4.1函数和它的表示法同步练习（含解析）

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4.1函数和它的表示法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知x=3﹣k，y=2+k，则y与x的关系是（　　）
A．y=x﹣5 B．x+y=1 C．x﹣y=1 D．x+y=5
2．已知A，B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离(千米)与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示．由图中的信息知，乙到达A地的时刻为(　　)

A．8：30 B．8：35 C．8：40 D．8：45
3．下列图象不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图象不能反映y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在动画片《喜羊羊与灰太狼》中，有一次灰太狼追赶懒羊羊，在距离羊村米处的地方追上了懒羊羊，如图反映了这一过程，其中表示与羊村的距离表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（ ）
A．一开始懒羊羊与灰太狼之间的距离是米 B．秒后灰太狼追上了懒羊羊
C．灰太狼跑了米追上懒羊羊 D．灰太狼追上懒羊羊时，懒羊羊跑了米
6．甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ）
A．甲车行驶到距城240km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300km
C．乙车的平均速度是80km/h
D．甲车比乙车早到B城
7．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是（　　）．
A．当h=50cm时，t=1.89s
B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
C．h每增加10cm，t减小1.23s
D．随着h逐渐升高，小车的速度逐渐加快
8．如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（ ）
A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2
C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
9．对于圆的面积S与半径r的关系式，下列说法正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．S是常量
10．下列说法错误的是（ ）
A．变量是变量的函数；
B．变量是变量的函数；
C．当速度一定时，路程与时间成正比例；
D．当三角形的一边长一定时，它的面积与这边上的高成反比例．
11．假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量
12．你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A．温度 B．化学物质活性 C．电池 D．电瓶车
二、填空题
13．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为 ．
14．在函数中，自变量的取值范围是 ．
15．某公交车每月的利润y（元）与乘客人数x（人）之间的函数关系式为，为使该公交车每月不亏损，则每月乘客量x应满足的条件是 ．
16．函数，当时，函数值 ．
17．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是 ，自变量x的取值范围是 ．
三、解答题
18．下表是佳佳往朋友家打长途电话的几次收费记载:
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)你能帮佳佳预测一下,如果她打电话用时间是10分钟,则需付多少电话费
19．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；
（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（元） -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 ……
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；(填中文)
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为_______元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达_______人．
20．已知一个长方形的长是，宽是，周长是，面积是．
(1)长方形的周长与长之间的关系式是什么？
(2)长方形的面积与长之间的关系式是什么？
21．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：
（1）当所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度是 ；
（2）在弹性限度内如果所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（3）当所挂物体的质量为5.5kg时，请求出弹簧的长度；
（4）如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
22．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为　　千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
23．数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______；
x … 0 2 4 5 …
y … m 0 1 3 4 4 3 2 …
(3)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______；
(4)画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
24．设表示周长比小的正方形的面积，求：
(1)y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(2)当时函数y的值．
《4.1函数和它的表示法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C D D C D C D
题号 11 12
答案 A A
1．D
【详解】∵x=3﹣k，y=2+k，
∴x+y=3﹣k+2+k=5．
故选D．
2．C
【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5-）小时，所以乙的速度为：2÷，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案．
【详解】因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5-）小时，
所以乙的速度为：2÷=12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12=（时）=20分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的应用．做题过程中应根据实际情况和具体数据进行分析．本题应注意乙用的时间和具体时间之间的关联．
3．D
【分析】根据函数的概念即可求出答案，即对于每个自变量x的值，函数y都有唯一确定的值与其对应．函数的概念反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，故选项错误；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，故选项错误；
C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，故选项错误；
D、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义及图象，难度适中，重点理解掌握“对于每个自变量x的值，函数y都有唯一确定的值与其对应”这句话，是解题的关键．
4．C
【详解】解：A．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意；
B．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，；不符合题意
C．当x取一值时，y没有唯一与它对应的值，y不是x的函数，符合题意；
D．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意．
故选C．
5．D
【分析】结合横轴与纵轴表示的数据，根据图象分析即可求解．
【详解】解：A、由纵坐标看出，一开始懒羊羊与灰太狼之间的距离是30米，故A正确；
B、由横坐标看出，15秒后灰太狼追上了懒羊羊，故B正确；
C、有纵坐标看出，灰太狼跑了60米追上懒羊羊，故C正确；
D、由纵坐标看出，灰太狼追上懒羊羊时懒羊羊跑了30米，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
6．D
【分析】根据函数图象即可判断．
【详解】由图象可知，A城与B城的距离是300km，故B选项正确；
甲车的速度，，
甲车行驶到距城240km处，被乙车追上，故A选项正确；
乙车的速度，故C选项正确；
