1.2二次函数的图像与性质同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2二次函数的图像与性质同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 883.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-18 15:11:57 | ||
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文档简介
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1.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线有最高点，则m的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
6．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
7．二次函数的图象如图，则下列正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而增大
D．当时，取得最大值
9．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
12．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于 D．当时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题
13．对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小.
14．二次函数y=ax2 3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为 .
15．抛物线的顶点坐标为 ．
16．统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn．当函数取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为 ．
17．对于二次函数y＝ax2﹣3x﹣4（a＞0），若自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，所对应的y的值是 ．
三、解答题
18．已知二次函数.
(1)将化成的形式；
(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．
19．已知函数已知函数是关于x的二次函数．是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值及抛物线的对称轴；
(2)当m为何值时，使抛物线在时，y值随x值的增大而增大；
(3)当抛物线有最高点时，画出该函数的图象，写出m的值与最高点坐标，判断抛物线的增减性．
20．已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小. 当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;与y轴交点C 的坐标为_______;=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
21．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
22．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中__________．
… -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
… 3 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 …
(2)根据表格数据，请画出该函数图象．
(3)观察函数图象，写出函数的一条性质________________________________________；
(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程有__________个实数根；
②在（2）的图象所在坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为__________．（精确到0.1）
23．已知二次函数．
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
(2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小；
(3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
24．真实情境：课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a＝－4，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … －4 －2 0 2 4 …
x … * 2 0 －2 －4 …
y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取．x＝－a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
《1.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D D B D D D B
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，
∵，
∴点关于的对称点，
∵，
∴在的右边随的增大而增大，
∵，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小．
2．A
【分析】根据抛物线有最高点，则可知抛物线开口向下，即，求解即可．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，根据题意得出抛物线开口向下，得出是解本题的关键．
3．A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
4．D
【分析】A、将a=1代入原函数解析式，令x=-1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．
【详解】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1，
当x=-1时，y=1+2-1=2，
∴当a=1时，函数图象经过点（-1，2），
∴A选项不符合题意；
B、当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1，
令y=-2x2+4x-1=0，则△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0，
∴当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴B选项不符合题意；
C、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a），
当-1-a＜0时，有a＞-1，
∴C选项不符合题意；
D、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，
∴二次函数图象的对称轴为x=1．
若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5．D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．
【详解】∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
在等腰中，
，则，即．
代入二次函数y＝﹣x2+m得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标．
6．B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
【详解】解：∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
7．D
【分析】利用图象，抛物线开口向下，得；利用对称轴在y轴左侧，得，即可解答.
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴在y轴左侧，；
故选D
【点睛】本题考查根据二次函数图象分析a和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识点是解题关键.
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】A、因为，，所以图象开口向下，选项A说法错误，不符合题意；
B、对称轴为轴，选项B说法错误，不符合题意；
C、当时，随的增大而减小，选项C说法错误，不符合题意；
D、二次函数的图象的顶点坐标为，所以当时，取得最大值，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
9．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
10．B
【分析】根据a＜0，可以确定抛物线开口以及（a﹣2）的正负，进而得出正确答案．
【详解】解：∵a＜0，
∴a﹣2＜0，对称轴直线
∴抛物线开口向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是确定二次函数系数的符号，得出函数图像的大致位置．
11．D
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴符合条件，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线是解题的关键．
12．D
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．x＜-2
【详解】由抛物线解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，由此判断增减性．
解：抛物线y=(x+2)2，可知a=＞0，开口向上，
对称轴x=-2，
∴当x＜-2时，函数值y随x的增大而减小．
故答案为＜-2．
14．x<0或x>3.
【分析】函数值y＜2时，函数图象在直线y=2下方，观察图象与直线y=2的交点坐标，可确定x的范围.
【详解】解ax2－3ax+2=2得，x=0或y=3，
∴抛物线与直线y=2的交点坐标为（0,2）（3,2），
∵开口向下，
∴函数值y＜2的x的取值范围是x＜0或x＞3；
故答案为x＜0或x＞3.
【点睛】本题考查二次函数图象的应用，解题关键在于通过图象找出交点观察图形.
15．
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
16．10.1
【详解】试题分析：根据题意可知“最佳近似值”x是与其他近似值比较，根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，可知x是所有数字的平均数，所以，
x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）÷5=10.1．
17．-4
【分析】先求出抛物线的对称轴，找出x与x1+x2的关系，带入方程中计算即可.
【详解】∵自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴是x=（x1+x2），
∴（x1+x2）＝﹣，则x1+x2=，
则当x取x1+x2时
y＝a×（）2﹣3×﹣4＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点睛】此题重点考查学生对二次函数的值的实际应用能力，掌握对称轴的公式是解题的关键.
