4.3用频率估计概率同步练习（含解析）

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4.3用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
2．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
3．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了了解该图案的面积是多少，我们采取了以下办法：用一个长为a，宽为b的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），现将若干次有效实验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．a2 B．ab C．b2 D．ab
4．做“用频率估计概率”的试验时，根据某一结果出现的频率绘制成统计图（如图所示），则该试验最有可能的是（ ）
A．在玩“剪刀、石头布”的游戏中，小莉随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，结果向上一面的点数是3
C．某学校初中部三个年级的学生数相同，从中任选一名学生，结果是九年级学生
D．从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球
5．在一个不透明的布袋中装有50个黄、红两种颜色的球，除颜色外，其他都相同，琪琪每次从中摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀再摸,通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中红球可能有则布袋中红球可能有（ ）
A．10个 B．15个 C．20个 D．30个
6．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3
D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球
7．某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　）
A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒
8．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
9．100个白色乒乓球中有20个被染红，随机抽取20个球，下列结论正确的是（　　）
A．红球一定刚好4个 B．红球不可能少于4个 C．红球可能多于4个 D．抽到的白球一定比红球多
10．某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有五种，抽样调查的统计结果如图： 那么下列说法不正确的是（ ）
A．选择型养老的频率是 B．选择养老模式的人数最多
C．估计当地个老年人中有人选择型养老 D．样本容量是
11．一个不透明的袋子中有1个红球，1个绿球和个白球， 这些球除颜外都相同． 从袋中随机摸出一个球， 记录其颜色， 然后放回． 大量重复该实验， 发现摸到绿球的频率稳定于， 则白球的个数的值可能是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（　　）
A．6 B．10 C．18 D．20
二、填空题
13．口袋内装有红球、白球和黑球共100个，这些球除颜色外，其余都完全相同．将袋中的球摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色，放回，摇匀，再摸球，…，经过大量的摸球，发现摸出红球的频率稳定在0.2，摸出白球的频率稳定在0.5，由此可知，袋中黑球的个数约是 个．
14．乌鲁木齐市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为 ．
15．在一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近，则估计袋子中的红球有 个．
16．生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 只．
17．判断一个游戏是否公平，关键看参加双方获胜的可能性是否相等．若 ，则公平；若 ，则不公平．
三、解答题
18．一个硬币抛起后落地时“正面朝上”的概率有多大？
(1)写出你的猜测；
(2)一位同学在做这个试验时说：“我只做了10次试验就得到了正面朝上的概率约为30％.”你认为他说的对吗？为什么？
(3)还有一位同学在做这个试验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个试验，你认为他的做法科学吗？为什么？
19．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同．王颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 480 600 1800
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为　 　；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
20．为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
射门次数n（次） 10 50 100 200 500 800 1000
射中次数m（次） 7 37 75 142 365 576 720
射中频率
(1)请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到）．
(2)已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
21．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.
(1)填空：样本容量为___，a=___；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.
22．（1）自制一个长方体盒子，各面依次写上数字1，2，3，4，5，6，从一定高度掷下，落地后，写有1的一面朝上的概率是吗？通过试验的方法验证你的判断；
（2）利用试验数据，你还能估计哪些事件发生的概率？
23．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
24．某市“半程马拉松”的赛事共有两项：A“半程马拉松”、B“欢乐跑”。小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组
(1)小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为 ；
(2)为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数 20 50 100 200 500
参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356
参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712
①估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 ；（精确到0.1）
②若参加“欢乐跑”的人数大约有300人，估计本次参赛选手的人数是多少？
《4.3用频率估计概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B D C D D C C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是，A不合题意；
当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，D不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，
故红球的个数为40×15%=6（个）．
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，
∵用一个长为a，宽为b的长方形
∴长方形面积为abm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：＝0.35，解得x＝ab．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
4．B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【详解】A项，在“石头 ：剪刀布”的游戏中，小莉随机出的是“剪刀”的概率为，故A项错误；
B项，掷一个质地均匀的正六面体骰子，结果向上一面的点数是3的概率为，故B项试验的概率最符合题中的频率统计图；
C项，某学校初中部三个年级的学生数相同，从中任选一名初中学生，结果是九年级学生的概率为，故C项错误；
D项，从只有颜色不同且仅有一个红球和两个黄球的袋中任取一球是黄球的概率为，故D项错误.
故选B.
【点睛】此题考查频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，解题关键在于根据图象信息得到概率P≈0.17.
5．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率，根据摸到红球的频率，可以得到摸到红球的概率为，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，
估计摸到红球的概率为，
红球的个数为（个），
即布袋中红球可能有30个．
故选：D．
6．C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【详解】A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误；
B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故B选项错误；
C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率是≈0.17，故C选项正确；
D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故D选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．D
【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得．
【详解】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒），
故选：D．
【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
8．D
【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率即可作出判断．
【详解】A、朝上的点数是5的概率为，不符合试验的结果；
B、朝上的点数是奇数的概率为，不符合试验的结果；
C、朝上的点数大于2的概率，不符合试验的结果；
D、朝上的点数是3的倍数的概率是，基本符合试验的结果．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率估计概率，当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率．
9．C
【分析】根据被染红的球的可能性求出抽取的红球的可能数量，再对各选项判断即可得解．
【详解】解：由题意得，抽到的红球的数量可能为20×=4个，
所以，抽到的红球可能是4个，也可能多于4个或少于4个，
说法“红球一定刚好4个”，“红球不可能少于4个”，“抽到的白球一定比红球多”都过于武断，不正确．
故选C．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
10．C
【分析】根据统计结果逐项分析即可得到答案.
