1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习（含解析）

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1.4二次函数与一元二次方程的联系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，图象在x轴的下方部分，x的取值范围为（　　）
A．x＜﹣1或x＞3 B．﹣1＜x＜3 C．x≤﹣1或x≥3 D．﹣1≤x≤3
3．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（　　）
A．或 B． C． D．无法确定
4．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5．已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
6．已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C．若D为AB的中点,则CD的长为(　 　)
A． B． C． D．
7．若关于x的二次函数 y=kx2+2x-1与 x轴只有一个交点，则实数k的值为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
8．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
9．已知二次函数的图象如图所示，若方程的两个根为，，下列结论中：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．②③
10．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（ ）
… …
… …
A．或 B．或 C．或 D．或
11．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣1≤t＜8 B．﹣1≤t＜3 C．t≥﹣1 D．3＜t＜8
12．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　）
A．1 B． C． D．0
二、填空题
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
14．已知函数的图象与x轴只有一个交点．则该交点的坐标为 ．
15．如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．

16．抛物线与直线相交于和两点，则的解集是
17．根据下列表格中的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
三、解答题
18．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 3 4 3 4 0 …
其中，__________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
(3)根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的是__________．（填序号）
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线有4个交点，所以对应的方程有4个实数根．
(4)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象直接写出方程的解（保留一位小数，误差不超过）．

19．已知二次函数y=x2+mx+m2 3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2 3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
20．看图回答．
(1)当时，x的值为 　 　；
(2)y随x的增大而增大时，x的范围为 　 　；
(3)当时，直接比较y的值与的大小 　 　．
21．已知抛物线.
（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；
（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；
（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.
22．已知 的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
(1)求方程的解；
(2)求方程组的解；
(3)如果方程无实数根，求m的取值范围．
23．如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A的坐标为（–1，0）．
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；
(2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；
(3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点的坐标．
24．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，求点B的坐标．
《1.4二次函数与一元二次方程的联系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B D A D C D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断．
【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键．
2．B
【详解】根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
解：∵图象在x轴的下方部分，
∴x的取值范围为﹣1＜x＜3．
故选B．
3．A
【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0．
【详解】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．
5．B
【详解】试题解析：令y＝ x2+x =0，
解得：x=，
∵当自变量x取m时对应的值大于0，
∴＜m＜，
∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，
∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．
∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，
∴y1＜0、y2＜0．
故选B．
6．D
【详解】把y=0代入
得，
解得，
∴A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，
∵又因D为AB的中点，
可得AD=BD=7.5，
求得OD=4.5，
在Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7.5，故答案选D．
考点：二次函数图象与坐标轴的交点坐标；勾股定理．
7．A
【详解】试题解析：∵关于二次函数的函数与轴仅有一个公共点，
∴关于的一元二次方程只有一个根，
当时，
解得，
故选A.
8．D
【分析】根据对称轴方程可得①正确，由图象可知x=-1时y<0，可得②错误；根据二次函数的对称性可得③错误；根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y轴交点即可得④正确；综上可得答案．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x==1，
∴，故①正确，
由图象可知，x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+c∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（4，0），故③错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∵x==1>0，
∴b<0，
∴abc>0，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数，抛物线对称轴方程为直线x=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；当抛物线与y轴交于y轴正半轴时，c>0，当抛物线与y轴交于负半轴时c<0，当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；熟练掌握二次函数当性质是解题关键．
9．C
【分析】由方程的两个根为，方程变为，比较系数得，①，故①不正确，②正确，③③正确，④换成计算即可确定④正确．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，，
∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
比较系数得：，
①，故①不正确，
②正确，
③，③正确，
④，④正确．
故选择：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c与的关系．
10．D
【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根．
【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），
∴抛物线对称轴为，
∵抛物线经过点，
∴抛物线也经过点，
方程变形为，
∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值，
所以方程的根为．
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键．
11．A
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣2x与直线y＝t的交点，然后求出当﹣1＜x＜4时，-1≤y＜8，进而求解；
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
∴﹣1＜x＜4，二次函数y的取值为-1≤y＜8，
∴-1≤t＜8；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
12．B
【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
【详解】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0得，
－9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：－x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=－=2，解得x2=－1．
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，关键是掌握二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系和根与系数的关系．
13．x＞3或x＜﹣2
【详解】本题通过描点画出图象，即可根据图象在x轴上部的那部分得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．
解：通过描点作图如下，从图中可看出不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2．
14．或或
【分析】本题考查一次函数与x轴的交点、二次函数与一元二次方程，分一次函数和二次函数两种情况：当时，把代入解析式求解即可；当时，令，根据判别式，求解即可．
【详解】解：①当时，函数为，其图象与x轴只有一个交点，为；②当时，该函数为二次函数，
令，则，即．
∵函数图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得，，
当时，，其图象与x轴交于点；
当时，，其图象与x轴交于点，
故答案为：或或．
15．
【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
设的另一根为x，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
16．
【分析】本题考查二次函数与不等式（组）
求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图象找出函数的值大于函数值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置，可求范围 .
【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集，
实质上就是根据图象找出函数的值大于函数值时x的取值范围，
直线经过和，
∴，解得：，
∴直线，
令，则，解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为，
结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：．
17．6.18＜x＜6.19
【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点睛】考点：抛物线与x轴的交点．
18．(1)3
(2)见解析
(3)①③
(4)，
【分析】（1）把代入函数中，求得值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象可判断；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【详解】（1）解：把代入函数中，得，
，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：

