2.3垂径定理同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
2．如图，在中，，是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（ ）
A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．4
4．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )
A．2∶1 B．3∶2 C．2∶3 D．0
5．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2，点C在线段AE上运动（不与点A点E重合），过点E作ED⊥BC交BC的延长线于D，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )cm.
A．14或2 B．14 C．2 D．6
9．如图，已知的直径弦，垂足为，，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
11．下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm B．6cm C．7cm D．8cm
二、填空题
13．已知弓形的高为1厘米，弓形的半径长为5厘米，那么弓形的弦长为 厘米．
14．已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是 ．
15．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于 cm．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为 ．
17．如图,☉O的直径AB=8,AC=3CB,过点C作AB的垂线交☉O于M,N两点,连接MB,则∠MBA的余弦值为 .
三、解答题
18．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求弦的长．
19．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
20．如图，AB为⊙O的一条弦．
(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施．
(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施．
22．如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
23．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
《2.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D C C C A C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM==4，
∴CD=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．
2．C
【分析】可证，结合垂径定理即可判断．
【详解】解：∵
∴
∴
∵，
∴
故A、B、D正确
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理．垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
3．B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1 ，
解得R=2.6．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
4．D
【详解】试题解析：∵半径为R的⊙O中，弦AB=2R，
∴OE=0，
∴OE：OF=0．
故选D．
5．C
【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以．
【详解】解：如图，连接、、，
∵，而为的中点，
∴，平分，即，
∵，
∴点和点都在以为直径的圆上，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键．
6．C
【详解】试题分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.
作OC⊥AB于点C
则
∵
∴∠A=30°
∵OA=OB
∴∠AOB=120°
故选C.
考点：垂径定理，三角函数
点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
7．C
【分析】连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，从而得到A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．易证△ABC∽△GDC，得到，故当DG最大时，最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，得到半径的长．由三角形中位线得到OG的长，从而得到DG的最大长度，即可得到结论．
【详解】连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．
∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜边上的中线，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，∴A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．
∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．
∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴，∴当DG最大时，最大．
∵BE==10，∴OB=OE=OD=5．
∵OG⊥AE，∴AG=GE．
∵BO=EO，∴OG为△ABE的中位线，∴OG=AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴．
故选C．
【点睛】本题是考查了垂径定理、圆的基本性质，三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是把转化为，进而转化为求DG的最大长度．
8．A
【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
故选择：A.
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
9．C
【分析】连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于的直径弦，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
【详解】解：连结OA，
∵，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵的直径弦，
∴AE=BE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OAsin45°=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数等知识．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
11．B
【详解】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=AC=BD=0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．
故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理的应用．
12．B
【详解】试题解析：如图：
∵CD是直径，，AB=12cm，
∴AE=AB=6cm（垂径定理）．
故选B．
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
13．6
【分析】过圆心O作，交弧于C．则，连接，在中利用勾股定理可求得长，然后根据垂径定理解题即可．
【详解】如图，
过圆心O作，交弧于C．则，连接．
在中，，
则，
∴．
故答案是：6．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．8
【分析】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，连结OA，根据垂径定理得AP=BP，在Rt△AOP中，根据勾股定理可计算出AP=4，则AB=2AP=8．
【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，
连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，熟记垂径定理“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题的关键．
15．6
【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长．
【详解】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．6
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【详解】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵，
∴PB＝AB，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，
则Rt△PBD中，PD＝cos30° PB＝×6＝3，
∴AP＝2PD＝6，
故答案为6．
【点睛】本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路.
17．
【详解】试题分析：如图，连接AM；
∵AB=8，AC=3CB，
∴BC=AB=2：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°；
由射影定理得：
BM2=AB CB，
∴BM=4，cos∠MBA==，
故答案为．
考点：垂径定理；解直角三角形．
18．（1）20°；（2）8
【分析】（1）欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到，从而得到结论．
【详解】解：（1），
，
．
（2），，且，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出是解题关键．
19．货船能顺利通过这座拱桥，理由见解析.
