第一章直角三角形同步练习（含解析）

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第一章直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一架米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足B到墙底端O的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移（ ）米．
A． B． C． D．
2．如图，中，，点在线段上，，，若，则（　　）
A．7 B． C．6 D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
4．不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．三角形的高和中线
5．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（　　）
A．三个角的度数之比为 B．三边长满足关系式
C．三条边的长度之比为 D．三个角满足关系式
9．已知一个直角三角形的两直角边的长是（+5）cm和（5- ）cm，则这个直角三角形的周长等于( ) cm
A．2 B． C．10+ D．
10．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
11．一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为（ ）米.
A．100 B．500 C．1240 D．1000
12．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
二、填空题
13．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 .
14．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为 ．
15．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AB＝6，CD＝1，则BC的长为
16．将一个弧长为cm，半径为cm的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝）， 那么这个圆锥形容器的高为
17．如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为 ．
三、解答题
18．如图，，，，垂足分别为，，．求证：
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到；（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出；
（2）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
20．如图，在四边形中，，的面积为，，，．
（1）试判断的形状；
（2）求的面积．
21．已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长度．
22．综合与实践：
(1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接
①的度数为______；（直接写出）
②线段之间的数量关系为______（直接写出）
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接
①的度数为______；（直接写出）
②证明：线段之间的数量关系；（详细过程）
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程）
23．如图，在中，，，的高和角平分线交于点F．求的度数．
24．如图所示，已知和C，D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．
《第一章直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A D B C C B
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】在中，根据勾股定理即可求的长度，再求得的长度，在中，利用勾股定理可求得的长度，据此即可求解．
【详解】解；在中，已知米，米，
则(米)，
∵米，
∴米，
∵在中，，
∴(米)，
∴(米)，
∴梯足向外移动了米．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
2．C
【分析】过作交于，延长与的延长线交于点，由得到，则为等腰直角三角形，于是，由得到平分，根据等腰三角形性质得，即，然后根据“”证明，则，所以．
【详解】解：过作交于，延长与的延长线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
∴平分，
而，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质，掌握判定三角形全等的方法“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等是解题的关键．
3．B
【分析】根据勾股定理求出的值，再加上的值即可．
【详解】解：如图，
在Rt△ABC中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，整体解答是解题的关键．
4．C
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
【详解】解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线、角平分线．熟悉各个性质是解题的关键．
5．A
【分析】由作图痕迹得平分，垂直平分，根据角的平分线的性质，作，依据垂线段最短，可得结论；
【详解】解：由作图痕迹得平分，垂直平分，
过点作于点，如图，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查角的平分线作图和线段的垂直平分线的作图，解题关键判断出角的平分线、线段的垂直平分线．
6．D
【分析】先利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
米，
旗杆折断之前的高度是18米，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键．
7．B
【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．
【详解】解：，
A、，满足的条件，能证明，不符合题意；
B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；
C、，得到，满足，能证明，不符合题意；
D、，得到，满足，能证明，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：．
8．C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；
、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），
∵，
∴三条边的长度之比为的三角形不是直角三角形，符合题意；
、∵，
∴，
∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：．
9．C
【分析】根据勾股定理先求出直角三角形的斜边，然后三边相加即可得
【详解】直角三角形的斜边= =
周长=（+5）+（5 ）+=10+
故本题答案应为：C
【点睛】勾股定理的应用和三角形的周长都是本题的考点，根据勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键.
10．B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】解：①72+82=113≠92，故不能组成直角三角形；
②92+122=225=152，故能组成直角三角形；
③(5m)2+(12m)2=169m2=(13m)2，故能组成直角三角形；
④(a2)2+(2a2)2=5a4≠(3a2)2, 故不能组成直角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．在应用该定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
11．D
【分析】由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理可以求得家离公司距离．
【详解】由题意知，该职工下班后向东走了5.6×50米，向南走了19.2×50米，
∵东西方向与南北方向互相垂直，
∴该职工家离公司的距离为==1000米．
故选D．
12．D
【详解】∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故选D．
13．270°/270度
【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE=90°，
∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，
故答案为：270°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
14．
【分析】过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，当F与点G重合时，取得最小值，勾股定理计算．
【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，
连接，
∵为等腰的高，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵为等腰的高，，
∴，
∴，
当F与点G重合时，取得最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握勾股定理，线段最短原理是解题的关键．
15．4
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出BD的长度，即可求出BC的长度．
【详解】解：如图所示，
∵∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了30°角直角三角形的性质，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握30°角直角三角形的性质，直角三角形性质．
16．cm
【分析】已知扇形的弧长就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径是cm，再根据底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．
【详解】解：先求底面圆的半径，即，cm，
扇形的半径cm等于圆锥的母线长，
在中，
如图，

圆锥的高．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图和勾股定理的应用，理解圆锥侧面展开图的扇形半径就是圆锥的母线长是解题的关键．
17．2.5
【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，
∵点O为AB边的中点，
∴CO=AB=2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质．先通过等量代换得出，然后利用证明，则结论可证．
【详解】证明：，，垂足分别为，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
19．（1）图见详解；（2）图见详解，
【分析】（1）根据题中所给的平移方式可直接进行作图即可；
（2）由等腰直角三角形的性质可直接进行作图，然后结合图形及勾股定理得出的长．
【详解】解：（1）由题意可得如图所示：
（2）由题意可得如图所示：
由图可得：．
【点睛】本题主要考查平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
20．（1）直角三角形；（2）
【分析】（1）先根据的面积求出AC的长度，然后利用三边关系即可判断的形状；
（2）根据（1）中的结论，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵，的面积为，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴ ，
∴是直角三角形；
（2）∵是直角三角形，，
∴
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定及面积，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明再结合证明 从而可得结论；
（2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度.
【详解】解：（1） ，
而
（2） ，，，
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键.
22．(1)①，②
(2)①；②，
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
（1）先得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②由得出，再判断出，即可得出结论．
（3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：①，②
（2）解：同（1）的方法得，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
②，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由（2）得： ，
∵均为等腰直角三角形，为中边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积＝的面积+的面积
；
23．
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
由对顶角相等得：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
24．见解析
【分析】连接CD，作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的平分线OE，OE交MN于点P，点P即为所求．
根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，作CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点即为P点．
【详解】如图所示，点P是角平分线与垂直平分线的交点．
【点睛】本题主要考查作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质.
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