2.3实数同步练习（含解析）
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2.3实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．的相反数为 D．没有倒数
2．下列判断正确的是（ ）
A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数
3．的绝对值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．若，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（ ）
A．2 B． C．13 D．1
8．已知为实数，则的值为（ ）
A．0 B．不可能是负数
C．可以是负数 D．可以是正数也可以是负数
9．如图，数轴上的点可以用实数表示，下面式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．估计的值在（ ）．
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
11．下列四个数：，1，，其中最小的数是（ ）
A． B．1 C． D．
12．下列说法错误的个数有（ ）
①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数； ⑤数轴上的所有点都表示实数
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．的相反数为 ．
14．把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…，
正数集合{ …}
整数集合{ …}
负分数集合{ …}
无理数集合{ …}．
15．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ．
16．如图，面积为5的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为． 将正方形绕顶点沿数轴向右进行无滑动翻滚，则当点A第2023次落在数轴上时，点A所表示的数为 ．
17．比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
三、解答题
18．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
19．计算：．
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
21．比较下列各组数的大小．
(1)和；
(2)和．
22．把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个），，．
正有理数集合：{ …}；
正无理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
负无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}；
23．已知有理数a，b满足．求ab的值．
24．计算：
(1)；
(2)．
《2.3实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C C C B C A
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可．
【详解】解：A、没有意义，故选项不正确；
B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确；
C、的相反数为，故选项正确；
D、的倒数是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
2．B
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，无限循环小数是有理数，A错误，故不符合要求；
实数与数轴上的点一一对应，B正确，故符合要求；
实数包括有理数，无理数，C错误，故不符合要求；
实数的绝对值都是非负数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可．
【详解】
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】有理数有，有6个；
无理数有，有2个；
即，
，
故选：C．
5．C
【分析】先计算，，，，的算术平方根，并进行化简即可．
【详解】解：，，，，
．
故选C
【点睛】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出，，，，的算术平方根是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键．
根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可．
【详解】解：，
a与b异号，
由数轴上观察可知：,
，
又，
负数的绝对值大于正数的绝对值，
C点由可能是原点．
故选：C．
7．C
【分析】由题意知，，解得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的解二元一次方程组．
8．B
【分析】通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．
【详解】当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，的值不可能是负数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．
9．C
【分析】根据数轴上点的位置得到，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，，，，
∴，，
∴四个选项中，只有C选项式子成立，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，实数的运算，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．A
【分析】先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．A
【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
根据负实数绝对值大的反而小即可比较．
【详解】解：∵，
∴最小，
故选：A．
12．C
【分析】根据无理数的定义，实数的性质与分类，数轴上的点与实数一一对应，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故①不正确；
②没有最小的实数，故②不正确；
③无限不循环的小数都是无理数，故③不正确；
④不带根号的数不一定都是有理数，例如,故④不正确；
⑤数轴上的所有点都表示实数，故该⑤正确，符合题意；
错误的有①②③④，共4个，
故选C
【点睛】本题考查了实数的定义与分类，数轴与实数，掌握实数的定义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了实数的性质与相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
根据相反数的定义即可直接得出答案．
【详解】解：的相反数为，
故答案为：．
14． ，，， ，， ， ，…
【分析】根据实数的分类，依次解答，即可求解，本题考查了实数的分类，解题的关键是：明确实数的分类．
【详解】解：
正数集合{ ，，，，…}
整数集合{，，，…}
负分数集合{，， …}
无理数集合{，…}，
故答案为： ，，，；，，； ，； ，…．
15．18
【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故答案为：18．
16．/
【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了个单位．
【详解】面积5，则边长，
A第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，对应的数字是；
A第2次落在数轴上，和第1次相比又额外向右多移动了个单位，对应的数字是；
A第3次落在数轴上，和第1次相比向右移动了个单位，对应的数字是；
……
那么A第2023次落在数轴上，对应的数字是．
17．
【分析】根据无理数的大小估算得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，估算出的大小是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键；
根据实数的定义及其分类解答，即可求解；
【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、 负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数；
无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数；
正实数：正实数是大于的所有实数，不包括 ，正实数包括正整数和正分数；
负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数 ；
根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得：
有理数集合：，
无理数集合：，
正实数集合：，
负实数集合：
19．2
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握运算顺序，运算法则和性质，是解题的关键．
先计算平方，绝对值，算术平方根，乘除法，最后计算加减法．
【详解】解：
．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（3）先根据算术平方根、立方根和实数的性质化简各数，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键．
（1）根据，即可比较大小；
（2）根据，即可比较大小．
【详解】（1），，
．
（2），
，
．
22．；（每两个2之间的1依次多一个），；；；（每两个2之间的1依次多一个)，，，；
【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键．根据有理数、实数的定义及其分类求解即可．
【详解】解：，，
正有理数集合：；
正无理数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，…}；
负有理数集合：；
负无理数集合：；
正实数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，，，…}；
负实数集合：．
23．
【详解】∵，
∴．
∵a与b是有理数，
∴，5－2b＋a＝0．
∴，．
∴．
24．(1)3
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键：
（1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