18．(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是
(3)＜2
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）利用描点法画出图象；再根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；
（3）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．
【详解】（1）解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1；
（2）解：列表，
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
描点，连线，
图象如图所示：
∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1，
∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是；
（3）解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法，画二次函数的图象，二次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
19．(1)满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线
(2)若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3
(3)最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，画函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
（1）根据二次函数的定义，求出m的值，根据函数的性质求出对称轴即可；
（2）根据二次函数的性质，进行判定即可；
（3）先根据题意得出函数解析式为，然后画出函数图象，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
∴．
当时，抛物线为，对称轴为直线，
当时，抛物线为，对称轴为直线，
∴满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线．
（2）解：由（1）得，若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而增大；
若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而减小，
∴若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3．
（3）解：∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即，
∴，即抛物线为，
画出函数图象，如图所示：
最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小．
20． 1 4 直线x= 小 (1,0) (4,0) (0,4) 正号 x1=1 x2=4 6 x<1或x>4 1 >
【详解】试题分析：根据函数图象可知，抛物线与x轴交于A、B两点，将两点代入函数求得解析式，再根据函数的性质将各小题补充完整．
试题解析：（1）由A（1，0）、B（4，0）代入函数解析式得 ，解得：a=1，c=4，
故答案为1，4；
（2）将解得的函数y=x2-5x+4变形得：y=（x-）2，则对称轴x=，顶点坐标（，）；y=ax2-5x+c
（3）因为a=1>0，所以此二次函数开口向上，有最小值，由（2）可知当x= 时，最小值为 ，
故答案为小、、；
（4）因为抛物线开口向上，对称轴为x= ，所以当x≤时，y随x的增大而减小，当x≥时，y随x的增大而增大，
故答案为x≤、≥；
（5）由图象可知抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）、（4，0）、
当x=0时，y=x2-5x+4=4，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，4）、所以S△ABC==6、S△ABP==，
故答案为（1，0）、（4，0）、（0，4）、6、；
（6）由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＜1或x＞4，
当y<0时，x的取值范围是1＜x＜4，
故答案为x＜1或x＞4、1＜x＜4；
（7）方程x2-5x+4=0中，a=1，b=-5，c=4，∴△=b2-4ac=25-16=9>0，故符号为：正，
解方程x2-5x+4=0得，（x-1）（x-4）=0 ，∴x1=1、x2=4，
故答案为正号、x1=1、x2=4；
（8）当x=6时，y=x2-5x+4=36-30+4=10>0，当x=-2时，y =x2-5x+4=4+10+4=18>0，
故答案为＞、＞．
【点睛】本题全面考查了二次函数的性质，知识点涉及面也较广，属于基础题，解题的关键是要掌握相关的知识，同学们应注意好好掌握．
21．（1）；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标，由C与的距离即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数的值都对应的一个整数值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
，
，而，
，
，
∴抛物线的解析式为：，
的对称轴，
又知、两点关于对称轴对称，则
当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，
当时，，
；
（2），
的顶点，
点在上方，
与的距离，
点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值，
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴“整点”的个数：（个）；
故时“整点”的个数为4044个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
22．(1)
(2)见解析
(3)当时，随的增大而增大
(4)①4，②
【分析】（1）直接把代入即可；
（2）描点画出如下函数图象即可；
（3）根据函数图象，函数的性质有：当时，随的增大而增大；函数的最小值为0，（答案不唯一）；
（4）①函数图象与直线有4个交点，即可求解；
②作函数的图象，再根据函数图象的交点位置，即可求解．
【详解】（1）把代入，
得，即．
答案：
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（4）①由函数图象知，函数图象与直线有4个交点，所以对应的方程有4个实数根．
答案：4
②如图，
由图象和表格可知方程的一个正数根约为．
答案：
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
23．(1)它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，，没有最小值
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标以及最值；
（2）首先判定出二次函数的增减性，然后根据求解即可；
（3）根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】（1）∵，
∴它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，
当时，，没有最小值．
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
故当时，．
（3）抛物线可以由抛物线平移得到，其平移方法是将抛物线向下平移6个单位长度．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
24．（1）①当a＝－4时，；②当时，y取得最小值，为－23；（2）合理，理由见解析；（3）正确，当时，y的最大值为
【详解】解：（1）①当a＝－4时，；
②当时，y取得最小值，为16－32－7＝－23；
（2）合理，
∵，且1＞0，∴函数有最小值，
当时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理；
（3）正确，
当x＝－a时，，
∵，且－1＜0，∴y有最大值，当时，y的最大值为．
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1.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线有最高点，则m的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+m的图象经过边长为的正方形ABCD的三个顶点A、B、C，则m的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
6．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
7．二次函数的图象如图，则下列正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而增大
D．当时，取得最大值
9．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
12．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于 D．当时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题
13．对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小.
