第二章圆同步练习（含解析）
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第二章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时, 秋千最高处踩板离地面2米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．米 B．2米 C．米 D．米
2．如图，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
4．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
5．如图，已知AT切⊙O于点T，点B在⊙O上，且，连接AB并延长交⊙O于点C，⊙O的半径为2．设．
①当时，△BOC是等腰直角三角形；
②若，则；
③当时，AB与⊙O相切．以上选项正确的有( )
A．② B．③ C．②③ D．①③
6．下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
12．如图，的弦、交于点E．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是 ．（填序号）
14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为 厘米．
15．中，，以C点为圆心，作半径为r的圆，
则（1）当r满足 时，和直线相离；
（2）当r满足 时，直线相切；
（3）当满足 时，和直线相交．
16．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4．其中正确的有 ．（填序号）
17．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为 .
三、解答题
18．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
19．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；
（2）AE＝CE．
20．如图，以的顶点O为圆心的交于点C、D，且，与相等吗？为什么？
21．如图， A，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点．
(1)在上求作一点，使得最短；
(2)若，求的最小值．
22．AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=，求∠DAC的度数．
23．如图是两个半圆，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
24．如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F．
（1）求的长；
（2）求CF的长．
《第二章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C A D C C B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】根据题意先作辅助线BG⊥AC于G，然后确定AG=1.5，根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，得∠BAG=60°，从而求得∠BAF=120°，最后求出弧长．
【详解】如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E．由题意BE=2，AC=3，CD=0.5,
作BG⊥AC于G，则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5．
由于AB=3，所以在直角三角形ABG中，∠BAG=60°．
根据对称性，知∠BAF=120°．
所以，秋千所荡过的圆弧长是 ，
故选B.
【点睛】本题考查了弧长公式,属于简单题,熟悉弧长公式的内容并且作出图形是解题关键.
2．B
【分析】连接，根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角性质，得出，再根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质、切线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
3．A
【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．
【详解】解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BDDE，故D选项不正确，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
5．C
【分析】连接BT，当△BOC是等腰直角三角形时，即，．又可判断是等边三角形，即可求出，再根据切线的性质可求出，从而由三角形内角和定理求出，从而得出，故①错误；过点A作．由判断①时可知，当时，，，，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，，从而求出，利用勾股定理可求出．再利用勾股定理和等腰直角的三角形的性质可求出，从而即可求出AC的长，判断②正确；如图，连接OA．由可得出，即得出∠AOT=30°，从而可判断OA垂直平分TB，得出∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB．由切线的性质可求出∠ATB=30°，即得出∠OAT=∠OAB=60°，进而可求出∠ABO=90°，即AB与⊙O相切，故③正确；
【详解】如图，连接BT．
当△BOC是等腰直角三角形时，
∴，．
∵，OB=OT，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵AT切⊙O于点T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即当时△BOC是等腰直角三角形，故①错误；
如图，过点A作．
由判断①可知，当时，，，，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，故②正确；
如图，连接OA．
当时，则，
∴∠AOT=30°，
∴OA垂直平分TB，
∴∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB，
又∵AT与⊙O相切，
∴∠ATO=90°，
∴∠ATB=30°，
∴∠OAT=∠OAB=60°，
∴∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠ABO=90°，
∴AB与⊙O相切，故③正确；
综上可知②③正确，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）．
【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中；
（2）、不符合题意，平分的弦不能是直径；
（3）、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧；
（4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线．
故答案为：A．
7．D
【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解： 切 于点 ，
，
又 ，
，
， 分别切 于点 ，，
，
，
．
故选：D
8．C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
9．C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
10．B
【详解】分析：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出，由此可知S阴=S扇形OAC．
详解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC=，
故选B．
点睛：本题考查正多边形与圆、扇形的面积的计算，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．
11．B
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解．
【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