【详解】A、∵调查的总人数为50+350+200+400+500=1500（人），
∴选择型养老的频率是=，故A正确；
B、根据统计结果知：选择E的养老模式的人数500人最多，故B正确；
C、当地个老年人中选择型养老有=4000（人），故C错误；
D、调查的总人数是1500人，故样本容量是1500，故D正确；
故选：C.
【点睛】此题考查统计图的运用，能正确计算样本容量，部分的数量，部分的频率，能依据样本的概率计算总体的数量，正确理解统计结果进行运算是解题的关键.
11．B
【分析】由大量重复实验，摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率，根据概率公式列式计算即可求得n的数值．
【详解】解:∵大量重复实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查频率估计概率，准确计算是解题的关键．
12．D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
故估计n大约有20个．
故选D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
13．30
【分析】用频率估计概率，先计算出摸出黑球的概率为1-0.2-0.5=0.3，再乘总数计算黑球个数．
【详解】因为摸出红球的频率稳定在0.2，摸出白球的频率稳定在0.5，则
P（摸出红球）=0.2，P（摸出白球）=0.5，
故P（摸出黑球）=1-0.2-0.5=0.3，
则黑球的总数为100×0.3=30（个），
故答案为30．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，要理解其原理，并能进行简单概率计算．
14．0.9
【分析】结合统计图，利用频率去估计概率即可．
【详解】解：由统计图可知，该树苗成活的频率在0.9附近摆动，
∴估计该树苗成活的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．6
【分析】设袋子中的红球有n个，根据频率公式列方程求解即可
【详解】解：设袋子中的红球有n个，
根据题意的：，
解得：n=6，
经检验，n=6是所列方程的解，
故袋子中的红球有6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查频率，熟练掌握频率计算公式是解答的关键．
16．10000
【分析】由题意可知：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答．
【详解】解：100÷=10000只．
故答案为10000．
【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
17． 可能性相等； 可能性不相等.
【分析】判断游戏公平性需要先计算每个事件的可能性,然后比较可能性的大小, 可能性相等就公平,否则就不公平.
【详解】判断某种游戏是否公平.主要看游戏双方获胜的可能性是否相等.若可能性相等.则游戏公平.否则不公平;
因此，本题正确答案是: 可能性相等、可能性不相等.
【点睛】本题主要考查事件的可能性，熟悉掌握可能性概念是关键.
18．(1) ；(2)不对，理由见解析；(3)不对，理由见解析.
【详解】试题分析：
（1）抛掷一枚硬币，落地时出现“正面朝上”和“反面朝上”的机会是均等的，因此“正面朝上”的概率是50%；
（2）抛掷一枚硬币，落地时出现“正面朝上”的概率是指“随着抛掷次数的增加，出现正面朝上的频率会稳定在一个常数周围，且波动越来越小，这个常数就是这一事件发生的概率”，而这里只抛掷了10次，事件出现的频率与事件的概率之间可能出现较大的差距，不能据此来估计事件发生的概率；
（3）通过做试验的方式来研究某一事件发生的概率的前提是试验条件要稳定，因此这种做法是不对的.
试题解析：
(1)我猜想的概率为；
(2)不对，试验次数较少，事件出现的频率与事件出现的概率有较大差距，不能据此估计事件发生概率；
(3)不对，两个试验的条件不同.
19．（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只
【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数＝球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【详解】（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
（3）黑白球共有20只，
白球为：50×0.6＝30（只），
黑球为：50﹣30＝20（只）．
答：盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
20．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解决问题的关键在于学会估算概率，熟记概率公式．
（1）根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率；
（2）先根据比例关系求出1000次射门中左脚射门次数，再用240除以左脚射门次数即可求解．
【详解】（1）解：据上表，估计该足球小将射中球门的概率为；
故答案为：；
（2）．
答：左脚射中概率为．
21．（1）样本容量为100，a=30;（2）见解析（3）
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于165cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【详解】解：（1）15÷ =100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100-15-35-15-5=30，
所以a%= ×100%=30%，则a=30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于165cm的人数为15+30+35=80，
样本中身高低于165cm的频率为，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
22．（1）不一定，理由见解析；（2）学生可以抛掷一枚图钉的实验来估计落地时针尖朝上的概率（答案不唯一）．
【分析】（1）由长方体盒子长，宽，高不相等可得各面落地的可能性不一定相同，从而可得答案；
（2）可以利用抛掷图钉实验，落地时是针尖朝上还是钉帽朝上，不断增加实验次数，计算针尖朝上的频率，从而可从实验中得出结论.
【详解】解：（1）落地后，写有1的一面朝上的概率不一定是，因为该盒子是长方体，长，宽，高不相等，各面落地的可能性不一定相同；
（2）利用试验数据可以估计很多事件发生的概率，
在进行大量的重复实验时，随着实验次数的增加，一个不确定事件发生的频率会逐渐稳定在某个数值，我们可以用稳定时的频率来估计这个事件发生的概率，
比如：学生可以抛掷一枚图钉的实验来估计落地后针尖朝上的概率．
【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，掌握实验次数足够多的情况下，利用频率来估计概率是解题的关键.
23．（1）；（2）；（3）x=16．
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）画树状图如下：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）==；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴ =0.95，
解得：x=16．
【点睛】本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
24．(1)
(2)；
【分析】（1）结合题意，利用概率公式直接求解即可；
（2）①结合表格信息，根据用频率估计概率的知识可求解；②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人）；
【详解】（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组，
∴小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）由表格中数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为：；
故答案为：；
②参加“欢乐跑”人数的概率约为，总人数约为（人），
答：本次参赛选手的人数是人．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题的关键．
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