1.3不共线三点确定二次函数的表达式同步练习（含解析）

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1.3不共线三点确定二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，12，20
B．2x2，-12，20
C．2，-12，20
D．2，-12x，20
2．二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线的顶点为，且经过点A关于原点O的对称点，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的与的部分对应值如下表：
… 0 2 6 …
… 2 6 2 …
当时，的值是（ ）
A． B． C．2 D．6
5．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线（是常数），开口向下，过点，且，下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，，当时，直线与该二次函数只有一个公共点，则或；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
以上结论，正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．若二次函数的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或者2 D．无法确定
8．如图所示，抛物线的函数表达式是( )
A． B． C． D．
9．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．-11 B．-2 C．1 D．-5
12．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
二、填空题
13．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为 ．
14．已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数的解析式为 .
15．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式： ．
16．已知抛物线的解析式，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线的解析式为 ．
17．抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）, B（3,0）, C（0,1）三点，则a= , b= , c=
三、解答题
18．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）．
（1）求此二次函数的解析式
（2）设此二次函数的对称轴为直线 l，该图象上的点 P（m，n）在第三象限， 其关于直线 1 的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，若四边形 OAPN 的面积为 20，求 m，n 的值；
（3）在对称轴直线 l 上是否存在一点 D，使△ADC 的周长最短，如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．已知抛物线的图象经过点，过点A作直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
21．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
22．已知下列条件，求二次函数的解析式．
（1）经过(1，0)，(0，2)，(2，3)三点；
（2）图象与x轴一交点为(﹣1，0)，顶点(1，4)．
23．已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标．
24．已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式.
《1.3不共线三点确定二次函数的表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A A D C D B A
题号 11 12
答案 D A
1．C
【详解】∵，
∴二次项系数为2，一次项系数为-12，常数项为20．
故选C．
2．D
【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.
【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.
3．D
【分析】根据题意得抛物线的解析式为，再求得点A关于原点O的对称点的坐标，代入求解即可
【详解】解：∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的解析式为，
∵点A关于原点O的对称点，
∴，
把代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关于原点对称的点的特征，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解二次函数解析式的方法进行计算是解决本题的关键．
4．A
【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可．
【详解】解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得
解得，
∴二次函数解析式为
∴当时，
故选：A
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．
5．A
【分析】设二次函数的图像平移后得到的解析式为：，代入和点，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：二次函数的图像平移后得到的解析式为：，
∵经过点和点
∴
解得
∴二次函数的图像平移后得到的解析式为：
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．D
【分析】根据抛物线开口向下，可确定的符号，根据抛物线的对称轴所在范围可确定的符号；根据待定系数法求出抛物线的解析式可判定直线先抛物线的交点问题；根据抛物线的交点式，一元二次方程根与系数的关系可确定方程是否有实根，由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线（是常数），开口向下，
∴，
∵点，且，即点是抛物线与轴的交点，
∴当时，抛物线的值小于零；当时，抛物线的值小于零；
抛物线的对称轴为，
∵，，
∴，则，
∴，，故结论①正确；
当，抛物线解析式为，即抛物线与轴的交点为，
∵点在抛物线上，
∴，则，
∵抛物线的对称轴为，且，
∴，
∵，
∴，
∴不等式三边同时乘以，
∴，
∴，故结论②正确；
当，时，点的坐标为，且点，
∴，解得，，
∴抛物线解析式为，
当时，直线与该二次函数只有一个公共点，
∴，整理得，，
∴，即；
在抛物线中，函数的顶点坐标为，当时，；当时，；
当时，在直线中，当时，，则；当时，在直线上，则，
∴综上所示，当时，直线与该二次函数只有一个公共点，则或，故结论③正确；
∵抛物线（是常数），开口向下，过点，
∴设抛物线的解析式为，整理得，，
方程变形得，，
∴，
∵，则，且，
∴，则，
∴，
∴当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，二次函数与一次函数图像的交点坐标的计算方法，根据与系数的关系等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意将点代入解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图像经过原点，
∴，
解得0或者2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入解析式计算是解题的关键．
8．D
【分析】利用待定系数法求得函数表达式，即可得到正确的结论．
【详解】解：由图可得函数图像过点（-2，0），（4，0），（0，4），
设函数表达式为y=a(x+2)(x-4)，
把（0，4）代入得4=a(0+2)(0-4)，
解得：a=-，
∴函数表达式为y=- (x+2)(x-4)= ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
9．B
【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】①，
，
，
无论取何值，总是负数，
故①正确；
②抛物线与抛物线交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，
故②正确；
③，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，
，
由③可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．
10．A
【详解】试题分析：根据抛物线图象与系数的关系即可判断出各系数的符号，进而得出点M（，a）所在的象限.
解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，
∴a＞0，＞0，因此b＜0，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．
故选A．
点睛：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系.结合二次函数的图象得出各系数的符号是解题的关键所在.
11．D
【分析】由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
12．A
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】由图象可知：
抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=（x+2）2-2；
抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；
抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1；
抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
13．
【分析】利用待定系数法求解函数解析式．
【详解】解：依题意，设函数解析式为
∵当自变量时，函数值
∴，解得
∴函数的解析式为
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤准确计算是解题关键．
14．
【分析】已知二次函数,的图像经过点（1,-1），即把点（1，-1）代入函数中，得a=1，再代入即可得到答案.
【详解】已知二次函数,的图像经过点（1,-1），即把点（1，-1）代入函数中，得a=1，故y=x2 2.
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式.