（3）由函数图象可知：
该函数图象关于y轴对称，故①正确；
该函数的自变量的取值范围是任意实数，在自变量取值范围内没有最小值，故②错误；
由图可知：函数图象与直线有4个交点，
所以对应的方程有4个实数根，故③正确；

∴①③正确，
故答案为：①③；
（4）由图象可知：函数与函数的交点横坐标约为和，
则方程的解为，．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
19．(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2 3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2 3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2 3，
即m2+2m 3=0，
解得：m1=1，m2= 3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x 2，
∵Δ=b2 4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x 2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
20．(1)和3
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性求得另一个交点坐标，可得答案；
（2）根据二次函数抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大时，可得答案；
（3）根据二次函数抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小时，可得答案．
【详解】（1）解：由图像可知，抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，x的值为和3；
（2）由图像可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，即x的范围是；
（3）由图像可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当时，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
21．（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果．
（3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论．
【详解】（1）证明：∵
∴抛物线与x轴总有交点.
（2）解：由（1），根据求根公式可知，
方程的两根为：
即
由题意，有
(3)解：令 x = 0， y =
∴ M（0，）
由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（，0），
它们关于直线的对称点分别为（0 ， 1）和（0， ），
由题意，可得：

【点睛】本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
22．(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与轴的交点坐标，函数与方程无解问题，灵活运用数形结合方法是解题的关键．
（1）令，得，结合图象性质，即可作答．
（2）结合（1）可知，方程组的解，即为与轴的交点坐标，即可作答．
（3）结合函数图象开口向下且最大值为，即可作答．
【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
将方程变形为，
即时，把代入，
由图象可知的解为，
∴方程的解为．
（2）解：根据图象得，把，代入，
得
解得
∴方程组
解得，；
（3）解：∵的函数图象开口向下且最大值为
∴方程无实根，即无解
则由图象可得，即．
23．(1)(，)
(2)轴
(3)（0，1）
【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解；
（2）把点D（m，m＋1）的坐标代入求得的值，令求得点C的坐标，由此可判断CD与x轴的位置关系；
（3）先确定点D关于直线BC的对称点的位置在轴，然后利用对称性即可求解．
【详解】（1）∵,
∴二次函数图象的顶点坐标为(，)；
（2）∵第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴D（3，4）；
当时，代入得，
∴C（0，4），
∴轴；
（3）对于，
令，则，解得，，
∴A（－1，0），B（－4，0）；
又∵C（0，4），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵点D关于直线BC的对称点为，
∴在轴上，如图所示，则
∴ ，
∴的坐标为（0，1）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质以及点关于直线的对称性，理解题意是解题的关键．
24．
【分析】先把A点坐标代入y=x2+bx+8中求出b的值，从而得到二次函数解析式为y=x2+6x+8，然后解方程x2+6x+8=0即可得到B点坐标．
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A ，
，
，
二次函数解析式为，
当时，，解得，，
抛物线与x轴的交点B的坐标为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
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