【详解】试题分析：根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求出拱桥的半径长，连接ON，OA，通过求距离水面2米高处即HD长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OHN中勾股定理求出HN的长，从而求得MN的长．
试题解析：如图，连接ON，OA，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴AD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，
∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，
∴CH=2.4-2=0.4（m），
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），
∴HN=（m），
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可；
（2）构造直角三角形，运用垂径定理求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图
连接BD，OB
在中，CD=2，BD=
∵
∴
∴
∴BC=4
设OC=x，则OD=OB=x+2
在中，由勾股定理可得：
即
解得：x=3
∴x+2=5
∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长
21．(1)
(2)不需要
【分析】（1）由垂径定理可得，设拱桥所在圆的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案；
（2）首先求得，，在中，由勾股定理可得，易知，即可获得结论．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，连接，如下图，
由题意易知，点共线，且，则，
设拱桥所在圆的半径为，则，
在中，，
由勾股定理，可得，即，
解得，
所以，拱桥所在圆的半径为；
（2）连接，如图，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱桥所在圆的半径．
22．证明见详解
【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
23．⊙O的半径为6.5米
【详解】利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理建立方程即可求解.
解：如图所示，连接AO，
∵CD⊥AB且过圆心O，
∴AD=AB=×12=6米，
设半径为r米，
∴OA=OC=r米，
∴OD=CD﹣OC=（9﹣r）米，
∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=（9﹣r）2+62，
解得：r=6.5．
故⊙O的半径为6.5米．
24．
【分析】过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接．
，，
，
矩形是正方形．
，，
，
，
，
同理：．
在直角中，．
的半径长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
2．如图，在中，，是两条弦，，，如果，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（ ）
A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．4
4．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )
A．2∶1 B．3∶2 C．2∶3 D．0
5．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2，点C在线段AE上运动（不与点A点E重合），过点E作ED⊥BC交BC的延长线于D，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )cm.
A．14或2 B．14 C．2 D．6
9．如图，已知的直径弦，垂足为，，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
11．下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（ ）
A．12cm B．6cm C．7cm D．8cm
二、填空题
13．已知弓形的高为1厘米，弓形的半径长为5厘米，那么弓形的弦长为 厘米．
14．已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是 ．
15．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于 cm．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为 ．
17．如图,☉O的直径AB=8,AC=3CB,过点C作AB的垂线交☉O于M,N两点,连接MB,则∠MBA的余弦值为 .
三、解答题
18．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求弦的长．
19．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
20．如图，AB为⊙O的一条弦．
(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施．
(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施．
22．如图，中，P是的中点，C、D是、的中点，过C、D的直线交于E、F．求证：．
23．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
《2.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D C C C A C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM==4，
∴CD=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．
2．C
【分析】可证，结合垂径定理即可判断．
【详解】解：∵
∴
∴
∵，
∴
故A、B、D正确
故选：C
【点睛】本题考查了垂径定理．垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
3．B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1 ，
解得R=2.6．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
4．D
【详解】试题解析：∵半径为R的⊙O中，弦AB=2R，
∴OE=0，
∴OE：OF=0．
故选D．
5．C
【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以．
【详解】解：如图，连接、、，
∵，而为的中点，
∴，平分，即，
∵，
∴点和点都在以为直径的圆上，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键．
6．C
【详解】试题分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.
作OC⊥AB于点C
则
∵
∴∠A=30°
∵OA=OB
∴∠AOB=120°
故选C.
考点：垂径定理，三角函数
点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
7．C
【分析】连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，从而得到A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．易证△ABC∽△GDC，得到，故当DG最大时，最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，得到半径的长．由三角形中位线得到OG的长，从而得到DG的最大长度，即可得到结论．
【详解】连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．
∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜边上的中线，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，∴A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．
∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．
∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴，∴当DG最大时，最大．
∵BE==10，∴OB=OE=OD=5．
∵OG⊥AE，∴AG=GE．
∵BO=EO，∴OG为△ABE的中位线，∴OG=AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴．
故选C．
【点睛】本题是考查了垂径定理、圆的基本性质，三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是把转化为，进而转化为求DG的最大长度．
8．A
【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
故选择：A.