14．二次函数y=ax2 3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为 .
15．抛物线的顶点坐标为 ．
16．统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn．当函数取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8．则这次测量的“最佳近似值”为 ．
17．对于二次函数y＝ax2﹣3x﹣4（a＞0），若自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，所对应的y的值是 ．
三、解答题
18．已知二次函数.
(1)将化成的形式；
(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．
19．已知函数已知函数是关于x的二次函数．是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值及抛物线的对称轴；
(2)当m为何值时，使抛物线在时，y值随x值的增大而增大；
(3)当抛物线有最高点时，画出该函数的图象，写出m的值与最高点坐标，判断抛物线的增减性．
20．已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小. 当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;与y轴交点C 的坐标为_______;=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
21．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
22．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中__________．
… -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
… 3 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 …
(2)根据表格数据，请画出该函数图象．
(3)观察函数图象，写出函数的一条性质________________________________________；
(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程有__________个实数根；
②在（2）的图象所在坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为__________．（精确到0.1）
23．已知二次函数．
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
(2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小；
(3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
24．真实情境：课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a＝－4，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a … －4 －2 0 2 4 …
x … * 2 0 －2 －4 …
y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取．x＝－a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
《1.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D D B D D D B
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，
∵，
∴点关于的对称点，
∵，
∴在的右边随的增大而增大，
∵，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小．
2．A
【分析】根据抛物线有最高点，则可知抛物线开口向下，即，求解即可．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，根据题意得出抛物线开口向下，得出是解本题的关键．
3．A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
4．D
【分析】A、将a=1代入原函数解析式，令x=-1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．
【详解】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1，
当x=-1时，y=1+2-1=2，
∴当a=1时，函数图象经过点（-1，2），
∴A选项不符合题意；
B、当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1，
令y=-2x2+4x-1=0，则△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0，
∴当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴B选项不符合题意；
C、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a），
当-1-a＜0时，有a＞-1，
∴C选项不符合题意；
D、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a，
∴二次函数图象的对称轴为x=1．
若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5．D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出点A的坐标即可．
【详解】∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
在等腰中，
，则，即．
代入二次函数y＝﹣x2+m得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和求二次函数解析式，解题关键是熟练运用正方形的性质求出点的坐标．
6．B
【分析】按照二次函数y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴y轴即可求解．
【详解】解：∵y＝x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y轴；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
7．D
【分析】利用图象，抛物线开口向下，得；利用对称轴在y轴左侧，得，即可解答.
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴在y轴左侧，；
故选D
【点睛】本题考查根据二次函数图象分析a和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识点是解题关键.
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】A、因为，，所以图象开口向下，选项A说法错误，不符合题意；
B、对称轴为轴，选项B说法错误，不符合题意；
C、当时，随的增大而减小，选项C说法错误，不符合题意；
D、二次函数的图象的顶点坐标为，所以当时，取得最大值，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
9．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
10．B
【分析】根据a＜0，可以确定抛物线开口以及（a﹣2）的正负，进而得出正确答案．
【详解】解：∵a＜0，
∴a﹣2＜0，对称轴直线
∴抛物线开口向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是确定二次函数系数的符号，得出函数图像的大致位置．
11．D
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴符合条件，
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线是解题的关键．
12．D
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．x＜-2
【详解】由抛物线解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，由此判断增减性．
解：抛物线y=(x+2)2，可知a=＞0，开口向上，
对称轴x=-2，
∴当x＜-2时，函数值y随x的增大而减小．
故答案为＜-2．
14．x<0或x>3.
【分析】函数值y＜2时，函数图象在直线y=2下方，观察图象与直线y=2的交点坐标，可确定x的范围.
【详解】解ax2－3ax+2=2得，x=0或y=3，
∴抛物线与直线y=2的交点坐标为（0,2）（3,2），
∵开口向下，
∴函数值y＜2的x的取值范围是x＜0或x＞3；
故答案为x＜0或x＞3.
【点睛】本题考查二次函数图象的应用，解题关键在于通过图象找出交点观察图形.
15．
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
16．10.1
【详解】试题分析：根据题意可知“最佳近似值”x是与其他近似值比较，根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，可知x是所有数字的平均数，所以，
x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）÷5=10.1．
17．-4
【分析】先求出抛物线的对称轴，找出x与x1+x2的关系，带入方程中计算即可.
【详解】∵自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴是x=（x1+x2），
∴（x1+x2）＝﹣，则x1+x2=，
则当x取x1+x2时
y＝a×（）2﹣3×﹣4＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点睛】此题重点考查学生对二次函数的值的实际应用能力，掌握对称轴的公式是解题的关键.
