2.2圆心角、圆周角同步练习（含解析）
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2.2圆心角、圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．如图，四边形内接于圆O，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，四边形的四个顶点都在上，称这样的四边形为圆内接四边形，则图中（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．如图，点A，B在上，点C是劣弧的中点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为
A． B． C． D．30°
8．如图，为锐角三角形，，，点O为的重心，D为中点，若固定边，使顶点A在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为D，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】
A．90° B．180° C．270° D．360°
11．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和交于点，已知，则这个圆圈上的弦长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，以为斜边向上作，．连接，若，则的长度为（ ）
A．或 B．5或12
C．或 D．5或10
二、填空题
13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 °．
14．如图，是的直径， ，，则 ．
15．如图，点A，B，C在上，，则 度．
16．如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ．
17．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °．
三、解答题
18．如图是半径为2的圆，
（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，
（2）求第三个扇形AOC的面积．
19．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
20．已知：如图，内接于，平分交于点M，于D．求证：．
21．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
23．为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
24．如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E.
求证：DE＝AE.
《2.2圆心角、圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D A B D D B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】试题解析：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°，
∴∠ACD=15°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，
故选C．
2．A
【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠COD=2∠A=70°，
∴∠D=90° 70°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
3．B
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再由同角的补角相等即可得出结果．本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】先证明：∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC，再利用三角形的内角和定理可得： 再利用四边形的内角和可得答案.
【详解】由圆内接四边形对角互补得．
证明:
连接AC、BD
∵∠DAC=∠DBC，∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等)
∴∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°(三角形内角和180°)
∴∠ABC+∠ADC=180°
故选B
【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补的知识点，牢记定理是解题关键．
5．D
【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到∠ADO=∠DAO是解题的关键．
6．A
【分析】此题考查圆周角定理，由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵点C是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．B
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-∠A=50°．
故选B
8．D
【分析】如图，作的外接圆，点为圆心，，根据重心定理，得出，根据圆周角定理，得出，进而得出，再根据等角对等边，得出，再根据勾股定理，得出，，当时，最长，可求此时最大值，由于，可得此时最小值，进而可得的取值范围．
【详解】解：如图，作的外接圆，点为圆心，，
∵点O为的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，由勾股定理知，
∴，
∵当时，最长，
∴最大值为，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、重心定理、圆周角定理、等角对等边、勾股定理等知识，解题的关键在于熟练掌握外接圆．重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．
9．D
【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．
10．B
【详解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
11．C
【分析】作于点E，连接BE，在中求出EF的长，在中求出CF的长，即可求出CE的长.
【详解】解：如图，作于点E，连接BE，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，AB是直径，
∴，
∵是含的三角板，
∴，
∴，，，
∴
在中，，，
∴，
在中，，，
∴CF=4，
∴=.
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理及勾股定理，能够把求CE长度问题转化直角三角形中的计算问题是解题的关键.
12．A
【分析】分两种情况讨论，当时，或当时，画出相应的图形，延长至点，使，作于点，证明，根据全等三角形的性质
得到，继而证明为等腰直角三角形，再由勾股定理解得，最后根据线段的和差解题即可．
【详解】解：当时，如图，延长至点，使，作于点，
中，
在与中，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图，
延长至点，使，作于点，
中，
在与中，
为等腰直角三角形，
；
综上所述，的长度为或，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
13．69
【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案为：69．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
14．/0.8
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
连接，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：，最后利用等角的三角函数得出结论．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
15．31
【分析】根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16．80°
【详解】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为80°．
【点睛】本题考查圆周角定理．
17．30
【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数．
【详解】解：∵弧与弧相等，
∴弧和弧相等，
∴；
故答案为：30．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
18．（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2），，
，
故．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，解题的关键是根据题意求出对应圆心角度数是前提，掌握扇形的面积公式．
19．（1）75°；（2）20°
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，再求出答案即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠AEF，根据圆内接四边形的性质得出∠AEF＋∠ABF＝180°，求出∠ABF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（2）连接BF，
∵AD⊥直线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，
∵四边形为圆内接四边形，
∴∠ABF＋∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．见解析.