15．等
【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
16．y＝ 2x2＋4x 5．
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即 y＝2x2 4x＋5，
因此所求抛物线C2的解析式是y＝ 2x2＋4x 5．
故答案为：y＝ 2x2＋4x 5
【点睛】此题考查了二次函数的性质，利用轴对称变换的特点可以解答．
17． 1
【分析】将A、B、C点坐标分别代入，利用待定系数法求解即可.
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）, B（3,0）, C（0,1），
∴，
解得.
故答案为； ；1.
【点睛】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式，解此题的关键在于正确求解方程组.
18．（1）y=﹣x2﹣4x；（2）m 的值为﹣5，n 的值为﹣5；（3）在对称轴直线 l 上存在一点 D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．
【分析】(1)根据点 A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
(2)利用配方法找出二次函数的对称轴，由点 P 的坐标可得出点 M、N 的坐标，利用梯形的面积公式结合四边形 OAPN 的面积为 20，可求出 n 值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 m 的值；
(3)连接 AB，交直线 l 于点 D，利用两点之间线段最短可得出点 D 即为所求， 根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标．
【详解】解：（1）将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）、C（﹣3，3）代入 y=ax2+bx+c 中，
得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x．
（2）∵二次函数的解析式为 y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4，
∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2．
∵点 P（m，n）关于直线 1 的对称点为 M，点 M 关于 y 轴的对称点为 N，
∴点 M（﹣4﹣m，n），点 N（m+4，n）（如图 1），
∴S 四边形 OAPN=（OA+PN） |n|= （4+4）|n|=20， 解得：n1=5，n2=﹣5．
∵点 P（m，n）在第三象限，
∴n=﹣5，
∴﹣m2﹣4m=﹣5，
解得：m1=﹣5，m2=1（舍去）．
∴m 的值为﹣5，n 的值为﹣5．
（3）∵AC 的值为定值，
∴要使△ADC 的周长最短，则 AD+CD 的值最小．
连接 AB，交直线 l 于点 D，则 BD=CD，此时由两点之间线段最短可得知，点 D
即为所求（如图 2）．
设直线 AB 的解析式为 y=kx+d（k≠0），
将 A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入 y=kx+d 中，
得： ，解得： ，
∴直线 AB 的解析式为 y=x+4， 当 x=﹣2 时，y=x+4=2，
∴点 D 的坐标为（﹣2，2）．
∴在对称轴直线 l 上存在一点 D，使△ADC 的周长最短，点 D 的坐标为（﹣2， 2）．
【点睛】考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及梯形的面积，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用梯形的面积求出 n 值；（3）利用抛物线的对称性确定点 D 的位置．
19．(1)；
(2)3；2
【分析】（1）把点代入，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（2）把C代入可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．
【详解】（1）将代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，，
∴顶点坐标为；
（2）把C代入得，
，
设直线AB的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵顶点的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．
20．y=﹣x2+x+3
【详解】试题分析：先利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），则可设交点式为y=a（x+3）（x-5），然后把（0，3）代入求出a的值即可．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．
21．二次函数表达式为，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
【分析】设所求二次函数的表达式为，然后将，，三点，代入可求出解析式，再将表达式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设所求二次函数的表达式为．
将三点，，的坐标分别代入表达式，得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为．
因为，
所以，二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的基本方法是解题的关键．
22．（1）y＝x2﹣x+2；（2）y＝﹣(x﹣1)2+4
【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式设解析式为y＝ax2+bx+c，把三点坐标代入组成三元方程组，解方程组即可,
（2）用顶点式求解，设顶点式为y＝ax2+bx+c，把点（-1，0）代入，求出a即可．
【详解】解：（1）设所求二次函数是y＝ax2+bx+c，
把（1，0），（0，2），（2，3）代入二次函数，得
，
解得，
∴所求二次函数解析式是y＝；
（2）设所求二次函数解析式是y＝a（x﹣1）2+4， 把（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中，得,
a＝﹣1，
∴所求二次函数解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4．
【点睛】本题考查二次函数的解析式问题，关键掌握二次函数的求法，根据条件特征选择适当的方法来解．
23．（1）；（2）M（0，3）或（－2，3）
【分析】（1）由于抛物线有最高点，且与x轴有交点，那么抛物线的开口向下，即a＜0，由此可得A(-2，0)，将抛物线的解析式设为顶点坐标式，将A点坐标代入其中，即可求得a的值，从而确定该抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式，即可得到A、B的坐标，也就能得到AB的长，然后可根据△MAB的面积求出M点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M的坐标．
【详解】（1）由于抛物线有最高点，且与x轴有交点，
所以a＜0；
∴A（ 2，0），
∵图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，
∴顶点坐标为（-1，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，
把A点坐标代入得a（-2+1）2+4=0，
解得a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式可知：A（-3，0），B（1，0），
则AB=4；
由于S△ABM=AB |yM|=6，
解得|yM|=3；
∵M点在x轴上方，
∴M点的纵坐标为3，代入抛物线的解析式中得：-x2-2x+3=3，
解得x=0，x=-2；
故M（0，3）或（-2，3）．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，根据已知确定a的符号及顶点坐标是解题关键.
24．y=(x-4)2-1.
【详解】试题分析：设抛物线为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（4，-1），所以h=4,k=-1,将（0,3）代入表达式可以求得a=.所以抛物线解析式为y=(x-4)2-1.
依题意，设y=a(x-h)2+k.将顶点坐标(4,-1)和与y轴交点(0,3)代入，得3=a(0-4)2-1.解得a=.
∴这条抛物线的解析式为y=(x-4)2-1.
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