2.6菱形同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.6菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　）
A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
2．如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，点M在边BC上，且BM=1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
3．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（ ）
A． B．8
C． D．4
4．如图，在菱形中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）
A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③①
5．已知菱形的对角线长分别为、，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（ ）
A．60 B．70 C．75 D．80
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将绕着点C旋转180°得到，若AC=2，＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
8．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　)
A．16 B．16 C．8 D．8
9．下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
10．如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
11．菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，则菱形面积为（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．菱形的对角线互相垂直
C．若，则
D．若三角形的三边a，b，c满足，则此三角形为直角三角形
二、填空题
13．在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．
14．如图，菱形的一条对角线上一点O，到菱形一边的距离为2，那么点O到另外一边的距离为________．
15．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是 ．（填写序号）
16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ．

17．如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件 时(填一个条件)，能够判定四边形ACED为菱形.

三、解答题
18．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
19．如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是菱形．
20．如图，在菱形中，过点B作于点E，过点B作于点F，求证：．
21．已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）试说明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．
22．如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．
(1)求证：四边形ACEB是菱形；
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．
23．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长．
24．如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，且．求菱形各个内角的度数．
《2.6菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B C D C A B
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案．
【详解】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定是矩形也就不一定是平行四边形，故A选项错误，符合题意；
B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形，故B选项正确，不符合题意；
C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，故C选项正确，不符合题意；
D、如果AD∥BC，OA=OC，则可以证得四边形ABCD是平行四边形，又AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是正方形，故D选项正确，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键．
2．B
【分析】作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，得四边形ACBC'是菱形，则PN=PN'，故而PM+PN=PM+PN'，当M、P、N'共线，PM+PN'最小，从而解决问题．
【详解】解：作点C关于AB的对称点C'，连接AC'，BC'，取AN'=AN，连接PN'，
则CA=C'A=CB=BC'，
∴四边形ACBC'是菱形，
∴PN=PN'，
∴PM+PN=PM+PN'，
∴当M、P、N'共线，且MN'⊥AC'时，PM+PN最小，
过点C'作C'H⊥BC于H，
∵∠ACB=120°，
∴∠C'BH=60°，
∴C'H=BC'=2，
∴PM+PN的最小值为BC和AC'之间的距离即为C'H为2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，菱形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线将PM+PN的最小值转化为C'M的长是解题的关键．
3．C
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，求出∠ABC＝60°，求出△ABC是等边三角形，求出AB＝2，根据勾股定理求出BO，求出BD，再求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝2，
∴AO＝1，AB＝AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝，
∴BD＝2，
∴菱形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×2×2＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质等知识点，把点P从点B出发，沿折线方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
【详解】∵，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当点P与点B重合时，此时为等腰三角形，①符合，
当时，此时为直角三角形，③符合；
当点P到达点C处时，此时为等边三角形，②符合；
当P为中点时，为直角三角形，③符合；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解即可．
【详解】解：菱形的面积，
故选：B．
6．C
【分析】由题干，可知四边形为菱形，又，所以，．连接BD，易知AE、BE、DE是的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接BD，并延长AE交BD于点O
∵，，
∴四边形BCDE是菱形，
∴AE、BE、DE是的角平分线．
∴A、E、O、C四点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，
故选：
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质．
7．D
【分析】连接，根据菱形的性质、旋转的性质，得到，，根据=5，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，如图：
∵四边形ABCD是菱形，且BOC绕着点C旋转180°得到，且AC=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即菱形ABCD的边长是，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．
8．C
【分析】根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE= ，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×=
【详解】解：在菱形ABCD中，有AB=AC
∵∠BAD＝120°
∴∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形
即AB=AC=BC=4
作AE⊥BC于点E
∴BE=2，AE=
∴S菱形ABCD=BC·AE=4×=
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长．
9．A
【分析】根据矩形的对角线相等的性质即可作出判断.
【详解】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故选项A符合题意，而选项B、C、D中的性质是菱形所具有的；
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形对角线相等的性质是解题关键.
