2.7正方形同步练习（含解析）

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2.7正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是正方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，是上的一动点，则和的最小值是（ ）

A． B． C．4 D．6
3．如图，正方形的顶点、的坐标分别为，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形和正方形中，三点在同一直线上，点在上．，连接是的中点，连接，那么的长是( )
A． B． C． D．
5．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿斜边上的中线对折后再沿虚线剪开，得到①、②两部分，将①展开后的图形为（ ）
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
7．已知正方形的边长为a，则其面积为（ ）
A．4a B． C． D．a
8．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（ ）
A．30° B．37.5°
C．45° D．50°
10．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．是正方形 B．AB＝CD且AB∥CD C．是矩形 D．AC＝BD且AC⊥BD
11．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，的对角线与相交于点O，且，下列条件：①；②；③；④中，任选一个，能使得为正方形的有 （填序号）．
14．如图为4×4的网格（每个小正方形的边长均为1），请画两个格点正方形（顶点在小正方形顶点处）要求：其中一个边长是有理数，另一个边长是大于3的无理数，并写出其边长，∴边长为 ．∴边长为 ．
15．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为4，中心为O，在正方形外有一点P，OP=4，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最长距离的最小值为 ．
16．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，有下列说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有 ．(填序号)
17．有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形．
正方形的 个角都是直角，四条边都 ．
正方形的对角线 ，并且 ，每条对角线平分一组 ．
正方形既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴．
有一组邻边相等的 是正方形．
有一个角是直角的 是正方形．
三、解答题
18．如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．
(1)旋转中心是点______，旋转了______度；
(2)如果 ，求：四边形的面积．
19．如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点.试说明的理由
20．如图，在中，垂直于，垂足为.
（1）试画出沿射线的方向平移之后的图形，平移距离为线段的长；
（2）上题中平移后得到什么图形，你能从平移中进一步理解等底等高的平行四边形和长方形的面积之间的关系吗？
21．已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
22．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
（1）求的度数．
（2）如图2，E为的中点，连接．
①求证：；
②若正方形边长为12，求线段的长．
23．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；
（2）证明：EF＝BE＋DF
24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
(3)如图3中是不是直角？请说明理由．
《2.7正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A D D B C C D
题号 11 12
答案 A C
1．B
【详解】解：如图，由题意，可得BE与AC交于点P时，PD+PE的和最小．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选B．
2．A
【分析】点关于的对称点为点，连接，则，当，，三点共线时，的和最小为的长度，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：四边形为正方形，边长为，
点关于的对称点为点，，
连接，则，
当，，三点共线时，的和最小为的长度，
连接，
点的坐标为，
，
，
即的和最小值为：
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，熟练掌握正方形的性质，确定P点位置是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加垂线的辅助线，构造全等三角形解决问题．作轴交于点，用全等三角形判定定理推出，得出和的长，即可得出点的坐标．
【详解】解：如图，作轴交于点，
点、的坐标分别为，，
，，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
点的坐标为．
故选：B．
4．A
【分析】如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH即可
【详解】如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P
∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°
∵HM⊥BE
∴四边形PMEN是矩形
∵BC=1，CE=3
∴NE=1，∴FN=2，PM=1
∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点
∴HM是△ANF的中位线
∴HP==1，AP=PN=2
∴CM=1
∴在Rt△CHM中，CH=
故选：A
【点睛】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理．
5．D
【分析】本题考查折叠性质、菱形和正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质是解答的关键．先证明是等腰直角三角形得到，再根据折叠性质得到，进而可证明四边形是菱形，由和正方形的判定可得结论．
【详解】解：如图，

由折叠性质和等腰直角三角形的性质得，又，
∴是等腰直角三角形，则，
由折叠性质得，
∴四边形是菱形，又，
∴四边形是正方形，
故选：D．
6．D
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
7．B
【分析】根据正方形的面积公式可知：S=由此即可找出选择项．
【详解】依题意正方形的面积公式可知S=，
故选B.