【分析】首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AD⊥BC，可得∠ABN=∠ADC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠DAC，然后根据AM平分∠BAC，即可证得∠MAO=∠MAD．
【详解】证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，
∵AN是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABN=∠ADC=90°，
∴∠BAN+∠N=90°，∠DAC+∠C=90°，
∵∠N=∠C，
∴∠BAN=∠DAC，
∵AM平分∠BAC， 即∠BAM=∠CAM，
∴∠MAO=∠MAD．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆周角定理的应用．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
22．（1）∠A=90°﹣α；（2）∠A=60°．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
【详解】（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
23．见解析
【分析】根据题意画出示意图，其中BC表示电影幕的宽，G、I分别为圆弧形排列的座位中的任意两个，根据图形可知∠BGC、∠BJC分别为两个座位的视角，由此结合圆周角定理的推论求解即可．
【详解】根据题意画出图形，BC表示电影幕的宽，
由同弧所对圆周角相等可知∠BGC=∠BJC，即同排的观众视角相等．
【点睛】本题是圆周角定理的推论在实际问题中的应用，解题的关键是要理解在同排的观众视角需相同．
24．见解析
【分析】连接AD，由于AB=CD，所以 ，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠CDA，最后由等角对等边证得DE=AE．
【详解】解：证明：连接AD，
∵AB=CD，
∴ ，
∴，
即 ，
∴∠BAD=∠CDA，
∴DE=AE(等角对等边).
【点睛】本题考查了在同圆中，圆周角、弧、弦的关系及等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
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2.2圆心角、圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．如图，四边形内接于圆O，E为延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，四边形的四个顶点都在上，称这样的四边形为圆内接四边形，则图中（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．如图，点A，B在上，点C是劣弧的中点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，若，则的度数为
A． B． C． D．30°
8．如图，为锐角三角形，，，点O为的重心，D为中点，若固定边，使顶点A在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为D，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】
A．90° B．180° C．270° D．360°
11．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和交于点，已知，则这个圆圈上的弦长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，以为斜边向上作，．连接，若，则的长度为（ ）
A．或 B．5或12
C．或 D．5或10
二、填空题
13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 °．
14．如图，是的直径， ，，则 ．
15．如图，点A，B，C在上，，则 度．
16．如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ．
17．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °．
三、解答题
18．如图是半径为2的圆，
（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，
（2）求第三个扇形AOC的面积．
19．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
20．已知：如图，内接于，平分交于点M，于D．求证：．
21．如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．
23．为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
24．如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E.
求证：DE＝AE.
《2.2圆心角、圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D A B D D B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】试题解析：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°，
∴∠ACD=15°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，
故选C．
2．A
【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠COD=2∠A=70°，
∴∠D=90° 70°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
3．B
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再由同角的补角相等即可得出结果．本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】先证明：∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC，再利用三角形的内角和定理可得： 再利用四边形的内角和可得答案.
【详解】由圆内接四边形对角互补得．
证明:
连接AC、BD
∵∠DAC=∠DBC，∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等)
∴∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°(三角形内角和180°)
∴∠ABC+∠ADC=180°
故选B
【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补的知识点，牢记定理是解题关键．
5．D
【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【详解】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质及圆的基本性质，由半径相等得到∠ADO=∠DAO是解题的关键．
6．A
【分析】此题考查圆周角定理，由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵点C是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．B
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-∠A=50°．
故选B
8．D
【分析】如图，作的外接圆，点为圆心，，根据重心定理，得出，根据圆周角定理，得出，进而得出，再根据等角对等边，得出，再根据勾股定理，得出，，当时，最长，可求此时最大值，由于，可得此时最小值，进而可得的取值范围．
【详解】解：如图，作的外接圆，点为圆心，，
∵点O为的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，由勾股定理知，
∴，
∵当时，最长，
∴最大值为，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、重心定理、圆周角定理、等角对等边、勾股定理等知识，解题的关键在于熟练掌握外接圆．重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．
9．D
【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．
10．B
【详解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
11．C
【分析】作于点E，连接BE，在中求出EF的长，在中求出CF的长，即可求出CE的长.
