入正确数据
3．4的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．
4．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
5．设边长为的正方形的面积为2．下列关于的四种结论：①是2的算术平方根；②是无理数；③可以用数轴上的一个点来表示；④是无限小数．其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
6．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个正方形的面积是3，则这个正方形的边长是（ ）
A．3 B． C． D．
8．下列实数中，的倒数是（ ）
A． B． C． D．
9．64的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
10．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）．
A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间
11．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.14
二、填空题
13．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，若，那么 （用含和的代数式表示，其中为正整数）．
14．若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ．
15．如图所示，数轴上表示所对应的点分别为，，点关于点的对称点为，那么点所表示的数是 ．
16．将数据6.9401用四舍五入法精确到百分位是 ．
17．比较大小： 6．（填“”“”或“”）
三、解答题
18．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧．
19．小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
20．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
21．用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴．
(1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=）
(2)举一反三：比较与的大小．
22．一个正数的两个平方根分别是与，求和的值．
23．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
24．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来．
，，0，，．
《第二章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A D C D C B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．B
【分析】运用计算器进行验证计算即可．
【详解】解：、计算器求三角函数值时，后面少按了“”，故A不正确；
B、按选项所给的按键顺序可以求出原来输入的数，故B正确；
C、按键中多了“，”，故C不正确；
D、清除刚输入错的数据时，按“”键，故D不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查计算器的使用，正确使用计算器是解题的关键．
3．C
【分析】根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】4的算术平方根是2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
4．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，实数与数轴．正确得出a的值是解题的关键．
【详解】解：∵边长为的正方形的面积为2，
∴，
①是2的算术平方根，故此说法正确；
②是无理数，故此说法正确；
③可以用数轴上的一个点来表示，故此说法正确；
④是无限小数，故此说法正确；
综上分析可知，正确结论是①②③④．
故选：A．
6．D
【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：①开方开不尽的数；②含有的数；③（每两个之间依次多个）这样的数；据此解答即可．
【详解】解：A、，属于整数，不是无理数，不符合题意；
B、为分数，不是无理数，不符合题意；
C、为有限小数，不是无理数，不符合题意；
D、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，由正方形的面积直接表示正方形的边长即可．
【详解】解：∵一个正方形的面积是3，
∴这个正方形的边长是，
故选：C．
8．D
【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：，
的倒数是，
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1．
9．C
【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行求解即可．
【详解】解：64的算术平方根是8．
故选：C．
10．B
【分析】设正方形的边长为，可得；估算算术平方根的取值范围即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则
解得：
∵，且
∴
即
故选：B
【点睛】本题考查估计算术平方根的取值范围．注意计算的准确性．
11．D
【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为，
是有理数，
再取立方根为，
是有理数，
再取立方根为，
是无理数，
输出．
故选：D．
12．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）进行判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，是有理数，故本选项错误；
B、是无理数，故本选项正确；
C、，是有理数，不是无理数，故本选项错误；
D、3.14不是无理数，故本选项错误；
故选：B．
13．
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【详解】解：由，
得：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
14．1或5
【分析】本题考查平方根，相反数，一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．一个正数的平方根是两个互为相反数的式，或两式相等．
【详解】解：∵与是同一个正数的平方根，则两式互为相反数或两式相等，
或，
或，
故答案为：1或5．
15．/
【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
根据数轴上两点间的距离公式得到，，，计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，，
点对应的数为，
故答案为：．
16．
【分析】精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位（千分位）上的数字0进行“四舍五入”法解答即可．
【详解】解：6.9401用四舍五入法精确到百分位是6.94．
故答案为：6.94．
【点睛】本题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．
17．
【分析】本题考查的是实数的大小比较．根据无理数的估算方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
18．无理数家族：，，2.101101110…；
整数：，0，
分数：．
【分析】本题考查实数的分类，根据实数分为无理数和有理数，有理数分为整数和分数，进行作答即可。
【详解】解：，
无理数家族：，，2.101101110…；
有理数家族：，0，；
整数：，0，
分数：．
19．(1)；；
(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．
【详解】（1）解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；
故答案为：，，；
（2）解：不能，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x=14.52，
所以x2=1.21，
即x=1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，
因为（4.4）2=19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
20．
【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为；
21．(1)，
(2)
【分析】此题考查了实数大小比较，关键是熟练掌握作差法．
（1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②；
（2）根据作差法即可比较大小．
【详解】（1）解：①若，则；
②若，则；
③若，则．
故答案为：①，②；
（2）解：
，
，
，
，
．
22．，
【分析】本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得，即可求解；理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】解：由题意，
得，
解得，
，
23．（1）14cm；
（2）冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的．
【详解】试题分析：
（1）把t=16代入计算即可；
（2）把d=35代入解得t即可.
试题解析：
(1)当t＝16时，（cm）；
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米．
(2)当d＝35时，，即t－12＝25，解得t＝37.