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
9．C
【分析】连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于的直径弦，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
【详解】解：连结OA，
∵，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵的直径弦，
∴AE=BE，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OAsin45°=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数等知识．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
11．B
【详解】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE=AC=BD=0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．
故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理的应用．
12．B
【详解】试题解析：如图：
∵CD是直径，，AB=12cm，
∴AE=AB=6cm（垂径定理）．
故选B．
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
13．6
【分析】过圆心O作，交弧于C．则，连接，在中利用勾股定理可求得长，然后根据垂径定理解题即可．
【详解】如图，
过圆心O作，交弧于C．则，连接．
在中，，
则，
∴．
故答案是：6．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．8
【分析】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，连结OA，根据垂径定理得AP=BP，在Rt△AOP中，根据勾股定理可计算出AP=4，则AB=2AP=8．
【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，
连结OA，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，
∴AP=，
∴AB=2AP=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，熟记垂径定理“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题的关键．
15．6
【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长．
【详解】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，OC==6（cm）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．6
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【详解】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵，
∴PB＝AB，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，
则Rt△PBD中，PD＝cos30° PB＝×6＝3，
∴AP＝2PD＝6，
故答案为6．
【点睛】本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路.
17．
【详解】试题分析：如图，连接AM；
∵AB=8，AC=3CB，
∴BC=AB=2：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°；
由射影定理得：
BM2=AB CB，
∴BM=4，cos∠MBA==，
故答案为．
考点：垂径定理；解直角三角形．
18．（1）20°；（2）8
【分析】（1）欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到，从而得到结论．
【详解】解：（1），
，
．
（2），，且，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出是解题关键．
19．货船能顺利通过这座拱桥，理由见解析.
【详解】试题分析：根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求出拱桥的半径长，连接ON，OA，通过求距离水面2米高处即HD长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OHN中勾股定理求出HN的长，从而求得MN的长．
试题解析：如图，连接ON，OA，
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=7.2m，
∴AD=AB=3.6m．
又∵CD=2.4m，
设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，
∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB=2m，
∴CH=2.4-2=0.4（m），
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），
在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），
∴HN=（m），
∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）按照画垂直平分线的步骤作图即可；
（2）构造直角三角形，运用垂径定理求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图
连接BD，OB
在中，CD=2，BD=
∵
∴
∴
∴BC=4
设OC=x，则OD=OB=x+2
在中，由勾股定理可得：
即
解得：x=3
∴x+2=5
∴⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，垂径定理等，解题的关键是熟练垂直平分线的画法以及运用垂径定理求线段长
21．(1)
(2)不需要
【分析】（1）由垂径定理可得，设拱桥所在圆的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案；
（2）首先求得，，在中，由勾股定理可得，易知，即可获得结论．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，连接，如下图，
由题意易知，点共线，且，则，
设拱桥所在圆的半径为，则，
在中，，
由勾股定理，可得，即，
解得，
所以，拱桥所在圆的半径为；
（2）连接，如图，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱桥所在圆的半径．
22．证明见详解
【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是的中点，可得，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是、的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
【详解】证明：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是的中点，
∴，
∴AP=BP，
∵C、D是、的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=，DP=，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC==OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点睛】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．
23．⊙O的半径为6.5米
【详解】利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理建立方程即可求解.
解：如图所示，连接AO，
∵CD⊥AB且过圆心O，
∴AD=AB=×12=6米，
设半径为r米，
∴OA=OC=r米，
∴OD=CD﹣OC=（9﹣r）米，
∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=（9﹣r）2+62，
解得：r=6.5．
故⊙O的半径为6.5米．
24．
【分析】过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接．
，，
，
矩形是正方形．
，，
，
，
，
同理：．
在直角中，．
的半径长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)