2.5矩形同步练习（含解析）

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2.5矩形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA； ②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点F由A到O的运动过程中，点E的运动路径长为线段BC的长度．则正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①②③④ C．②③④ D．①②③
2．如图，是一张矩形纸片，，若用剪刀沿的平分线剪下，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若AB＝4，BC＝6，且AH＜DH，则
AH的长为（ ）
A．3- B．4- C．-2 D．6-
4．矩形ABCD的面积是16，它的长与宽的比为4：1，则该矩形的宽为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5
7．把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（ ）
A． B． C． D．
8．小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（ ）
A．46° B．36° C．54° D．56°
9．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
10．如图，将矩形沿折叠，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点P是矩形的边上一动点，、长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线和的距离之和是（ ）
A．26 B．12 C．24 D．不能确定
12．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AD＝10，CD＝8．在CD边上取一点E，将纸片沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处．则AF＝ ；CF＝ ；DE＝ ．

14．如图，矩形 的面积为 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ，对角线交于点 ；以 ， 为邻边做平行四边形 ；；依此类推，则平行四边形 的面积 ．
15．在矩形中，对角线、交于，且，，则的长为 cm．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，则BF＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上点P时，则∠DAP= 度
三、解答题
18．已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．

19．如图，已知，，．
(1)证明四边形为矩形；
(2)M为的中点，N为的中点，．若，求的值．
20．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
21．如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
22．如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F．
(1)求证：；
(2)连接，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由）
23．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高.点O是AC中点，延长DO到E，使，连接AE，CE.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若，，求四边形ADCE的面积.
24．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
《2.5矩形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B D A D B B C
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】①根据∠DAC=60°，OD=OA，得出△OAD为等边三角形，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长OE至G，使OG=OD，连接DG，通过△DAF≌△DOE，∠DOE=60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OG运动到G，从而得出结论④正确．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=BD，OD=OB，OC=OA，
∴OD=OB=OC=OA，
∵∠DAC=60°，OD=OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA=∠DAO=∠ODA=60°，AD=OD，故①正确，
连接OE．
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=DE，
∵∠BDE+∠FDO=∠ADF+∠FDO=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF=180°，
∴∠ADF+∠AFD=180°-∠DAF=120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠EFC+∠AFD=180°-∠DFE=120°，
∴∠ADF=∠EFC，
∴∠BDE=∠EFC，
在△DAF和△DOE中，，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE=∠DAF=60°，
∵∠COD=180°-∠AOD=120°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=120°-60°=60°，
∴∠COE=∠DOE，
在△ODE和△OCE中，，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED=EC=DF，故②正确；
∵∠ODE=∠ADF，
∴∠ADF=∠OCE，即∠ADF=∠ECF，
故结论③正确；
如图，延长OE至G，使OG=OD，连接DG，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE=60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OG运动到G，
∵OG=OD=AD=BC，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
2．C
【分析】由BE为∠ABC的角平分线可得，从点E向AB作垂线EF，则EF=AD=EC，再结合图形关系可得DE．
【详解】解：由角平分线性质，角平分线的点到两边的距离相等
从点E向AB作垂线EF，则EF=AD=EC=4
所以DE=10-4=6，
故选C．
【点睛】本题涉及矩形的相关性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握以上性质．
3．A
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形可证四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质得到EH=FG，∠A=∠B=∠D=∠C=90°，根据余角的性质得到∠AEH=∠CGF，根据全等三角形的性质得到CF=AH，由勾股定理可列方程，解答即可．
【详解】解：由折叠的性质可得∠HEJ=∠AEH，∠BEF=∠FEJ，AH=HJ，
∴∠HEF=∠HEJ+∠FEJ=×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，BF=JF，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EH=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，
∴∠AEH+∠AHE=∠AHE+∠DHG=∠DHG+∠DGH=∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠AEH=∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴CF=AH，
∵HF=HJ+JF=AH+BF=AH+6-CF=6，
由折叠的性质的，AE=EJ=BE=AB=2，
∵HF2=EH2+EF2，
∴36=AH2+4+4+，
∴AH=3±，
∵AH＜DH，
∴AH=3-，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用勾股定理列出方程．
4．B
【详解】设矩形的宽为x，则长为4x．
根据题意得：4x2=16，
所以x2=4．
根据算术平方根的意义可得x=2．
故选：B．
5．D
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【详解】解：添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM=B′M=x，则AM=7-x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x）2=25-x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．
【详解】解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M，
∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，
又由折叠的性质知AB=AB′=5，
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：，
即，
解得x=3或x=4，
则点B′到BC的距离为2或1．
故选A．