答：如果测得一些苔藓的直径是35厘米，冰川约是在37年前消失的．
24．，见解析
【分析】把实数所对应的点画到数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，进行排序，即可．
【详解】解：，如下图，
．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、实数的大小比较，实数与数轴，解题的关键是能正确在数轴上表示出各个数．
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第二章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．用计算器进行计算时，其按键顺序如下：，则输出的结果为
B．计算器上先输入某数，再依次按键显示的结果是，则原来输入的某数是
C．用计算器求一组数据的平均数，其按键顺序如下：，则输出的结果为
D．用计算器进行计算，在输入数据过程中，如果发现刚输入的数据有错误，可按键清除最后一步，再重新输入正确数据
3．4的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．
4．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
5．设边长为的正方形的面积为2．下列关于的四种结论：①是2的算术平方根；②是无理数；③可以用数轴上的一个点来表示；④是无限小数．其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③ D．②③④
6．下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个正方形的面积是3，则这个正方形的边长是（ ）
A．3 B． C． D．
8．下列实数中，的倒数是（ ）
A． B． C． D．
9．64的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．8 D．
10．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）．
A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间
11．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.14
二、填空题
13．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，若，那么 （用含和的代数式表示，其中为正整数）．
14．若与是同一个正数的平方根，则a的值为 ．
15．如图所示，数轴上表示所对应的点分别为，，点关于点的对称点为，那么点所表示的数是 ．
16．将数据6.9401用四舍五入法精确到百分位是 ．
17．比较大小： 6．（填“”“”或“”）
三、解答题
18．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧．
19．小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
20．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
21．用“作差法”比较和2的大小：，∵，∴，∴，∴．
(1)归纳总结：已知两个数a、b，若，则________0；若，则________0；（填>，<或=）
(2)举一反三：比较与的大小．
22．一个正数的两个平方根分别是与，求和的值．
23．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年．
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
24．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来．
，，0，，．
《第二章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A D C D C B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．B
【分析】运用计算器进行验证计算即可．
【详解】解：、计算器求三角函数值时，后面少按了“”，故A不正确；
B、按选项所给的按键顺序可以求出原来输入的数，故B正确；
C、按键中多了“，”，故C不正确；
D、清除刚输入错的数据时，按“”键，故D不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查计算器的使用，正确使用计算器是解题的关键．
3．C
【分析】根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】4的算术平方根是2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
4．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，实数与数轴．正确得出a的值是解题的关键．
【详解】解：∵边长为的正方形的面积为2，
∴，
①是2的算术平方根，故此说法正确；
②是无理数，故此说法正确；
③可以用数轴上的一个点来表示，故此说法正确；
④是无限小数，故此说法正确；
综上分析可知，正确结论是①②③④．
故选：A．
6．D
【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：①开方开不尽的数；②含有的数；③（每两个之间依次多个）这样的数；据此解答即可．
【详解】解：A、，属于整数，不是无理数，不符合题意；
B、为分数，不是无理数，不符合题意；
C、为有限小数，不是无理数，不符合题意；
D、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是算术平方根的应用，由正方形的面积直接表示正方形的边长即可．
【详解】解：∵一个正方形的面积是3，
∴这个正方形的边长是，
故选：C．
8．D
【分析】根据倒数的定义求解．
【详解】解：，
的倒数是，
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为1．
9．C
【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行求解即可．
【详解】解：64的算术平方根是8．
故选：C．
10．B
【分析】设正方形的边长为，可得；估算算术平方根的取值范围即可．
【详解】解：设正方形的边长为，则
解得：
∵，且
∴
即
故选：B
【点睛】本题考查估计算术平方根的取值范围．注意计算的准确性．
11．D
【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为，
是有理数，
再取立方根为，
是有理数，
再取立方根为，
是无理数，
输出．
故选：D．
12．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）进行判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，是有理数，故本选项错误；
B、是无理数，故本选项正确；
C、，是有理数，不是无理数，故本选项错误；
D、3.14不是无理数，故本选项错误；
故选：B．
13．
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【详解】解：由，
得：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
14．1或5
【分析】本题考查平方根，相反数，一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．一个正数的平方根是两个互为相反数的式，或两式相等．
【详解】解：∵与是同一个正数的平方根，则两式互为相反数或两式相等，
或，
或，
故答案为：1或5．
15．/
【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
根据数轴上两点间的距离公式得到，，，计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，，
点对应的数为，
故答案为：．
16．
【分析】精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位（千分位）上的数字0进行“四舍五入”法解答即可．
【详解】解：6.9401用四舍五入法精确到百分位是6.94．
故答案为：6.94．
【点睛】本题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．
17．
【分析】本题考查的是实数的大小比较．根据无理数的估算方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
18．无理数家族：，，2.101101110…；
整数：，0，
分数：．
【分析】本题考查实数的分类，根据实数分为无理数和有理数，有理数分为整数和分数，进行作答即可。
【详解】解：，
无理数家族：，，2.101101110…；
有理数家族：，0，；
整数：，0，
分数：．
19．(1)；；
(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．
【详解】（1）解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；
故答案为：，，；
（2）解：不能，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x=14.52，
所以x2=1.21，
即x=1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，
因为（4.4）2=19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
20．
【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为；
21．(1)，
(2)
【分析】此题考查了实数大小比较，关键是熟练掌握作差法．
（1）根据不等式的性质可解答①③，根据等式的性质可解答②；
（2）根据作差法即可比较大小．
【详解】（1）解：①若，则；
②若，则；
③若，则．
故答案为：①，②；
（2）解：
，
，
，
，
．
22．，
【分析】本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得，即可求解；理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】解：由题意，
得，
解得，
，
23．（1）14cm；
（2）冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的．
【详解】试题分析：
（1）把t=16代入计算即可；
（2）把d=35代入解得t即可.
试题解析：
(1)当t＝16时，（cm）；
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米．
(2)当d＝35时，，即t－12＝25，解得t＝37.
答：如果测得一些苔藓的直径是35厘米，冰川约是在37年前消失的．
24．，见解析
【分析】把实数所对应的点画到数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，进行排序，即可．
【详解】解：，如下图，
．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、实数的大小比较，实数与数轴，解题的关键是能正确在数轴上表示出各个数．
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