12．C
【分析】利用三角形外角的性质得到，由圆周角定理得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴
∵，，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．①
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对每一项进行分析即可求出正确答案．
【详解】①顶点在圆心的角是圆心角；故本选项正确；
②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；故本选项错误；
③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角不一定相等；故本选项错误；
④在等圆中80°的圆心角和280°的圆心角所对的弦相等圆心角不等，所对的弦可以相等．故本选项错误；
其中正确的是：①
故答案为①．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．
14．12
【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，∴⊙O的直径为12cm，即圆中最长的弦长为12cm．故答案为12．
15．
【分析】过点作，判断半径与的数量关系，即可求解．
【详解】解：过点作，如下图：
由勾股定理得
则，即
∴当时，和直线相离；
当时，直线相切；
当时，直线相交；
故答案为，，
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系判定方法是解题的关键．
16．①②④
【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【详解】连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a＝1：1；故①正确；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；故②正确；
a：b＝：2；故③错误；
T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
17．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18．（1）45；（2）27°；（3）2﹣2
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，
取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
【详解】证明：（1）∵AD＝BC
∴＝
∴－＝－
即＝
∴AB＝CD
（2）连接AC
∵＝
∴∠ACB＝∠DAC
∴AE＝CE
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
20．相等，理由见解析
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出垂直于弦的半径．过O作于E，则OE满足垂径定理得到，然后利用线段的垂直平分线的性质即可得到．
【详解】解：．
理由如下：
如图，过O作于E，
∵是的弦，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作出B关于CD的对称点，连接，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解： 作，交圆于，然后连接，交CD于P点，P就是所求的点；
此时：
（2）延长AO交圆于E，连接．
∵，
∴，
∵∠AOD=80°，B是的中点，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∵AE是圆的直径，
∴， 而
∴直角中，，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键．
22．30°或90°
【分析】过O作OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，根据垂径定理求出AE、AF，解直角三角形求出∠CAB和∠DAB，即可得出答案．
【详解】解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，
∵AC=8，AD=8，
∴由垂径定理得：AE=CE=4，AF=DF=4，
∵AB=16，
∴OA=8，在Rt△AEO中，∠AEO=90°，cos∠CAB= ==，
所以∠CAB=60°，
在Rt△AFO中，∠AFO=90°，
cos∠DAB= ==，
所以∠DAB=30°，
图1中∠DAC=∠CAB+∠DAB=60°+30°=90°；
图2中∠DAC=∠CAB﹣∠DAB=60°﹣30°=30°；
即∠DAC的度数是90°或30°．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆周角定理的应用，用了分类讨论思想，能求出∠CAB和∠DAB是解此题的关键．
23．阴影部分的面积＝π.
【分析】如图，将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，则阴影部分的面积等于半圆环面积．由此即可解答.
【详解】将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．
作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA，∴AE＝AB＝9.
∴阴影部分的面积＝π·OA2－π·OE2＝π(OA2－OE2)＝π·AE2＝π·92＝π.
【点睛】本题考查了圆中求不规则图形的面积，解决本题可将小半圆向右平移，使两个半圆圆心重合，再用大半圆的面积减去小半圆的面积即可求出阴影部分的面积．
24．（1）（2）4cm．
【分析】（1）过A作AD⊥BC，可以构造两种直角三角形，然后根据直角三角形的性质可得AC长，再利用弧长计算公式计算弧CE的长；（2）根据垂径定理可得CF=2CD进而得到答案．
【详解】（1）过A作AD⊥BC，
∵∠B=30°，AB=4cm，
∴AD=2cm，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD=2cm，
∴AC=2cm，
∵∠B=30°，∠C=45°，
∴∠A=105°，
∴=；
（2）∵CD=2cm，
∴CF=4cm．
【点睛】本题考查了弧长的计算，以及垂径定理，解题的关键是掌握弧长计算公式．
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第二章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时, 秋千最高处踩板离地面2米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．米 B．2米 C．米 D．米
2．如图，为的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（ ）
A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断
4．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
5．如图，已知AT切⊙O于点T，点B在⊙O上，且，连接AB并延长交⊙O于点C，⊙O的半径为2．设．
①当时，△BOC是等腰直角三角形；
②若，则；
③当时，AB与⊙O相切．以上选项正确的有( )
A．② B．③ C．②③ D．①③
6．下列语句中，正确的有（ ）
（1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
12．如图，的弦、交于点E．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是 ．（填序号）
14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为 厘米．
15．中，，以C点为圆心，作半径为r的圆，
则（1）当r满足 时，和直线相离；
（2）当r满足 时，直线相切；
（3）当满足 时，和直线相交．
16．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4．其中正确的有 ．（填序号）
17．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为 .
