1.4角平分线的性质同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4角平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，是中的平分线，于点E，，则（ ）

A．14 B．26 C．56 D．28
3．如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
5．如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有（ ）处
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（　　）
A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三条高线的交点
C．三角形的三条中线的交点 D．三角形的三条边的垂直平分线的交点
8．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
9．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，OA=8，PA=6，Q是射线OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是（　　）、
A．10
B．8
C．4
D．6
11．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( )
A．点 B．点 C．点 D．点
12．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在轴右侧相交于点，连接，若，则点的坐标为 ．
14．点在内，且到三边的距离相等，若，则 ．
15．阅读并填空．
已知：．
求作：的平分线．
作法：如图所示，

①以点 为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
③画射线 ．
射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．
16．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=114°，则∠MAB的度数为 ．
17．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC，求∠EDB的度数．
19．如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
20．已知：如图，是的角平分线．
求证：．
21．如图，已知点P在内，点D，E分别在边，上．若，且，问：点P是否在的平分线上？试证明你的结论．
22．如图，与都是以A为顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在一条直线上，延长交于F，连接．
(1)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)求证：平分．
23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AD垂直平分EF．
24．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
(1)求证：；
(2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由．
《1.4角平分线的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C D D C D A D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，由三角形的角平分线的判定定理可得AE平分∠FAC，结合三角形外角的性质可求得∠BAC＝2∠BEC＝70°，由补角的定义可求解∠FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
【详解】解：过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，如图所示：
∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，EH＝EM，EH＝EG，
∴EG＝EM，
∴AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定定理、性质定理及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定定理及性质定理、三角形外角的性质是解题的关键．
2．D
【分析】如图：作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由求解即可．
【详解】解：如图，作交于点F，

∵平分，，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4，
点到两边的距离相等，
射线是的角平分线，
，
，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离．
【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点，
，，
，
，
，
，即，
由此可知，即为两平行线与间的距离，
是的平分线，
且，，
，
是的平分线，
且，，
，
，
两平行线与间的距离是，
故选：C．
5．D
【分析】先证得是线段的垂直平分线，得到，再证得，进而求得、的长，即可求得.
【详解】解：∵点D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质以及的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用性质是解题的关键.
6．D
【分析】要使物流公司仓库到三条公路的距离相等，可根据角平分线的性质进行解答；
角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 确定出三角形的内角的角平分线的交点或者相邻的外角的角平分线的交点，即可解答本题.
【详解】由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得满足题意的物流公司仓库的地址有：
（1）三角形两个内角的角平分线的交点，共一处；
（2）三角形两个相邻外角的角平分线的交点，共三处.
综上可知，总共有4处地址可供选择.
故选D.
【点睛】考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
7．C
【详解】A、三角形三条角平分线的交于一点，这一点是三角形的内心；
B、三角形三条高所在直线的交于一点，这一点是三角形的垂心；
C、三角形三条中线的交于一点，这一点是三角形的重心；
D、三角形三边垂直平分线的交于一点，这一点是三角形的外心．
故选C．
8．D
【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处．
综上，可选择的点有四处．
故选：D．
9．A
【分析】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，根据角平分线的性质得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性质得到的长，即可得到答案．
【详解】解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．

10．D
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可
【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=6，
∴PQ=PA=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．
11．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据网格得出，，
在与中
∴，
∴，
即平分
∴到两边距离相等的格点应是点，
故选A
12．B
【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1=0，然后再整理可得答案．
【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即2a+b+1=0，
∴2a+b=-1．
故选B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，关键是掌握角平分线的做法．
13．或
【分析】画出图形，结合图象可知点P有两个，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
由作图知点在第一象限或第四象限角平分线上，
∴设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为或．
【点睛】本题考查角平分线的画法，勾股定理．解题的关键是掌握角平分线的画法，结合图象分析出点在第一象限或第四象限角平分线上．
14．/118度
【分析】根据到三边的距离相等得到点是角平分线的交点，即可得到，再利用三角形内角和进行角度计算即可．
【详解】，
，
点到三边的距离相等，
点是角平分线的交点，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的判定以及角平分线性质的运用；得到点是三角形角平分线的交点是解题关键．
15． O M N
【分析】根据角的平分线基本作图步骤完成填空即可．
【详解】解：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
③画射线．
射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是，
故答案为：；；；；；．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，熟练掌握角的平分线的基本作图是解题的关键．
16．33°．
【详解】试题解析：由题意可得：AM平分∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠ACD=114°，
∴∠CAB=66°，
∵AM平分∠CAB，
∴∠MAB=33°．
考点：1作图—基本作图；2.平行线的性质．
17． / / / / / /
【分析】根据三角形中线的定义、角平分线的定义及三角形的高可直接求解各个小问．
【详解】解：（1）∵是中线，
∴；
故答案为，；
（2）∵是角平分线，
∴，
故答案为，；
（3）∵是高，
∴，
故答案为；
（4）由题意得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的中线、角平分线及高线，熟练掌握三角形的中线、角平分线及高线的定义是解题的关键．
18．∠EDB=42°.
【详解】试题分析：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD，所以∠DBC=84°÷2=42°，因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°.
试题解析：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠DBC=84°÷2=42°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=42°.
点睛：掌握角平分线的性质以及平行线的性质.
19．（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°
【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．
20．证明见解析
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=DC，在直角三角形BED中，，可得，从而结论即可得证．
【详解】证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分，DE⊥AB，，
∴DE=DC，
∵在直角三角形BED中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
21．点P在的平分线上，证明见解析
【分析】过点P作于F，作于G，根据题意及各角的等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用角平分线的性质即可证明．
【详解】答：点P在的平分线上．
证明：如图，过点P作于F，作于G，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴点P在的平分线上．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．(1)，，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）作于G，作于H，根据全等三角形对应边上的高相等得，再由角平分线的判定定理得出平分．
【详解】（1）解：，，理由如下：
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：作于G，作于H，如图，
∵，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理，判断出是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE=DF，则根据等腰三角形的性质得∠DEF=∠DFE；
（2）先利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE；
（2）在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了直角三角形全等的判定方法和线段垂直平分线的判定，解题关键是利用这些性质定理结合题目条件进行证明．
24．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论．
【详解】（1）证明：是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)