【点睛】此题考查正方形的面积公式，解题关键在于掌握其计算公式.
8．C
【分析】由正方形的性质和已知条件可以得到△ADE≌△DCF、△ADE≌△ABG、△ABG≌△DCF，然后根据图形变换的知识可以对各选项的正误作出判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°，
又∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，
∴将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG，故①正确；
将△ABG绕点A旋转可以得到△ADE，故②错误；
将△ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到△DCF，故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关键所在．
9．C
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠AEB=15°，
∴∠BED=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．D
【分析】首先根据题意画出图形，再由四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GFAC，GF=AC，同理可得IGBD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GFAC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IGBD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
【详解】解：如图所示，
四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF＝90°，IE＝EF＝FG＝IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GFAC，GF＝AC，
同理有IGBD，IG＝BD，
∴AC＝BD，
即AC＝BD，
∵GFAC，∠IGF＝90°，
∴∠IHO＝90°，
又∵IGBD，
∴∠BOC＝90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等，即：AC＝BD且AC⊥BD．
故选：D．
【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．
11．A
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接、，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，，，
∴，
在中，，
∵H是的中点，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简．
12．C
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH＝
∴BF+DE最小值为4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能够作出辅助线将线段转化是解题的关键．
13．①或③
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据正方形的判定定理逐一判定即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形，
当∠BAD=90°时，四边形ABCD是正方形，故①符合题意，
当AB=BC时，不能判定四边形ABCD是正方形，故②不符合题意，
当AC=BD时，四边形ABCD是正方形，故③符合题意，
当AB=CD时，不能判定四边形ABCD是正方形，故④不符合题意，
∴能使得为正方形的有①或③，
故答案为：①或③
【点睛】本题考查菱形的判定及正方形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；熟练掌握判定定理是解题关键．
14． 2
【分析】利用勾股定理分别画出边长为无理数和有理数的正方形即可．
【详解】如图所示：
边长为2，边长为，
故答案为：2；．
【点睛】此题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质，勾股定理，无理数，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
15．/
【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD的顶点时，点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA．
【详解】解：如图，OP过顶点A时，点O与这个图上所有点的连线中，OA最大，此时点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA，
∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴∠OAB=∠OBA=45°，OA⊥CB，
∴OA=OB=，
∵OP=4，
∴最小值为PA=4-；
故答案为：4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，理解点到图形的距离是解题的关键．
16．①②③
【分析】根据题意可得四边形AEDF是平行四边形；由∠BAC=90°，得四边形AEDF是矩形；由AD平分∠BAC，得四边形AEDF是菱形；当AD⊥BC且AB=AC时，四边形AEDF是菱形来求解．
【详解】解：∵DE//CA，DF//BA，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，故①符合题意；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAF．
∵DF//BA，
∴∠BAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠DAF，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形，故②符合题意；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴由②可得，四边形AEDF是菱形，故③符合题意，不能判断是正方形，故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定和性质、正方形的判定等知识．理解相关知识是解答关键．
17． 邻边 直角 四 相等 相等 互相垂直平分 对角 中心 轴 四 矩形 菱形
【分析】根据正方形的定义、判定与性质：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴．有一组邻边相等的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．结合平行四边形、菱形、矩形与正方形的联系逐个填写即可得到答案．
【详解】解：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
②正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
③正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
④正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴．
⑤有一组邻边相等的矩形是正方形．
⑥有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：邻边；直角；四；相等；相等；互相垂直平分；对角；中心；轴；四；矩形；菱形．
【点睛】本题考查正方形的定义、判定与性质，熟记正方形的定义、判定与性质是解决问题的关键．
18．(1)A，90
(2)36
【分析】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转中心定义，旋转角定义，旋转性质，是解决问题的关键．
（1）由旋转知，旋转中心是点A，旋转角是，
（2）设正方形边长为x，由旋转知，，，根据，得到，根据，得到．
【详解】（1）解：∵正方形中，，经顺时针旋转后与重合，
∴旋转中心是点A，旋转角是，
故答案为：A，90
（2）解：设正方形边长为x，
由旋转知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．详见解析
【分析】全等三角形是证明两条线段相等的重要方法之一．只要证明，即可得到DE=DF．
【详解】，
.