【详解】解：如图，作于点E，连接BE，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，AB是直径，
∴，
∵是含的三角板，
∴，
∴，，，
∴
在中，，，
∴，
在中，，，
∴CF=4，
∴=.
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理及勾股定理，能够把求CE长度问题转化直角三角形中的计算问题是解题的关键.
12．A
【分析】分两种情况讨论，当时，或当时，画出相应的图形，延长至点，使，作于点，证明，根据全等三角形的性质
得到，继而证明为等腰直角三角形，再由勾股定理解得，最后根据线段的和差解题即可．
【详解】解：当时，如图，延长至点，使，作于点，
中，
在与中，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图，
延长至点，使，作于点，
中，
在与中，
为等腰直角三角形，
；
综上所述，的长度为或，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
13．69
【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案为：69．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
14．/0.8
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
连接，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：，最后利用等角的三角函数得出结论．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
故答案为：
15．31
【分析】根据圆周角定理进行求解即可；
【详解】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
16．80°
【详解】解：连接EM，
∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，
∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，
∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，
∴∠EOM=2∠EAM=80°，
故答案为80°．
【点睛】本题考查圆周角定理．
17．30
【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数．
【详解】解：∵弧与弧相等，
∴弧和弧相等，
∴；
故答案为：30．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
18．（1）作图见解析；（2）
【分析】（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2），，
，
故．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，解题的关键是根据题意求出对应圆心角度数是前提，掌握扇形的面积公式．
19．（1）75°；（2）20°
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，再求出答案即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠AEF，根据圆内接四边形的性质得出∠AEF＋∠ABF＝180°，求出∠ABF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（2）连接BF，
∵AD⊥直线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，
∵四边形为圆内接四边形，
∴∠ABF＋∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．见解析.
【分析】首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AD⊥BC，可得∠ABN=∠ADC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠DAC，然后根据AM平分∠BAC，即可证得∠MAO=∠MAD．
【详解】证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，
∵AN是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABN=∠ADC=90°，
∴∠BAN+∠N=90°，∠DAC+∠C=90°，
∵∠N=∠C，
∴∠BAN=∠DAC，
∵AM平分∠BAC， 即∠BAM=∠CAM，
∴∠MAO=∠MAD．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及角平分线的定义，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆周角定理的应用．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：四边形内接于圆，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
22．（1）∠A=90°﹣α；（2）∠A=60°．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF=∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF=180°-∠BCF-∠F，所以∠A+∠E=180-∠A-∠F，然后利用∠E+∠F=α可得∠A=90°-α；
（2）利用（1）中的结论进行计算．
【详解】（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F=α，
∴∠A=90°﹣α；
（2）当α=60°时，∠A=90°﹣×60°=60°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
23．见解析
【分析】根据题意画出示意图，其中BC表示电影幕的宽，G、I分别为圆弧形排列的座位中的任意两个，根据图形可知∠BGC、∠BJC分别为两个座位的视角，由此结合圆周角定理的推论求解即可．
【详解】根据题意画出图形，BC表示电影幕的宽，
由同弧所对圆周角相等可知∠BGC=∠BJC，即同排的观众视角相等．
【点睛】本题是圆周角定理的推论在实际问题中的应用，解题的关键是要理解在同排的观众视角需相同．
24．见解析
【分析】连接AD，由于AB=CD，所以 ，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠CDA，最后由等角对等边证得DE=AE．
【详解】解：证明：连接AD，
∵AB=CD，
∴ ，
∴，
即 ，
∴∠BAD=∠CDA，
∴DE=AE(等角对等边).
【点睛】本题考查了在同圆中，圆周角、弧、弦的关系及等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
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