2.1圆的对称性同步练习（含解析）

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2.1圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　）
A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定
3．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　
A．1
B．
C．2
D．
4．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
5．在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（ ）
A．圆的直径互相平分
B．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
6．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（ ）
A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13
7．下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
8．如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（　　）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
10．下列命题中，是真命题的为( )
A．三个点确定一个圆
B．一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．同弧所对的圆周角与圆心角相等
11．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．2．5 C．3 D．2或3
二、填空题
13．已知的半径是，当时，点在 ；当时，点在 ；当时，点在 ．
14．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 ．
15．如图，在中，，，，与关于对称，点、分别是边、上的任意一点，且，、相交于点，则的最小值为 ．
16．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是 ；△ODA的周长是 ；∠BOC的度数是 ．
17．已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
三、解答题
18．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
19．如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．

20．如图所示，，，试证明：、、、在同一圆上．
21．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
22．求证：任意三角形的三个顶点一定在一个圆上．
23．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
24．如图，试表示到点P的距离等于2.5cm的点的集合．
《2.1圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C D A B C C C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25．
由图可知15＜r＜25，
故选：C．
2．C
【分析】欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ，
有勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，
∴r＜d，
∴点C在⊙B外．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键．
3．B
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
4．C
【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设的半径为，
当点在圆外时，；
当点在内时，．
综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键．
5．D
【分析】根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性．
【详解】解：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．
故选：D
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握圆的对称轴为直径所在的直线或过圆心的直线．
6．A
【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点在圆内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点在定圆外时，直径=最远点的距离-最近点的距离．
【详解】解：应分两种情况讨论：
①当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，
则直径=最近点的距离+最远点的距离，即：直径=4+9=13，因而半径是6.5；
②当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5．
故选A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
8．C
【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径．
【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，．
∵ ，，
∴，，
又∵ ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是证明是等腰直角三角形．
9．C
【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD==7，
PC==9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
【点睛】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
10．C
【分析】结合圆的基本知识，逐一判断．
【详解】A、不在同一直线上的三点可以确定一个圆，错误；
B、经过圆心的弦都是圆的直径，圆有无数条直径，错误；
C、圆是最特殊的平面图形，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
D、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误．
真命题为C．
故选C．
11．D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
12．D
【分析】根据点A与⊙O上的点的最小距离是2cm，最大距离是5 cm，分两种情况：点A在圆外；点A在圆内，分别解答即可得到结论．
【详解】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O的半径=，
当点A在圆内时，⊙O的半径=，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．分情况解答是关键．
13． 内 上 外
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的关系，即可求得答案．
【详解】时，，所以点在内．
时，，所以点在上．
时，，所以点在外．
故答案为：内 上 外
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系，牢记判断点和圆的位置关系的方法是解题的关键．
14．18
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则，，
，
又，
，
，
故答案是：18．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
15．
【分析】连接，在中，求得，，是等边三角形，≌，，点的运动路径为：以为圆心，为半径的的弧，连接与圆弧的交点即为点，此时的长度最小，求得CP即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，，
与关于对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
≌（SAS），
，
，
，
，
，
，
由于点在运动中保持，
如图，
点的运动路径为：以为圆心，为半径的的弧，
连接与圆弧的交点即为点，此时的长度最小，
，
则线段的最小值为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的基本知识，证明≌是解题的关键．
16． r 3r 60°/60度
【分析】证明△COB、△AOB、△AOD都是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵∠C=60°，OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠C=∠OBC=∠BOC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BOC=∠OBA=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
综上，△COB、△AOB、△AOD都是等边三角形，
∴△OAB的边长AB是r；△ODA的周长是3r；∠BOC的度数是60°．
故答案为：r；3r；60°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，证明△COB、△AOB、△AOD都是等边三角形是解题的关键．
17．2或
【详解】试题解析：
∵以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切(如图1)或⊙P过原点(如图2)，
当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，
∴r=2或.
故答案为2或.
18．见解析．
【详解】试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．
试题解析：
考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．
19．图见解析，的度数为或
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解
以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．由作图与圆的有关概念得出，从而得是等边三角形，进而得出，，进而得出答案．
【详解】解：如图，以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．

连接，．
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵
∴．
同理：．
综上所述，的度数为或．
20．见解析
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出进而得出答案．
【详解】证明：如图，取的中点，连接，，
∵，，
∴和为直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，，四点都在以点为圆心，长为半径的圆上．
【点睛】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出是解题的关键．
21．（1）①；②；③等边，证明见解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；
（2）①由题意知点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，此时当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；
②当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值为EC的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，
①点B′在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②B′M=MN- B′N=
=
=；
③B′D=，
∴△DB'C为等边三角形；
故答案为：①BE，②，③等边；
（2）①∵AB=3=3AE，
∴AE=1，BE=2，
故点B'在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴△ABB'的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可，
∴当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大，如图：
△ABB'的面积最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，
∴PQ∥B'E，
∵P为AE的中点，
∴Q为AB'的中点，
∴PQ为△AEB'的中位线，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，
∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
当E、B′、C三点共线时，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，
且最小值为EC的长，
∴EC=，
∴B'C+2PQ的最小值为．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当B'E⊥AB时，△ABB'的面积最大；②当E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值，是解本题的关键．
22．见解析
【分析】设为任意三角形，作出线段、的垂直平分线，交于点，连接，求证即可．
【详解】证明：设为任意三角形，作出线段、的垂直平分线，交于点，连接
如下图：

由线段垂直平分线的性质可得：
∴的三个顶点是在以为圆心，以长为半径的圆上．
【点睛】此题考查了圆的有关证明，涉及了垂直平分线的性质，解题的关键是理解圆的概念以及掌握垂直平分线的性质．
23．O′P＞r，点P在⊙O′外；O′Q＜r，点Q在⊙O′内；O′R＝r，点R在⊙O′上．
【分析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵OO′＝r＝＝ ，O′P＝＝2
同理可得：O′Q＝1，O′R＝ ，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．
24．作图见解析.
【详解】试题分析：
根据圆的定义分析可知：平面内到定点P的距离等于2.5cm的点的集合是“以点P为圆心，2.5cm为半径的圆”，由此画出图形即可.
试题解析：
如图，到点P的距离等于2.5cm的点的集合是以点P为圆心，2.5cm为半径的圆.
故答案为到点P的距离等于2.5cm的点的集合是以点P为圆心，2.5cm为半径的圆.
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