又，
.
在和中，
.
.
【点睛】证明某两条线段相等，可证明他们所在的三角形全等，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
20．（1）详见解析；（2）长方形，等底等高的平行四边形和长方形的面积相等.
【分析】(1) 由平移距离为线段，可知平移方式为向右平移AD的长度，根据平行四边形的性质可得AD=BC,即平移后B的对应点为C，延长BC至F，使得CF=BE，最后连接DF，CF即可得到所求三角形.
(2)由（1）可得平移后得到的四边形为长方形,即可到等底等高的平行四边形和长方形面积相等.
【详解】解：（1）如图：
（2）长方形，等底等高的平行四边形和长方形的面积相等.理由如下：
由（1）得BE=CF,BF∥AD,AD=BC
∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD
∴四边形AEFD是平行四边形
又∵BE⊥AD
∴四边形AEFD长方形
∵EF=BC,AE=AE
∴AE·BC=EF·AE
∴等底等高的平行四边形和长方形的面积相等
【点睛】本题考查了平移的性质，结合平移过程灵活运用平移性质是解答本题的关键.
21．（1）见解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面积最大为
【分析】（1）连接，，由、、、分别是，，，的中点可得，，，又，得，即结论得证；
（2）①过点作延长线于，根据证，得出，根据勾股定理求出，设，则，再利用勾股定理求出即可；
②延长交延长线于，由①知，同理可证，则菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积，得出关于的关系式即可得出最大时菱形面积最大，当与重合时有最大值，求出此时的值即可．
【详解】解：（1）连接，，
、、、分别是，，，的中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作延长线于，
，，
，
又，，
，
，
，
设，则，
，
，
即，
解得，
故；
②如图2，延长交延长线于，
由已知可得，四边形是矩形，
由①知，
同理可证，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积，
，
即，
，
，，，，
，
，
当取最大值时菱形面积最大，
当与重合时有最大值，即取到最大值，
此时，
，
当时，菱形面积最大为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
22．（1）45°；（2）①见解析，②4
【分析】（1）先由折叠的性质，得到，，，再结合正方形的性质，可得，，，进而证明，，以及，最后根据，，，可得．
（2）①由折叠的性质，可得，，根据E为的中点，可得，即，，最后由，推导出，进而得到；②由（1）中的结论，，在中用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵沿折叠得到，
∴由折叠的性质可知，，，，
∵正方形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，延长交于G，
∴．
∵，，
∴在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴．
（2）①证明：由折叠知，，，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∴．
②解：由（1）得，，
∴，
设，则，
∵正方形边长为12，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
∵，正方形边长为12，
∴．
∵正方形，
∴，
∴在中，
由勾股定理得：，
∵，，，
∴，解得，
所以线段的长为4．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质以及勾股定理的应用，在图形中找到相关等量关系是解题的关键．
23．（1）DF；（2）见解析
【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法；
（2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠GAB+∠EAB=45°，
∴∠GAE=∠EAF =45°，
在△AGE和△AFE中0
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴GE=EF，
∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型．
24．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)是直角
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，正方形的性质．解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度．
（1）根据面积为10的正方形的边长为结合勾股定理和正方形的性质画图即可；
（2）由勾股定理画图即可；
（3）由勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】（1）解：面积为10的正方形的边长为，
∵，
∴如图1所示的四边形即为所求；
（2）解：∵，，
∴如图2所示的三角形即为所求；
（3）解：是直角，理由如下：
如图3： ，
，
，
∵，即，
∴为直角三角形，且．
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