4.2概率及其计算同步练习（含解析）

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4.2概率及其计算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．布袋中有除颜色外完全相同的5个红球，2个黄球，3个白球，从布袋中同时随机摸出两个球都是红球的概率为（　　　）
A． B． C． D．
2．在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B． C． D．
3．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽一项,从50米,50×2米,100米中随机抽一项,恰好抽中实心球和50米的概率是( )
A． B． C． D．
6．从2，5，3，6，4这5个数中随机抽取一个，恰好为2的倍数的概率为（　　　）
A． B． C． D．
7．有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（　　　）
A． B． C． D．
8．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．设计方案，推断车牌号的末位数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是(　　)
A． B． C． D．
11．如图所示，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）

A． B． C． D．
12．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为
A． B． C． D．
二、填空题
13．当试验的结果有很多并且各种结果发生的可能性相同时，我们可以用 的方式得出概率．
14．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 个．
15．如图，已知的两条直径，互相垂直，和所对的圆心角都为，且．现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在和所围封闭区域内的概率为，针尖落在内的概率为，则 ．
16．若从10~99这连续90个正整数中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等，则选出的数其十位数字与个位数字的和为9的概率是 ．
17．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．
三、解答题
18．某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．你认为这个规则公平吗？请说明理由．
19．落实“双减”政策，丰富课后服务，为了发展学生兴趣特长，梁鄂中学七年级准备开设（窗花剪纸）、（书法绘画）、（中华武术）、（校园舞蹈）四门选修课程（每位学生必须且只选其中一门），甲、乙两位同学分别随机选择其中一门选修课程参加学习．用列表法或画树状图法求：
（1）甲、乙都选择（窗花剪纸）课程的概率；
（2）甲、乙选择同一门课程的概率．
20．端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得玩具熊、童话书、水彩笔．小明和妈妈购买了125元的商品，请你回答下列问题：
(1)小明获得奖品的概率是多少？
(2)小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少？
21．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
22．2022年2月4日，24届冬季奥林匹克运动会在北京开幕，北京某高校大学生积极参与志愿者活动，奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整 的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)该校参加志愿者活动的大学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，安保对应的圆心角为______度；
(3)小文和小芳是4名展示志愿者中的其中两位，奥组委决定在该校4名展示志愿者中任选2人参加北京冬季奥运会开幕式，请用列表法或树状图，求小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率．
23．某沿海城市将进行旧城改造,该市地区面积约占40%,其余为郊区, 计划将城区面积的40%建成“公寓式”住宅,面积占城区30% 的工厂迁至北部郊区的荒废地带,其余均为商业区,而郊区的北部已有工厂占郊区面积的20%,南部沿海一带将被开发为别墅区占20%,原占地40%农田不变.当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时,任意点击一下鼠标,则被点击点是下列位置的概率是多少
(1)别墅区， (2)居住区， (3)商业区 ，(4)工业区
24．现有，两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有1个白球，2个红球；袋装有1个红球，2个白球．
（1）将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
（2）小王和小周商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中各随机摸出一个球，摸出的这两个球，若颜色相同，则小王获胜；若颜色不同，则小周获胜．请利用概率说明这个游戏规则是否公平．
《4.2概率及其计算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D C C D D B D
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】分两步进行，第一步来摸球一共10球摸出一个共10种，再从剩下9个球再摸一个，所有情况有10×9种情况，按同样的方法摸红球，用概率公式计算，两次摸出红球情况除以所有情况即可．
【详解】由题可得：第一次描出10球之一共有十种，再从剩下的9个球中摸出一个球有9种情况，一共有10×9=90种情况，其中第一次描出5个红球之一共有5种，再从剩下的4个红球中摸出一个球，两个球都是红球的有5×4=20种情况，
因此摸出的两球都是红球的概率是=．
故选择：A．
【点睛】本题考查概率问题，掌握概率的概念与公式，会用树状图的思想分步解决所有情况，第一层有10个球即10种情况，画10个分支，第二层还有9个球即9种情况，在每个分支的基础上再画9个小分支故可知所有情况是解题关键．
2．C
【详解】能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为： .