18．(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是
(3)＜2
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）利用描点法画出图象；再根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；
（3）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．
【详解】（1）解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1；
（2）解：列表，
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
描点，连线，
图象如图所示：
∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1，
∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是；
（3）解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法，画二次函数的图象，二次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
19．(1)满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线
(2)若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3
(3)最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，画函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
（1）根据二次函数的定义，求出m的值，根据函数的性质求出对称轴即可；
（2）根据二次函数的性质，进行判定即可；
（3）先根据题意得出函数解析式为，然后画出函数图象，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
∴．
当时，抛物线为，对称轴为直线，
当时，抛物线为，对称轴为直线，
∴满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线．
（2）解：由（1）得，若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而增大；
若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而减小，
∴若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3．
（3）解：∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即，
∴，即抛物线为，
画出函数图象，如图所示：
最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小．
20． 1 4 直线x= 小 (1,0) (4,0) (0,4) 正号 x1=1 x2=4 6 x<1或x>4 1
【详解】试题分析：根据函数图象可知，抛物线与x轴交于A、B两点，将两点代入函数求得解析式，再根据函数的性质将各小题补充完整．
试题解析：（1）由A（1，0）、B（4，0）代入函数解析式得 ，解得：a=1，c=4，
故答案为1，4；
（2）将解得的函数y=x2-5x+4变形得：y=（x-）2，则对称轴x=，顶点坐标（，）；y=ax2-5x+c
（3）因为a=1>0，所以此二次函数开口向上，有最小值，由（2）可知当x= 时，最小值为 ，
故答案为小、、；
（4）因为抛物线开口向上，对称轴为x= ，所以当x≤时，y随x的增大而减小，当x≥时，y随x的增大而增大，
故答案为x≤、≥；
（5）由图象可知抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）、（4，0）、
当x=0时，y=x2-5x+4=4，所以抛物线与y轴交点坐标为（0，4）、所以S△ABC==6、S△ABP==，
故答案为（1，0）、（4，0）、（0，4）、6、；
（6）由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＜1或x＞4，
当y<0时，x的取值范围是1＜x＜4，
故答案为x＜1或x＞4、1＜x＜4；
（7）方程x2-5x+4=0中，a=1，b=-5，c=4，∴△=b2-4ac=25-16=9>0，故符号为：正，
解方程x2-5x+4=0得，（x-1）（x-4）=0 ，∴x1=1、x2=4，
故答案为正号、x1=1、x2=4；
（8）当x=6时，y=x2-5x+4=36-30+4=10>0，当x=-2时，y =x2-5x+4=4+10+4=18>0，
故答案为＞、＞．
【点睛】本题全面考查了二次函数的性质，知识点涉及面也较广，属于基础题，解题的关键是要掌握相关的知识，同学们应注意好好掌握．
21．（1）；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标，由C与的距离即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数的值都对应的一个整数值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
，
，而，
，
，
∴抛物线的解析式为：，
的对称轴，
又知、两点关于对称轴对称，则
当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，
当时，，
；
（2），
的顶点，
点在上方，
与的距离，
点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值，
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴“整点”的个数：（个）；
故时“整点”的个数为4044个．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题．
22．(1)
(2)见解析
(3)当时，随的增大而增大
(4)①4，②
【分析】（1）直接把代入即可；
（2）描点画出如下函数图象即可；
（3）根据函数图象，函数的性质有：当时，随的增大而增大；函数的最小值为0，（答案不唯一）；
（4）①函数图象与直线有4个交点，即可求解；
②作函数的图象，再根据函数图象的交点位置，即可求解．
【详解】（1）把代入，
得，即．
答案：
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（4）①由函数图象知，函数图象与直线有4个交点，所以对应的方程有4个实数根．
答案：4
②如图，
由图象和表格可知方程的一个正数根约为．
答案：
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
23．(1)它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，，没有最小值
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标以及最值；
（2）首先判定出二次函数的增减性，然后根据求解即可；
（3）根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】（1）∵，
∴它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，
当时，，没有最小值．
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
故当时，．
（3）抛物线可以由抛物线平移得到，其平移方法是将抛物线向下平移6个单位长度．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
24．（1）①当a＝－4时，；②当时，y取得最小值，为－23；（2）合理，理由见解析；（3）正确，当时，y的最大值为
【详解】解：（1）①当a＝－4时，；
②当时，y取得最小值，为16－32－7＝－23；
（2）合理，
∵，且1＞0，∴函数有最小值，
当时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理；
（3）正确，
当x＝－a时，，
∵，且－1＜0，∴y有最大值，当时，y的最大值为．
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