10．B
【分析】先延长交于点G，根据三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到，设，则，在中，依据勾股定理可得，进而得出方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点G，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，依据勾股定理可得，
∴，
解得，（负值已舍去）
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的运用；解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．
11．B
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，
∴菱形面积为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
12．D
【分析】先逐个的写出原命题的逆命题，再利用算术平方根的性质可判断A的逆命题，利用平行四边形的判定可判断B的逆命题，由两数之积为0则至少有一个为0，可判断C的逆命题，由勾股定理的含义可判断D的逆命题，从而可得答案．
【详解】解：若，则的逆命题是：若 则，
而若 则，则原命题的逆命题是假命题，故A不符合题意；
菱形的对角线互相垂直的逆命题是：对角线互相垂直的四边形是菱形，
而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，则原命题的逆命题是假命题，故B不符合题意；
若，则的逆命题是：若，则，
而若，则或，则原命题的逆命题为假命题，故C不符合题意；
三角形的三边a，b，c满足，则此三角形为直角三角形的逆命题是：
直角三角形的三边分别为a，b，c（c为斜边），则 逆命题为真命题，
故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是逆命题的含义，真假命题的判断，同时考查了算术平方根的含义，菱形的性质，勾股定理及逆定理的含义，两数之积为0则至少有一个为0，掌握以上基础知识是解本题的关键．
13．
【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大．
【详解】如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和，
在菱形中，
为中点，
为中点，
，
当、、、共线时，也为1，
为中点、为中点，
，
在菱形中且，
，，
，，
，
，
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大．
14．2
【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质．熟练掌握菱形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
由菱形，可知平分，由角平分线的性质可知点O到另外一边的距离．
【详解】解：∵菱形，
∴平分，
∵点O在对角线上，点O到的距离为2，
∴点O到另外一边的距离为2，
故答案为：2．
15．②
【分析】根据题意可证明，再由可得，再证明得，进而证明四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】解：∵平分，
∴
若，则有：
∴
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形，
故答案为②．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的关键．
16．/6厘米
【分析】由菱形的周长为，根据菱形的性质，可求得的长，，又由是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段的长．
【详解】解：菱形的周长为，
，，
是的中点，
．
故答案是：．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质，此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
17．AC=BC
【详解】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ACDE，∴四边形ACED为平行四边形，当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故答案为AC=BC．
点睛：本题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ACDE是解题的关键．
18．（1）见解析
（2）四边形ABPF为菱形
【分析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可.
（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案.
【详解】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN.
∵在△ABM和△AFN中，，
∴△ABM≌△AFN（ASA）.
∴AM=AN.
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下：
连接AP，
∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°.
∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形.
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形.
【点睛】本题考查旋转的性质和菱形的判定.熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意结合对顶角相等，直接证明即可；
（2）由（1）可得，根据，证明四边形是平行四边形，由，，证明，即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
（2）证明：△AOE≌△COD
四边形是平行四边形
，
四边形是菱形
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20．见解析
【分析】本题考查菱形的性质．解题关键是熟练掌握菱形对角线性质，角平分线性质．根据菱形对角线平分对角，角平分线上的点到角两边的距离相等解答．
【详解】解：如图，连接，
∵在菱形中，， ， ，
∴．
21．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，又知BE＝DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF从而得到AE＝AF；
（2）连接AC，由已知可知△ABC为等边三角形，已知E是BC的中点，则∠BAE＝∠DAF＝30°，即∠EAF＝60°．因为AE＝AF，所以△AEF为等边三角形．
【详解】(1)由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF;
(2)连接AC，
∵菱形ABCD,∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形,∠BAD=120°,
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一的性质)，
∴∠BAE=30°,同理∠DAF=30°,
∴∠EAF=60°,由(1)可知AE=AF，
∴△AEF为等边三角形.
【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质，全等三角形的判定及等边三角形的判定的理解及运用,灵活运用是关键.
22．(1)见解析；
(2)；
【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
（2）如图，连接AE，交BC于点O，
∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
∴S四边形ACEB．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）8.
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
24．，
【分析】连接，由菱形的性质得出，，，根据题意得出是的中垂线，证出是等边三角形，得出的度数，即可得出其它三个角的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，是的中点，
是的中垂线，
，
即是等边三角形．
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)