故答案为C
点睛：让填上“＋”或“－”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.
此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.
3．C
【分析】列举出所有情况，找出和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，有10组：1＋2，1＋3，1＋4，1＋5，2＋3，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋5，
和为偶数的有4组：1＋3， 1＋5， 2＋4， 3＋5，
∴和为偶数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查列举法求概率，采用列举法求概率解题的关键是找出所有存在的情况，涉及到概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．D
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴，
设三角形的边长是a，
∴，
∵是内切圆，
∴，，
∴，
则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，
因此概率=．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率，正三角形的内切圆，用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．
5．C
【分析】首先画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果与恰好抽中实心球和50米的情况，利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，恰好抽中实心球和50米的有1种情况，
∴恰好抽中实心球和50米的概率是：.
故选C.
【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于画出树状图.
6．C
【分析】从5个数中，找出恰好为2的倍数的数的个数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【详解】解：在2，5，3，6，4这5个数中，恰好为2的倍数的数有2，6，4，共3个数，
则恰好为2的倍数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率的计算，以及2的倍数的数的性质，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
7．D
【分析】首先画树状图得出所有等可能结果，然后从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为“天”、“空”的有2种结果，
恰为“天”、“空”的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．D
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果，
∴所求的概率是，
故选D．
【点睛】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．
9．B
【分析】本题考查了简单概率的计算，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．根据概率计算即可．
【详解】解：∵末尾数可能是奇数1，3，5，7，9，也可能是偶数2，4，6，8，0，各有5个，
∴车牌号的末位数是偶数的概率为，
故选B．
10．D
【详解】列表得：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由表格可知，总共出现的等可能结果有36种，两次点数相同的结果有6种，两次点数相同的概率为.故选D.
11．C
【分析】画树状图找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【详解】解：画树状图，如图所示：

一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种，
则P（能让两盏灯泡同时发光）．
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
12．C
【详解】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，4个球，白球记为1、2黑球记为3、4，画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的只有4种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是．故选C．
13．P(A)=
【详解】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率故答案为
14．
【分析】设白球有个，根据摸到红球的概率为 列出方程，求出x的值即可．
【详解】解：设白球有x个，根据题意得：
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的基本计算，根据题意列出方程就可以得出答案．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】根据扇形面积公式计算出和所围成的封闭区域的面积，根据圆的面积计算公式算出⊙O的面积，根据概率的意义和公式分别计算出为P1和P2，然后计算即可．
【详解】解：设⊙O的半径为r，则和所在圆的半径为2r，
∴和所围封闭区域的面积 ，
⊙O的面积，
记针尖落在和所围封闭区域内的概率为，针尖落在内的概率为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积计算公式和圆的面积计算公式，以及概率的意义和计算方法，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据面积计算公式，分别求出各部分的面积.
16．
【分析】找出中十位数字与个位数字的和为9的数：18，27，36，45，54，63，72，81，90，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：在90个正整数中，十位数字与个位数字的和为9数有：18，27，36，45，54，63，72，81，90，共有9种结果，
所以选出的数其十位数字与个位数字的和为9的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，先列举出所有等可能的结果，然后找出某事件出现的结果数，最后计算．
17．
【分析】
【详解】∵袋子中共有8个球，其中红球有3个，
∴任意摸出一球，摸到红球的概率．
故答案为：
18．这个游戏对双方是公平
【详解】试题分析：（1）用列表法（或树状图法）将所有等可能的结果一一列举出来即可，求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．
试题解析：
画树状图：
，
则P(和为奇数)＝＝，
P(和为偶数)＝＝，
P(小明)＝P(小亮)，
故这个游戏对双方是公平.　
点睛：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，游戏是否公平，主要看两方获胜的概率是否相等，若相等，则游戏公平，若不相等，游戏不公平.
19．（1） ；（2）
【分析】（1）由题意先用列表法得出所有等可能的结果数，进而用甲、乙都选择（窗花剪纸）课程的情况数除以所有等可能的结果数即可；
（2）由题意直接用甲、乙选择同一门课程的情况数除以所有等可能的结果数即可.
