1.3直角三角形的全等判定同步练习（含解析）

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1.3直角三角形的全等判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，已知在中，交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在数学活动课上,老师提出这样一个问题：“已知，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案（如图）：
（1）在角的两边OM、ON上分别取OA=OB；
（2）过点A作DA⊥OM于点A，交ON于点D；过点B作EB⊥ON于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；
（3）作射线OC．
小阳接着解释说：“此时，△OAC≌△OBC，所以射线OC为∠MON的平分线。”小阳的方案中,△OAC≌△OBC的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．HL D．AAS
4．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
5．给出下列四组条件：
① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；
③ ∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F；
④ AB＝DE，AC＝DF，．
其中，能确定△ ABC和△ DEF全等的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　）
A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD C．AC=AD且BC=BD D．以上都不对
7．如图，四边形中，，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，，，垂足分别为，若用“HL”证明还需添加的条件为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
10．如图，AD是的高，，E是AD上的一点，，，BE的延长线交AC于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
11．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，能保证成立条件有（ ）
； ； ；
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为 ．
14．如图，为斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，则的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为
16．斜边和一条 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或“”)．
17．如图，在四边形中，、为对角线，且，，于点．若，，则的长度为 ．

三、解答题
18．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
19．在中，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且.
（1）求证：
（2）若，求度数.
20．如图，，，，与交于点O．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．如图，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
22．如图，在中，是过点A的直线，于D，于点E；
(1)若在的同侧（如图1所示）且．求证：；
(2)若在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与垂直吗？若垂直请给出证明；若不垂直，请说明理由．
23．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.
24．如图，在和中，，，与相交于点O．
(1)求证：
(2)试判断的形状，并证明你的结论．
《1.3直角三角形的全等判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B B B A A B A
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可．
【详解】设相交于点，连接，
由已知得：
由旋转的性质可知：，
∴
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得是解本题的关键．
3．C
【分析】根据AAS证△AOD≌△BOE，根据全等三角形的性质推出OE=OD，证Rt△CEO≌Rt△CDO.
【详解】解：∵过点A，B作ON，OM的垂线AD，BE，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
在△AOD和△BOE中
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴OE=OD，
∵过点A，B作ON，OM的垂线AD，BE，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
在Rt△CEO和Rt△CDO中
∴Rt△CEO≌Rt△CDO（HL）
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、AAS、SSA、HL．
4．B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
【详解】解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据全等三角形的判定方法：结合选项进行判定
【详解】① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定
② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判断
③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判断
④ AB＝DE，AC＝DF，，可根据判断
所以能确定的条件有2组
故选：B
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．B
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【详解】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，
即AC=AD或BC=BD，
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是掌握“HL”判定定理．
7．A
【分析】利用判定，得出，即可得出结论．
【详解】解：，，且，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，常用的方法有、、、、，做题时注意灵活运用．
8．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．熟记定理内容即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴只需让的斜边相等即可
即：
故选：A
9．B
【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．
10．A
【分析】先证明≌，得，，再证，然后由三角形面积关系求出，则．
【详解】解：是的高，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
的面积的面积的面积，
，
，
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵，，
∴当时，．
当时，．
故选D．
12．B
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答．
【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等，
和满足定理“”，
故选：B．
13．
【分析】先证明Rt△CDA≌Rt△CBA得到，再由角平分线的定义求出∠EDC=45°，最后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴∠CDA=∠CBA=90°，
在Rt△CDA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），
∴，
∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
14．
【分析】根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解本题的关键在证明．
15．.
【分析】过点F作FM⊥AC交AC延长线于M，根据∠BEF=90°且BE=EF，可以得到△EFM≌△BEC，从而可以计算出CM、FM的长，再利用勾股定理即可得到CF的长.
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，，AE＝1
∴CE＝3
∵FM⊥AC，∠BEF＝90°
∴∠ACB＝∠BEF =∠FME =90°
∴∠FEM+∠EFM=90°=∠BEC+∠FEM
∴∠EFM=∠BEC
又∵BE=FE
∴△EFM≌△BEC
∴BC＝EM＝4，CE＝FM＝3
∴CM=EM-EC=1
∴
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16． 直角边 斜边、直角边
【分析】根据两个直角三角形全等的判定定理即可得到答案．
【详解】解：根据两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“”)，
故答案为：直角边；斜边、直角边．
【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定定理，熟记全等直角三角形的判定定理是解决问题的关键．
17．
【分析】过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点A作交的延长线于点F，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
18．△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由见解析．
【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由如下：
在△ADO与△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，
，
∴△ADO≌△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，AD=AE，
在△DOC与△EOB中，
∴△DOC≌△EOB（ASA），
∴DC=EB，OC=OB，
∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，
∵∠DAO=∠EAO，
∴AM⊥BC，CM=BM．
在△COM与△BOM中，∠OMC=∠OMB=90°，
，
∴△COM≌△BOM（HL）．
在△ACM与△ABM中，∠AMC=∠AMB=90°，
，
∴△ACM≌△ABM（HL）．
在△ADB与△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
在△BCE与△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．(1)见解析；（2）.
【分析】（1）利用“HL”证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得，根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABC=90°，
在和中，
∴（HL）；
（2）∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
20．(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）首先根据三角形内角和定理和全等三角形的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据证明；
（2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴（）；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】(1)由已知条件，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)同(1)，先证，再利用角与角之间的关系求证，即可证明．
【详解】（1）证明：∵
∴
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴；
（2），理由如下：
同（1）一样可证得，
∴
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
23．证明见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论.
【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)是等腰三角形，理由见详解
【分析】（1）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用“角角边”证明和全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义解答．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等腰三角形．
理由如下：∵，
∴ ，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先利用“”证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
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