三、解答题
18．（1）【学习心得】
小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
19．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．
求证：（1）AB＝CD；
（2）AE＝CE．
20．如图，以的顶点O为圆心的交于点C、D，且，与相等吗？为什么？
21．如图， A，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点．
(1)在上求作一点，使得最短；
(2)若，求的最小值．
22．AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=，求∠DAC的度数．
23．如图是两个半圆，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
24．如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，以AC长为半径作弧与AB相交于点E，与BC相交于点F．
（1）求的长；
（2）求CF的长．
《第二章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C A D C C B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】根据题意先作辅助线BG⊥AC于G，然后确定AG=1.5，根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，得∠BAG=60°，从而求得∠BAF=120°，最后求出弧长．
【详解】如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E．由题意BE=2，AC=3，CD=0.5,
作BG⊥AC于G，则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5．
由于AB=3，所以在直角三角形ABG中，∠BAG=60°．
根据对称性，知∠BAF=120°．
所以，秋千所荡过的圆弧长是 ，
故选B.
【点睛】本题考查了弧长公式,属于简单题,熟悉弧长公式的内容并且作出图形是解题关键.
2．B
【分析】连接，根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角性质，得出，再根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质、切线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
3．A
【分析】分别利用扇形面积公式和圆的面积公式求出两把扇子的扇面面积，然后比较即可．
【详解】解：折扇的扇面面积为为：
圆扇扇面的面积为
∵
∴折扇的扇面面积大．
故选A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的面积公式等知识点，牢记扇形的面积公式是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．
【详解】解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BDDE，故D选项不正确，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
5．C
【分析】连接BT，当△BOC是等腰直角三角形时，即，．又可判断是等边三角形，即可求出，再根据切线的性质可求出，从而由三角形内角和定理求出，从而得出，故①错误；过点A作．由判断①时可知，当时，，，，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，，从而求出，利用勾股定理可求出．再利用勾股定理和等腰直角的三角形的性质可求出，从而即可求出AC的长，判断②正确；如图，连接OA．由可得出，即得出∠AOT=30°，从而可判断OA垂直平分TB，得出∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB．由切线的性质可求出∠ATB=30°，即得出∠OAT=∠OAB=60°，进而可求出∠ABO=90°，即AB与⊙O相切，故③正确；
【详解】如图，连接BT．
当△BOC是等腰直角三角形时，
∴，．
∵，OB=OT，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵AT切⊙O于点T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即当时△BOC是等腰直角三角形，故①错误；
如图，过点A作．
由判断①可知，当时，，，，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，故②正确；
如图，连接OA．
当时，则，
∴∠AOT=30°，
∴OA垂直平分TB，
∴∠AOT=∠AOB=30°，∠OAT=∠OAB，
又∵AT与⊙O相切，
∴∠ATO=90°，
∴∠ATB=30°，
∴∠OAT=∠OAB=60°，
∴∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠ABO=90°，
∴AB与⊙O相切，故③正确；
综上可知②③正确，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）．
【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中；
（2）、不符合题意，平分的弦不能是直径；
（3）、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧；
（4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线．
故答案为：A．
7．D
【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解： 切 于点 ，
，
又 ，
，
， 分别切 于点 ，，
，
，
．
故选：D
8．C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
9．C
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
10．B
【详解】分析：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出，由此可知S阴=S扇形OAC．
详解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC=，
故选B．
点睛：本题考查正多边形与圆、扇形的面积的计算，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．
11．B
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解．
【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
12．C
【分析】利用三角形外角的性质得到，由圆周角定理得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴
∵，，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．①
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对每一项进行分析即可求出正确答案．
【详解】①顶点在圆心的角是圆心角；故本选项正确；
②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；故本选项错误；
③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角不一定相等；故本选项错误；
④在等圆中80°的圆心角和280°的圆心角所对的弦相等圆心角不等，所对的弦可以相等．故本选项错误；
其中正确的是：①
故答案为①．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．
14．12
【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，∴⊙O的直径为12cm，即圆中最长的弦长为12cm．故答案为12．
15．
【分析】过点作，判断半径与的数量关系，即可求解．
【详解】解：过点作，如下图：
由勾股定理得
则，即
∴当时，和直线相离；
当时，直线相切；
当时，直线相交；
故答案为，，
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系判定方法是解题的关键．
16．①②④
【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【详解】连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a＝1：1；故①正确；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；故②正确；
a：b＝：2；故③错误；
T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
17．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18．（1）45；（2）27°；（3）2﹣2
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，
取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝27°，
∴∠BAC＝27°，
（3）如图3，
在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得＝；（2）连接AC，由＝得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.