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2.3实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．的相反数为 D．没有倒数
2．下列判断正确的是（ ）
A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数
3．的绝对值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．若，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（ ）
A．2 B． C．13 D．1
8．已知为实数，则的值为（ ）
A．0 B．不可能是负数
C．可以是负数 D．可以是正数也可以是负数
9．如图，数轴上的点可以用实数表示，下面式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．估计的值在（ ）．
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
11．下列四个数：，1，，其中最小的数是（ ）
A． B．1 C． D．
12．下列说法错误的个数有（ ）
①带根号的数都是无理数；②零是最小的实数；③无限小数都是无理数；④不带根号的数都是有理数； ⑤数轴上的所有点都表示实数
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．的相反数为 ．
14．把下列各数填在相应的大括号中：，，，，，，，，…，
正数集合{ …}
整数集合{ …}
负分数集合{ …}
无理数集合{ …}．
15．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ．
16．如图，面积为5的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为． 将正方形绕顶点沿数轴向右进行无滑动翻滚，则当点A第2023次落在数轴上时，点A所表示的数为 ．
17．比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
三、解答题
18．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
19．计算：．
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
21．比较下列各组数的大小．
(1)和；
(2)和．
22．把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个），，．
正有理数集合：{ …}；
正无理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
负无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}；
23．已知有理数a，b满足．求ab的值．
24．计算：
(1)；
(2)．
《2.3实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C C C B C A
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可．
【详解】解：A、没有意义，故选项不正确；
B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确；
C、的相反数为，故选项正确；
D、的倒数是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
2．B
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据实数与数轴的关系，绝对值，无理数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，无限循环小数是有理数，A错误，故不符合要求；
实数与数轴上的点一一对应，B正确，故符合要求；
实数包括有理数，无理数，C错误，故不符合要求；
实数的绝对值都是非负数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可．
【详解】
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】有理数有，有6个；
无理数有，有2个；
即，
，
故选：C．
5．C
【分析】先计算，，，，的算术平方根，并进行化简即可．
【详解】解：，，，，
．
故选C
【点睛】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出，，，，的算术平方根是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键．
根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可．
【详解】解：，
a与b异号，
由数轴上观察可知：,
，
又，
负数的绝对值大于正数的绝对值，
C点由可能是原点．
故选：C．
7．C
【分析】由题意知，，解得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的解二元一次方程组．
8．B
【分析】通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．
【详解】当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，的值不可能是负数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．
9．C
【分析】根据数轴上点的位置得到，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，，，，
∴，，
∴四个选项中，只有C选项式子成立，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，实数的运算，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．A
【分析】先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．A
【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
根据负实数绝对值大的反而小即可比较．
【详解】解：∵，
∴最小，
故选：A．
12．C
【分析】根据无理数的定义，实数的性质与分类，数轴上的点与实数一一对应，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，故①不正确；
②没有最小的实数，故②不正确；
③无限不循环的小数都是无理数，故③不正确；
④不带根号的数不一定都是有理数，例如,故④不正确；
⑤数轴上的所有点都表示实数，故该⑤正确，符合题意；
错误的有①②③④，共4个，
故选C
【点睛】本题考查了实数的定义与分类，数轴与实数，掌握实数的定义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了实数的性质与相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
根据相反数的定义即可直接得出答案．
【详解】解：的相反数为，
故答案为：．
14． ，，， ，， ， ，…
【分析】根据实数的分类，依次解答，即可求解，本题考查了实数的分类，解题的关键是：明确实数的分类．
【详解】解：
正数集合{ ，，，，…}
整数集合{，，，…}
负分数集合{，， …}
无理数集合{，…}，
故答案为： ，，，；，，； ，； ，…．
15．18
【分析】本题考查了实数的新定义运算，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据题中的新定义计算列式计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故答案为：18．
16．/
【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了个单位．
【详解】面积5，则边长，
A第1次落在数轴上，相当于开始向右移动个单位，对应的数字是；
A第2次落在数轴上，和第1次相比又额外向右多移动了个单位，对应的数字是；
A第3次落在数轴上，和第1次相比向右移动了个单位，对应的数字是；
……
那么A第2023次落在数轴上，对应的数字是．
17．
【分析】根据无理数的大小估算得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，估算出的大小是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键；
根据实数的定义及其分类解答，即可求解；
【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、 负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数；
无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数；
正实数：正实数是大于的所有实数，不包括 ，正实数包括正整数和正分数；
负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数 ；
根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得：
有理数集合：，
无理数集合：，
正实数集合：，
负实数集合：
19．2
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握运算顺序，运算法则和性质，是解题的关键．
先计算平方，绝对值，算术平方根，乘除法，最后计算加减法．
【详解】解：
．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（3）先根据算术平方根、立方根和实数的性质化简各数，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键．
（1）根据，即可比较大小；
（2）根据，即可比较大小．
【详解】（1），，
．
（2），
，
．
22．；（每两个2之间的1依次多一个），；；；（每两个2之间的1依次多一个)，，，；
【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键．根据有理数、实数的定义及其分类求解即可．
【详解】解：，，
正有理数集合：；
正无理数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，…}；
负有理数集合：；
负无理数集合：；
正实数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），，，，…}；
负实数集合：．
23．
【详解】∵，
∴．
∵a与b是有理数，
∴，5－2b＋a＝0．
∴，．
∴．
24．(1)3
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键：
（1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
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