2.4三角形的中位线同步练习（含解析）

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2.4三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点、分别是边、的中点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．3 C．6 D．8
6．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长是（ ）厘米．
A．6 B．9 C．12 D．3
7．如图，在中，平分，于点，交于点，点是的中点，若，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，的周长为，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，平行四边形中，对角线，相交于，，， ， 分别是， ，的中点，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④平分，
正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④
11．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，已知，，，点E、F分别是线段OD、OA的中点，则EF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图,D,E分别是AB,AC的中点,BE是∠ABC的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE∥BC;③BD=DE;④BE⊥AC．其中正确的是 ( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm
14．在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠BDE的度数为 ．
15．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， ．
16．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ．
17．如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是 （填序号）
三、解答题
18．如图所示，，交于点，，，，，分别是，，的中点．
求证：（1）；
（2）．
19．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
20．如图，中，，，、分别为、上一点，，、分别为、的中点．求证：．
21．如图，在中，为的中点，为的中点，求证：．

22．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长．
23．如图所示，在四边形中，，且与不平行，、分别是、的中点，求证：．
24．已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．
《2.4三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D C D A C A B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】找面积相等的三角形即找到等底等高的三角形即可．
【详解】 E为的中点，，
F为中点，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
是的中线，是的中线，是的中线，
，
能表示的与面积相等的（除外）三角形有5个，
故选：C．
【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、中线的性质，熟记三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
2．C
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
点O为跷跷板的中点，
是的中位线，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】根据三角形中位线定理求的长.
【详解】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，可求得 ，故选D．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理.
5．C
【分析】根据三角形中位线的性质定理和直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解： F为DE的中点，
∠ACB＝90°，CD为中线，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
6．D
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知OA=AC，OB=BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24厘米，
∴OB+0A=12厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=18﹣12=6厘米，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3厘米，
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．
7．A
【分析】根据平分，于点，得到，从而得,；结合题意，计算得FC的值；再根据点是的中点，通过是的中位线的性质，即可完成解题．
【详解】∵平分，于点
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∵点是的中点
∴是的中位线
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形、三角形中位线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、三角形中位线的性质，从而完成求解．
8．C
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为32，及BC=12，可得DE=8，利用中位线定理可求出PQ．
【详解】平分，，
，
，，
，
，同理：，
点是中点，点是中点（三线合一），
是的中位线，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．
9．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．
延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长．
【详解】延长交的延长线于点，如图，
，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，点E是的中点，
，是的中位线，
．
故选：A．
10．B
【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由，可证四边形是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形
，，，
又，
，且点 是中点，
，
故①正确，
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，无法证明，
故③错误，
，
四边形是平行四边形
故②正确，
，
，
，
，
,
，
，
，
平分，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
11．A
【分析】根据平行四边形的性质，得出AO和BO的长度，然后利用勾股定理计算AD的长度，最后根据中位线的性质求出EF的长度即可.
【详解】解：在中，，，，
，，
在中，.
点E、F分别是线段OD，OA的中点，
是的中位线，
.
则EF的长为4.
故选A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线四边形的性质，能够得到相等的边长，熟练掌握中位线的性质，明确线段间的数量关系.
错因分析:本题属于中档题.失分原因有2点：（1）没有熟练掌握平行四边形的性质；（2）没有掌握三角形中位线的性质.
12．D
【分析】根据三角形中位线定理判断①和②，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理判断③，根据等腰三角形的三线合一判断④．