乙车比甲车先到达B城，故D选项不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．C
【详解】A．当h=50cm时，t=1.89s，故不符合题意；
B．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故不符合题意；
C．h每增加10cm，t减小的值不一定，故符合题意错；
D．随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故不符合题意；
故选C．
8．D
【详解】试题分析：根据函数图象可得y的最大值为3，最小值为0，则y的取值范围为：0≤y≤3．
考点：函数图象的性质．
9．C
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解．
【详解】解：A、2是常量，故选项错误，不符合题意；
B、是常量，故选项错误，不符合题意；
C、是变量，故选项正确，符合题意；
D、S是变量，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】本题考查函数的概念，成反比例和正比例的定义等知识，利用相关知识点对各选项逐项判定即可．
【详解】解：A、当变量的值确定时，变量也唯一，故变量是变量的函数，此选项正确，不符合题意；
B、当变量的值确定时，变量也唯一，故变量是变量的函数，此选项正确，不符合题意；
C、当速度一定时，路程与时间的比值不变，即路程与时间成正比例，此选项正确，不符合题意；
D、当三角形的一边长一定时，它的面积与这边上的高之比是这边长的一半，比值为定值，即它的面积与这边上的高成正比例，此选项错误，符合题意．
故选：D．
11．A
【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量．
【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量，
故选：．
12．A
【分析】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答．
【详解】解：自变量是温度，因变量是化学物质的活性．
故选：A．
13．
【分析】根据的面积变化找到P点的速度与长方形的边长之间的关系，当三角形面积不变时，P点位于DC上，由此即可解答．
【详解】由图像结合三角形面积变化，在3s~7s间，三角形面积不变，
则点P点位于DC上，
（cm）
从7s后三角形面积开始变化，
（cm）
长方形ABCD的面积为：S=68=
故答案为:
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据函数图像的变化规律求出矩形边长是关键．
14．
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得．
故答案为：．
15．且x为整数
【分析】本题考查求函数的自变量取值范围，根据每月不亏损列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：∵乘客人数x（人），，公交车每月不亏损，
∴且x为整数，
解得：且x为整数，
故答案为：且x为整数．
16．1
【分析】把代入即可得到答案．
【详解】解：函数，当时，
函数值，
故答案为：1
【点睛】此题考查了函数值，熟练正确进行计算是解题的关键．
17． /
【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的三边关系定理、函数，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的周长公式、三角形的三边关系定理即可得．
【详解】由题意得：，
得：，
即y与x之间的函数关系式是；
由三角形的三边关系定理得：，即，
解得，
故答案为：，．
18．(1)反映了时间与电话费之间的关系.时间,电话费；(2)6元.
【分析】（1）根据函数的定义可知，通话时间是自变量，电话费是因变量；
（2）观察图表中的数据，1分钟0.6，两分钟1.2，相差0.6，可知成等差数列，从而求解．
【详解】（1）通话时间与电话费；其中通话时间是自变量，电话费是因变量；
（2）设时间为x，电话费为y，则有y=0.6x，
∴当x=10时，y=6元．
19．（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000；（3）3000；（4）4500．
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析即可得答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
【详解】（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
（2）∵观察表中数据可知，当每月乘客量达到2000人以上时，每月利润为0，
∴每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴若5月份想获得利润5000元，5月份的乘客量需达4500人．
【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形周长公式，即可表示周长与长之间的关系式．
（2）根据长方形面积公式，即可表示面积与长之间的关系式．
【详解】（1）解：，即
（2）解：
【点睛】本题考查了求两个变量之间的关系式，正确运用长方形周长与面积公式，是解题的关键，同时要注意代数式的正确书写．
21．（1）13.5（2）y＝0.5x＋12（3）14.75cm（4）16kg
【分析】（1）由表格可得所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度；
（2）由表可知弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，故可求出弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式；
（3）令x＝10时，求出y的值即可；
（4）令y＝20时，求出x的值即可．
【详解】（1）由表可知当所挂物体的质量为3kg时，弹簧的长度是13.5，
故答案为：13.5；
（2）由表可知：弹簧原长为12cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长0.5cm，
∴弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x＋12，
（3）当x＝5.5kg时，代入y＝0.5x＋12，
解得y＝14.75cm，
即弹簧总长为14.75cm．
（4）当y＝20cm时，代入y＝0.5x＋12，
解得x＝16，
即所挂物体的质量为16kg．
【点睛】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
22．(1)150
(2)点M代表的实际意义是乙到达C的时间
(3)甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米
【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间；
（3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求．
【详解】（1）解：由图象可知AC=60，BC=90，
∴A、B两地距离为60+90=150km；
∴A、B两地距离为150千米；
故答案为：150．
（2）解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间．
（3）解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90，
∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)，
乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)，
设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得
(60+75)x=150
解得x=；
由图像知已到达C的距离为90千米，那么
他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)．
∴他们的相遇点与点C的距离为千米．
【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解．
23．(1)
(2)
(3)画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(4)时，x的取值范围是或
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案；
（4）根据图象，可得答案．
【详解】（1）解：当时，分母都不为0，
故答案为：；
（2）解：当时，，
故答案为：；
（3）解：画出函数的图象如图：
；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
（4）解：画出函数的图象，如上图，
观察图象，时，x的取值范围或．
【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）先求得正方形的边长，根据正方形面积列出函数关系，根据边长的范围求得的取值范围；
（2）将代入解析式，即可求解．
【详解】（1）正方形的边长为：，
∴，
∵，
解得，
∴；
（2）当时，．
【点睛】本题考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，求函数值，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
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