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
7．D
【分析】如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作MH⊥A'R于H，过点N作NJ⊥A'W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=
∵四边形EMHK是矩形，
∴EK= A'K=MH=1，KH=EM=2，
∵△RMH是等腰直角三角形，
∴RH=MH=1，RM=，同法可证NW=，
题意AR=R A'= A'W=WD=4，
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.
故答案为：D.
【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
8．B
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等；利用此性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴；
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，直角三角形的性质．
由矩形的性质、折叠的性质得到，结合即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：．
∵，
∴，
∴．
故选C．
11．B
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
由矩形可得：，又由，，可求得的长，则可求得与的长，又由，代入数值即可求得结果．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，，
，
，
．
点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．
故选：B．
12．D
【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，
四边形ABCD是矩形，
同理可得
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
13． 10 4 5
【分析】先根据矩形的性质得AB=CD=8，在RtΔABF 中，利用勾股定理计算BF=6，再根据矩形的性质得AD=CB=10 ，则CF=BC BF=4；设DE=x ，则EF=x， EC=8 x，然后在 RtΔECF中根据勾股定理得到42+(8 x)2=x2 ，再解方程即可得到DE的长．
【详解】解：根据折叠可得AF＝AD＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，
在Rt△ABF中, AB2+FB2=AF2，
∴FB=6．
∴FC＝10﹣6＝4，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5．
则DE＝5．
故答案为：10，4，5．
【点睛】
本题考查了图形的折叠，矩形的性质和勾股定理，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．
【分析】如图：过点O向作垂线，垂足为E，平行四边形的面积为，根据矩形的性质,即平行四边形的面积为；同理：根据平行四边形的性质可得：，即面积，依此类推，即可得到平行四边形的面积．
【详解】解：如图：过点O向作垂线，垂足为E，过点向作垂线，垂足为F，
∵，
∴，
∵O为矩形的对角线交点，
∴
∴
∵矩形ABCD的面积
∴平行四边形AOC1B的面积
同理：根据平行四边形的性质可得：，
平行四边形面积，
依此类推：
平行四边形的面积．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质等知识点，根据平行四边形的性质得到面积的变化规律是解题的关键．
15．16
【分析】首先根据矩形的性质可得，，然后再计算出∠ACB的度数，再根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是的一半，可得AC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴， ，
又∵，
∴，
在Rt△ABC中，AB= 8，
∴(cm)；
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
16．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得．所以∠CAD=∠ACB=90°．又∠ACE=90°，可证明四边形ACED是矩形，得出AD=CE=2，AF=EF，AE=CD．证明△ABE是等边三角形，再根据勾股定理即可求出BF的长．
【详解】解∶ ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠ACE=∠DEC=∠CAD=90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=2，AF=EF，AE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∴AB=AE，
∴CE=BE=2,BE=4
又∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴AF=EF=2，∠BFE=90°，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
17．30
【分析】根据矩形的性质和旋转的性质可得AD=BC=AP，然后利用含30°角的直角三角形的性质结合已知可求出∠APB=30°，易求∠DAP.
【详解】解：由题意可得：AD=BC，AD=AP，
∴AP=BC，
∵BC=2AB，
∴AP=2AB，
∴在Rt△ABP中，∠APB=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB=30°，
故答案为30.
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
18．证明见详解
【分析】根据矩形的性质，证明、、、到的距离相等即可．
【详解】证明：四边形是矩形
∴、且、，
，
、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分．
19．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）首先证明出四边形是平行四边形，然后求出，即可证明四边形为矩形；
（2）过点M作，垂足为E，通过证明，，进而求出，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∵
∴
∴四边形为矩形；
（2）如图，过点M作，垂足为E，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
N为的中点，，
，，
，
M为的中点，
，
，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（1）见详解；（2）4-8
【分析】（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；
（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵在矩形中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵，
∴（AAS），
（2）∵，
∴AN=DM=4，
∵，
∴，
∴AB=，
∴矩形的面积=×2=4，
又∵，
∴四边形的面积=4-4-4=4-8．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）全等，理由见解析
【分析】（1）可证B1是EE1的中点，则EB1=EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN=EE1，即可证明；
（2）由S△EAF=S△FEC，可得AF=EC．然后通过SAS可证明结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1=EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN=EE1，
∴EB1=MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1=B1E1=E1F，
∴=S△EAF，
同理，=SFEC，
∵=S△EB1C，
∴S△EAF=S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF=EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质等知识，证明S△EAF=S△FEC是解题的关键．
22．(1)见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得，再运用证明，即可作答．
（2）先由平行四边形的性质得，由，证明四边形是平行四边形，最后因为，即可证明四边形是矩形进行作答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：（答案不唯一）．过程如下：
如图：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形．
23．（1）证明见解析；（2）四边形ADCE的面积是120.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可.
【详解】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的高，BC=16，AB=17，
∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，
由勾股定理得：AD===15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.
24．证明见解析.
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.
【详解】
证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中,
∴△BCF≌△CDE(AAS)，
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE.
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