【详解】解：（1）由题意列表，
A B C D
A A,A A,B A,C A,D
B B,A B,B B,C B,D
C C,A C,B C,C C,D
D D,A D,B D,C D,D
由图表可知共有16种等可能的情况数，其中甲、乙都选择（窗花剪纸）课程的情况数为1种，
所以甲、乙都选择（窗花剪纸）课程的概率为.
（2）由（1）图表可知共有16种等可能的情况数，其中甲、乙选择同一门课程的情况数为4种，
所以甲、乙选择同一门课程的概率为.
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求概率，正确列表和画出树状图是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1） （2）
【分析】（1）直接利用有颜色部分占6份，除以总数得出答案；
（2）分别利用红色、黄色、绿色部分分别占1份、2份、3份，进而利用概率公式求出答案．
【详解】(1)∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，
∴P(获得奖品)＝＝.
(2)∵转盘被平均分成16份，其中红色、黄色、绿色部分分别占1份、2份、3份，
∴P(获得玩具熊)＝，
P(获得童话书)＝＝，
P(获得水彩笔)＝.
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率公式的意义是解题关键．
21．（1）两数和共有12种等可能结果；（2） 李燕获胜的概率为；刘凯获胜的概率为．
【分析】（1）根据题意列表，把每一种情况列举；
（2）按照（1）中的表格数据，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种,可计算二人获胜概率．
【详解】（1）根据题意列表如下：
6 7 8 9
3 9 10 11 12
4 10 11 12 13
5 11 12 13 14
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴李燕获胜的概率为 ，
刘凯获胜的概率为．
22．(1)40，把条形统计图补充完整见解析
(2)10，144
(3)小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率为
【分析】（1）由运行的人数除以所占百分比得出该校参加志愿者活动的大学生共有人数，即可解决问题；
（2）由展示的人数除以参加的总人数得出m的值，再由360°乘以安保所占的比例即可；
（3）列表得出共有12种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有2种情况，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）该校参加志愿者活动的大学生共有：（人），
则联络的人数为：（人），
故答案为：40，
把条形统计图补充完整如下：
（2）扇形统计图中，展示所占的百分比为：，
∴，
安保对应的圆心角为：，
故答案为：10，144；
（3）解：根据题意列表如下：
小文 小芳 志愿3 志愿4
小文 （小芳，小文） （志愿3，小文） （志愿4，小文）
小芳 （小文，小芳） （志愿3，小芳） （志愿4，小芳）
志愿3 （小文，志愿3） （小芳，志愿3） （志愿4，志愿3）
志愿4 （小文，志愿4） （小芳，志愿4） （志愿3，志愿4）
共有12种等可能的情况，其中小文和小芳同时被选中参加开幕式的有2种情况，
∴小文和小芳同时被选中参加开幕式的概率为：．
【点睛】本题考查的是用列表法法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）0.12，（2）0.28，（3）0.24，（4）0.24
【详解】试题分析：设该市总面积为m,则城区面积为m·40%,郊区面积为m·60%,由已知项: 城区住宅占m·40%·40%,城区商业区占m·40%·60%,郊区农田占m·60%·40%,郊区别墅占m·60%·20%,郊区工业区占m·40%·30%+m·60%·20%，再根据概率公式即可得到结果.
设该市总面积为m，由题意得
(1)P(别墅区)==0.12，
(2)P(居住区)==0.28，
(3)P(商业区)==0.24，
(4)P(工业区)==0.24.
考点：本题考查的是概率公式
点评：解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率
24．（1）；（2）这个游戏规则是不公平．
【分析】（1）用A袋中红球个数÷A袋中总球数即可；
（2）（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，则P（颜色不相同），P（颜色相同），因此这个游戏规则对双方不公平．
【详解】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出红球的结果有2种，
∴P（摸出红球）；
（2）根据题意，画出树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种．
所以（颜色相同）；（颜色不同）．
∵，
∴这个游戏规则是不公平．
【点睛】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
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