2.2平行四边形同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
2．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（ ）．
A．61 B．63 C．65 D．67
3．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形
4．如图，□ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则□ABCD的面积为( )
A．60 cm2 B．30 cm2 C．20 cm2 D．16 cm2
5．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
6．如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．如图，P为平行四边形内一点，过点P分别作，的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点．若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
10．如图所示，在湖边取一个可以直接到达A、B两点的点O，连结OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连结CD，并测得CD＝a，由此就知道了AB间的距离是( )
A．a B．2a C．a D．3a
11．如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ）
A．48 B．36 C．40 D．24
12．在 ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（　　）
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
二、填空题
13．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件： ，使四边形BDFC为平行四边形．
14．如图，在中，若、，，则 度．
15．如图，以的三边为边，在的同侧作等边三角形、、，则四边形的形状是 ．

16．如图，在平行四边形中，，，那么 ．
17．如图，在平行四边形中，，F是的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，问： 时，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形．

三、解答题
18．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点，且．求证：．
19．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接．
(1)证明四边形是平行四边形；
(2)若平分，求的度数．
20．已知，如图OM⊥ON，OP=x-3，OM=4，ON=x-5，MN=5，MP=11-x，求证：四边形OPMN是平行四边形．
21．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
22．有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为和，它的一边长为？为什么？
23．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与分别相交于点．求证：
(1)；
(2)．
24．如图，在四边形中，，点E为边上的中点连接并延长，与的延长线交于点F，连接、，求证：四边形是平行四边形．
《2.2平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B D C C C B B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,即可做出解答．
【详解】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，应是对角线互相平分的四边形是平行四边形；B、对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形，说法错误，应是矩形；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；D、对角线互相垂直平分的四边形不一定是平行四边形，错误；故选C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形，以及特殊的平行四边形的判定，关键是熟练掌握各种四边形的判定方法.
2．C
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BCA=∠DAC=42°，即∠BCO=42°，
∴∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°，
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形外角性质．掌握三角形的外角等于与它不相邻的内角的和是解题关键．
3．C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．
【详解】解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意；
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰梯形，故C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【详解】过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．
．
故选B．
5．D
【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E，
它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．
6．C
【分析】此题主要考查了平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据平行四边形的性质得，进而可证和全等，从而得，据此可对命题①进行判断；②证，，再根据得，进而得，从而得，据此可对命题②进行判断；③根据是边的中点，得，再根据得，据此可对命题③进行判断；④根据为直角三角形，，，利用勾股定理得，进而得，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①四边形为平行四边形，如图所示：
，
，
，，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故①正确；
②四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
是边的中点，
，
，
，
，，
，，
，，
，
即，
，
即，
故②正确；
③是边的中点，，
，
，
，
，
故③正确；
④，
为直角三角形，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故④不正确．
综上所述：正确的命题是①②③，
故选：C
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质逐项分析即可．
【详解】如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
8．C
【详解】如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离的走法有下面三种：
（1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B.
故选C.
9．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，由题意得，四边形，，，均为平行四边形，可得，，，，两式相减即可得；掌握平行四边形面积与三角形面积的转化是解题的关键．
【详解】解：由题意得，四边形，，，均为平行四边形，
∴，，
∵，
，
①-②得，，
即，
，
故选：B．
10．B
【分析】由D，C分别是边OB，OA的中点，首先判定DC是三角形AOB的中位线，然后根据三角形的中位线定理，由CD的长，进一步求出AB．
【详解】解：∵C、D分别是OA、OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD=2a．
故选B．
【点睛】此题是中位线定理在实际中的运用，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
11．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：A
12．D
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．
【详解】解：
①如图1在 ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，
∴AB=5；
②如图2在 ABCD中，
∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为3或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．
13．BC＝DF
【分析】先根据∠A=∠ABC=90°，判定BC∥DF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出结论．
【详解】∵四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥DF，
∴当BC＝DF时，四边形BDFC是平行四边形，
故答案为BC=DF.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这是得出结论的依据，本题答案不唯一．
14．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余．先根据平行四边形的性质得出，再由得出，最后根据，即可解答．
【详解】解： 四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．平行四边形
【分析】先证明，，则，，则四边形是平行四边形，
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握平行四边形的判定．
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴，， ，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
同理：，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
16．/26度
【分析】根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．或
【分析】Q点必须在上时，A，Q，F，P为顶点的四边形才是平行四边形，分两种情况：Q点在上和Q点在上时进行讨论，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形，且在上，
∴Q点必须在上才能满足以以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，
∴，
当Q点在上时，，且，
∴，解得；
当Q点在上时，，且，
∴，解得；
综上，或时，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据动点的位置不同分情况讨论是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质及全等三角形判定与性质，由证明，再由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键．
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形；
（2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．见解析.
【分析】在Rt△MON中，用勾股定理列方程求出x的长，则可得到PM，ON，MN，OP的长，从而证明四边形OPMN是平行四边形.
【详解】解：∵OM⊥ON，∴在直角三角形MON中，OM2+ON2=MN2，
∵OM=4，ON=x-5，MN=5，∴42+（x-5）2=52，解得：x=8，
∴MP=11-x=11-8=3，ON=x-5=8-5=3，OP=x-3=8-3=5，
∴MP=ON，PO=NM，
∴四边形OPMN是平行四边形．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．
【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）如图，作AG⊥BE于点G，
则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠AEB=∠FCE=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE==，
∴BE=BG+GE=，
∴D′F=．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．
22．没有，理由见解析．
【分析】结合图形分析可知，，再利用三角形三边关系可知：，，即可解答．
【详解】解：不存在这样的平行四边形，理由如下：如图：
∵的两条对角线长分别为和，
假设，，
∴，，
利用三角形三边关系可知：，，
即，，
∴不存在一边长为的平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握平行四边形的性质，三角形三边关系．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握平行四边形的性质，掌握三角形全等，是解题的关键．
（1）证明，即可；
（2）等底等高得到，全等得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵点为对角线的中点，
∴
∴，
，
∴，即．
（2）由（1）可知：．
∴和等底等高，即
又∵，
，
∴．
24．证明见解析．
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在与，，
∴，
∴，
∴四边形的对角线与互相平分，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)