【详解】∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，DE∥BC，①、②正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠DEB=∠EBD，
∴BD=DE，③正确；
∵点E是AC的中点，BE是∠ABC的平分线，
∴BE⊥AC，④正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13．4.5//
【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．
【详解】解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm，
∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DEBC，
∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm），
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．140°/140度
【分析】根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝40°，
∴∠BDE＝140°，
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，是基础题，熟记性质并准确作图是解题的关键．
15．7
【分析】先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，即可得到答案．
【详解】解：把图补全如图所示：
由折叠得：，，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
16．/37度
【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，
，、、分别是，，的中点，
，
∵，，
，，
∴，
，
解得．
故答案为：．
17．①②③④
【分析】延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H，平分，可证△AGD≌△ACD（ASA），可得GD=CD，AG=AC，由平分，可证△ABE≌△AHE（ASA），可得BE=HE，由F为中点，GD=CD，可得DF∥BG，DF=，∠FDE=∠BAD，由F为中点，BE=HE，可得FE∥HC，∠FED=∠CAD，可证∠FDE =∠FED，DF=EF可判断①②，由∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，可判断③，由AG=AC，EF=FD=可判断④．
【详解】解：延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H，
∵平分，
∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=∠ADC=90°，
在△AGD和△ACD中，
∴△AGD≌△ACD（ASA），
∴GD=CD，AG=AC，
∵平分，
∴∠BAD=∠HAD，∠AEB=∠AEH=90°，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（ASA），
∴BE=HE，
∵F为中点，GD=CD，
∴DF为△CBG的中位线，
∴DF∥BG，DF=，
∴∠FDE=∠BAD，
∵F为中点，BE=HE，
∴FE为△BCH的中位线，
∴FE∥HC，
∴∠FED=∠CAD
∵∠GAD=∠CAD，
∴∠FDE =∠FED，
∴DF=EF，
故①，②正确；
∵∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，
∴，
故③正确；
∵AG=AC，EF=FD=，
∴AB=AG+BG=AC+2DF=AC+FD+EF，
∴④正确；
其中正确的是①②③④．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线定义，垂直定义，三角形中位线判定与性质，三角形内角和，等腰三角形判定，线段中点定义，涉及知识较多，习题难度中等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）直接根据等腰三角形三线合一的性质求证即可．
（2）先求得，再根据直角三角形斜边中线性质求得FH=AC，GH=AC，即FH=GH，等边对等角得到∠HFG=∠FGH．
【详解】（1）为中点，，
为的高．
即．
（2）连接，
，为中点，
．
．
又为中点，
，．
．
．
【点睛】主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线性质，根据条件得出斜边的中线是解题的关键．
19．(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线，是的中位线，故，，，，即，，即可作答；
（2）因为E是的中点，H是的中点，所以是的中位线，则，，由（1）知，结合，得，又因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，即可作答．
【详解】（1）证明：因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线，
所以是的中位线，是的中位线，
故，，，，
那么，，
所以四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
因为E是的中点，H是的中点，
所以是的中位线，
则，，
因为，且结合由（1）知，
所以，
因为四边形是平行四边形，
因为
因为四边形是平行四边形，
故
【点睛】本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定等知识内容；中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．见解析.
【分析】取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得NG=AE，NG∥AE，MG=BF，MG∥BF，再求出AE=BF，∠MGN=90°，判断出△MNG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NG=MN，再表示出AE即可得证．
【详解】如图，取的中点，连接、，
、分别为、的中点，
，，，，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造成等腰直角三角形是解题的关键．
21．证明见解析
【分析】本题考查平行四边形，三角形中位线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据三角形中位线的性质，则，根据点为的中点，则，等量代换，则，根据平行四边形的性质，则，，等量代换，平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，，即可．
【详解】证明，如下：
延长至点，使，连接，
∵为的中点，点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．

22．12
【分析】根据E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，可得出EF∥AB，GH∥AB，同理EH∥CD，FG∥CD，则四边形EFGH为平行四边形，由三角形的中位线定理得出EF，EH，从而求出四边形EFGH的周长．
【详解】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．
∴EF∥AB，GH∥AB，EF=2.5，EH=3.5，
同理EH∥CD，FG∥CD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×6=12．
23．证明见解析
【分析】根据中位线的性质得出、，再根据三角形边的性质得出，即可得出答案.
【详解】证明：如图所示，取中点，连接，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可证，
易证、、三点不共线，
∵，
∴．
在中，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三条边的一半.
24．见解析
【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明．
【详解】解：如下图，连接，
是的中位线，
，，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
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