2.4过不共线三点作圆同步练习（含解析）

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2.4过不共线三点作圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　）
A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8
2．已知的面积为，则其内接正三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
4．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆
C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧
5．下列画图语言表述正确的是（　　）
A．延长线段AB至点C，使AB=AC
B．以点O为圆心作弧
C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧
D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b
6．在△中，，，，、分别是上的高和中线，如果圆是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点、均在圆内； B．点、均在圆外；
C．点在圆内，点在圆外； D．点在圆外，点在圆内．
7．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．下列命题为真命题的是(　　)
A．两点确定一个圆 B．度数相等的弧相等
C．垂直于弦的直径平分弦 D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
9．下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
10．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，－4）、C（2，－3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
14．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
15．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是 ．
16．已知在平面内有不重合的四个点，它们一共可以确定 个圆．
17．在平面直角坐标系xOy内有三点：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．则过这三个点 （填“能”或“不能”）画一个圆，理由是 ．
三、解答题
18．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME=MF．
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
19．如图，在等边中，点、分别在、边上．
(1)在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
(2)若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
20．如图所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆．
21．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、．
(1)写出圆心M的坐标为___________；
(2)这个圆的半径为___________；
(3)直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）．
22．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
23．如图△ABC，用圆规和没有刻度的直尺作出△ABC的外接圆．（用黑水笔描清楚作图痕迹）
24．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
《2.4过不共线三点作圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B C C D C C B
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，
过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∠A＝60°，AE＝6，
∴AF＝3，EF＝，
在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5，
∴OE＝，
∴PE＝﹣4，
即线段PE的最小值为﹣4，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．
2．C
【分析】由圆内接正三角形的性质可知，正三角形两条高的交点即为圆心，利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理解直角三角形，求出正三角形的边和高，即可求出面积．
【详解】解：如图，是的内接正三角形，作，，则和的交点即为点O，

设，则，
解得，
是正三角形，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查圆和等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握正三角形高线（中线、角平分线）的交点即为外接圆的圆心．
3．B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
4．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意；
C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出画图语言表述正确的选项．
【详解】解：A、延长线段AB至点C，AB≠AC，故错误；
B、以点O为圆心作弧，没有指明半径，故错误；
C、正确；
D、在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b或OC=a﹣b，故错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查图形中线段、圆弧的画法．此题综合性较强，有一定的灵活性．
6．C
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置关系即可．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，
∴
∵分别是AB上的高和中线，
∴
∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，
∴点P在圆A内、点M在圆A外 ．
所以都不符合题意，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．
7．D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
8．C
【详解】A.不共线的三点确定一个圆，所以A错误；
B.需要增加条件在同圆或等圆中，所以B错误；
C.由垂径定理可知C正确；
D.需要增加条件在同圆或等圆中，所以D错误.
故选C.
9．C
【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可．
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
10．B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
【详解】方法一、如图，连接，

∵点是的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、如图，

∵点是的外心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用．
11．B
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：B．
12．D
【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①不在同一直线的三点确定一个圆，故①错误；
②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故②错误；
③在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故③错误；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故④错误.
故选D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理等知识．
13．能
【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（3，0）、B（0，-4）代入即可求出其解析式，再把C（2，-3）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，-4），得
，
解得，
所以直线AB的解析式为，
当x=-2时，，
所以A、B、C三点不共线，
所以经过A、B、C三点可以确定一个圆，
故答案为：能
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，判断过三点能否确定一个圆，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键
14．6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
15．该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【分析】由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆．
【详解】如图，连接OA、OC，
由作图知BA=BO、OC=OA，
∵AB=AC，
∴AB=OB=OC=AC，
∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB=OA=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义．
16．或或或
【分析】分三种情况讨论：（1）四点共线；（2）有三点共线；（3）任意三点不共线．
【详解】分三种情况讨论：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆；
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆；
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆．
故答案为0，1，3或4．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆，难度不大．
17． 能 因为这三点不在一条直线上．
【分析】经过三点能不能作圆, 关键是看这三个点在不在同一个圆上,所以先求出前两个点所在直线的解析式,再判断第三个点在不在这条直线上即可.
【详解】解：设前两个点所在的直线的解析式为y=kx+b,因为点(0,-2),(1,-1)在直线上,所以
，解得，
所以直线的解析式为y=x-2,
当x=2.17时,y≠0.37,所以点（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）不在同一条直线上,所以经过这三个点可以作圆.
故答案为:可以，因为这三点不在一条直线上.
【点睛】本题主要考查确定圆的条件, 关键要注意过不在同一直线上的三个点确定一个圆.
18．（1）证明见解析（2）80°．
【详解】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；
（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=BC，MF=BC，
∴ME=MF；
（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，
∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠FME=2∠ACF=80°．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．
19．(1)图见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆与相交的点即为所求；
（2）由（1）易知，设，建立方程，解方程即可．
【详解】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆，交于、
如图，点、即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点有两个，
当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点只有一个，
当该方程没有实数根时，对应满足条件的点不存在（这段话不需要写出来）
∵只能作出唯一的点，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比建立方程．
20．详见解析.
【详解】试题分析：连接AB，作出AB的垂直平分线交直线于O点，以O为圆心，OA为半径作圆
试题解析：
如图所示，即为所求.
21．(1)
(2)
(3)内
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为；
（2），，
即的半径为；
（3）圆的半径，
线段，
所以点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得．
【详解】（1）解：（1）如图：

（2）．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
23．见解析
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线EF交MN于点O，连接OB，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形两边的垂直平分线的交点．
24．见解析
【分析】先作∠ABC的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可．
【详解】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
【点睛】本题主要考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
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