【详解】证明：（1）∵AD＝BC
∴＝
∴－＝－
即＝
∴AB＝CD
（2）连接AC
∵＝
∴∠ACB＝∠DAC
∴AE＝CE
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.
20．相等，理由见解析
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出垂直于弦的半径．过O作于E，则OE满足垂径定理得到，然后利用线段的垂直平分线的性质即可得到．
【详解】解：．
理由如下：
如图，过O作于E，
∵是的弦，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作出B关于CD的对称点，连接，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解： 作，交圆于，然后连接，交CD于P点，P就是所求的点；
此时：
（2）延长AO交圆于E，连接．
∵，
∴，
∵∠AOD=80°，B是的中点，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∵AE是圆的直径，
∴， 而
∴直角中，，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键．
22．30°或90°
【分析】过O作OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，根据垂径定理求出AE、AF，解直角三角形求出∠CAB和∠DAB，即可得出答案．
【详解】解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥AD于F，
∵AC=8，AD=8，
∴由垂径定理得：AE=CE=4，AF=DF=4，
∵AB=16，
∴OA=8，在Rt△AEO中，∠AEO=90°，cos∠CAB= ==，
所以∠CAB=60°，
在Rt△AFO中，∠AFO=90°，
cos∠DAB= ==，
所以∠DAB=30°，
图1中∠DAC=∠CAB+∠DAB=60°+30°=90°；
图2中∠DAC=∠CAB﹣∠DAB=60°﹣30°=30°；
即∠DAC的度数是90°或30°．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆周角定理的应用，用了分类讨论思想，能求出∠CAB和∠DAB是解此题的关键．
23．阴影部分的面积＝π.
【分析】如图，将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，则阴影部分的面积等于半圆环面积．由此即可解答.
【详解】将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．
作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA，∴AE＝AB＝9.
∴阴影部分的面积＝π·OA2－π·OE2＝π(OA2－OE2)＝π·AE2＝π·92＝π.
【点睛】本题考查了圆中求不规则图形的面积，解决本题可将小半圆向右平移，使两个半圆圆心重合，再用大半圆的面积减去小半圆的面积即可求出阴影部分的面积．
24．（1）（2）4cm．
【分析】（1）过A作AD⊥BC，可以构造两种直角三角形，然后根据直角三角形的性质可得AC长，再利用弧长计算公式计算弧CE的长；（2）根据垂径定理可得CF=2CD进而得到答案．
【详解】（1）过A作AD⊥BC，
∵∠B=30°，AB=4cm，
∴AD=2cm，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD=2cm，
∴AC=2cm，
∵∠B=30°，∠C=45°，
∴∠A=105°，
∴=；
（2）∵CD=2cm，
∴CF=4cm．
【点睛】本题考查了弧长的计算，以及垂径定理，解题的关键是掌握弧长计算公式．
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