2.5直线与圆的位置关系同步练习（含解析）

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2.5直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A． B． C． D．
2．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
3．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM＝5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
5．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（）cm．
A． B． C． D．
6．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
7．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
8．如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知的半径为3，点P是直线l上的一点，，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
10．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　）
A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3
11．如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2， 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
12．如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）
A．32 B．34 C．36 D．38
二、填空题
13．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为 ．
15．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．

16．如图，在中，是边上的一点，以为直径的交于点，连接．若与相切，为切点，，则的度数为 ．

17．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为 cm.
三、解答题
18．如图，是的弦，半径，交于点为延长线上一点，与相切于点与交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
19．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙O的切线吗？为什么？
20．如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
21．如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与☉O相切；
（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由；
（3）若AB=5，BE=4，求BD的长．
22．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的圆O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为圆O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
23．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
(1)求证：；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
24．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
《2.5直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B A C D B D B
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．
【详解】解：当时，直线是的切线．
证明：如图，连接OA．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．
2．B
【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
3．D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
4．B
【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MHOM，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM＝30°，
∴MHOM，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 dr，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．
5．A
【详解】试题分析：连接OC，根据切线的性质得OC⊥AB，根据等腰三角形的性质得AC＝AB，根据勾股定理求得OA的长．
如图，连接OC，
∵AB是切线，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC，
∵AB＝10cm，∴AC＝5cm，
∵OC＝4cm，
∴OA＝＝cm．
故选A．
点睛：本题考查了切线的性质、勾股定理和等腰三角形的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解决此题的关键．
6．C
【分析】如图，作于．解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于．
，
，
在中，，
，
直线与相离．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．D
【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得．
【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H，
则，
，，
四边形是正方形，
的半径为4，且，
，，
，
与相切于点E，
，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，解题的关键是根据切线长定理得出．
8．B
【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得．
【详解】解：连接，
，，
，，
，
，即，
，
，即，
则为圆的切线；
解：设，则，而，
在中， ，
即，
解得，
线段的长是．
故选：B．
9．D
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．
此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
【点睛】考查判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．
10．B
【详解】因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3.
故选B．
11．A
【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=8，
∴OP=，
∴PQ=．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
12．B
【详解】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选B．
13．．
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．
【详解】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=．
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在中，．
如图，当点P在C点上方时，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
14．33°/33度
【详解】解：过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴=,
直线EF必过圆心，EFAD，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为.
【点睛】属于圆的综合题，考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，垂径定理，比较基础.
15．3或5
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【详解】∵
∴与直线相切，OH=1
当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
16．/55度
【分析】根据圆的切线的性质，推出；根据直径所对的圆周角是直角，推出，从而得出即可．
【详解】解：∵与相切，
∴，即，
∵以为直径的交于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、直径所对的圆周角知识点，熟练运用切线的性质、直径所对的圆周角知识点是解题的关键．
17．8
【分析】连接OD、OE，由切线性质易得四边形ODBE为正方形.由切线长定理可知MD=MP，NP=NE，则Rt△MBN的周长等于BD+BE.
【详解】解：连接OD、OE，
由切线性质可知OD⊥AB、OE⊥BC，再结合∠B=90°且OD=OE可知四边形ODBE为正方形，则BD=BE=OE=4cm.由切线长定理可知MD=MP，NP=NE，则：
Rt△MBN的周长=BM+MN+BN=BM+MD+BN+NE=BD+BE=4+4=8cm，
故答案为4cm.
【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理.
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP=90°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠OCE，可得∠CFP=∠FCP，可得PC=PF；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，由题意可证四边形OCHB是正方形，由勾股定理可得BH=CH=3，可求PH，BP的长，即可求BF的长．
【详解】解：（1）连接．
，
．
与相切于点，
，
．
，
，
．
，
，
．
（2）过点作于点．
，
．
，
∴四边形OCHB是正方形，
∴BH=CH，
∵BH2+CH2=BC2，BC=，
∴BH=CH=3，
在中，，
∴PF=PC=3+4=7，，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识．
19．BD是⊙O的切线.
【详解】试题分析：连接OD，因为D在圆上，所以证∠BDO=90°即可．
试题解析：BD是⊙O的切线，理由如下：
连结OD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠BAD=30°，∴∠DOB=∠ODA+ ∠BAD=60°，
∵∠B=30°，∴∠ODB=180°-∠B-∠DOB=90°，即OD⊥BD，∴BD是⊙O的切线.
20．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【详解】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）CE＝AB﹣BE，理由见解析；（3）
【分析】（1）连接OD，先证OD∥BE，再根据BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得证结论；
（2）过点D作DH⊥AB于H，根据HL证Rt△BED Rt△BHD，再根据AAS证△ADH △CDE，再利用等量代换即可得出CE=AB-BE；
（3）证△ABD∽△DBE，根据线段比例关系即可求出BD的长度．
【详解】解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）CE=AB-BE，理由如下：
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH=DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED Rt△BHD（HL），
∴BH=BE，
∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，
∴△ADH △CDE（AAS），
∴AH=CE，
∵AB=AH+BH，
∴AB=BE+CE，
∴CE=AB-BE；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB=∠BED=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴BD=2．
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，则∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB = ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又OD⊥DE， AC⊥DE，所以DE是⊙O的切线继而可证得结论；
（2）连接DC．首先证△ODC为等边三角形，再根据三角函数的性质，求得AD、CD、ED、AE、EC的长，然后求得S△OEC =OC EF.
【详解】解：（1）连接OD.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠A=∠B=30°
∴∠A=∠ODB，
∴DO∥AC ，
∵DE⊥AC ，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）连接DC．
∵∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠DOC=60°．
∴△ODC为等边三角形．
∴∠ODC=60°，
∴∠CDE=30°
又∵BC=4，
∴DC=2，
∴CE=1．
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F．
∵∠ECF=∠A+∠B=60°,
∴EF=CE·sin60°=1×=
∴S△OEC =OC EF=×2×=.
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．(1)见详解
(2)，理由详见解析
【分析】（1）连接OE，由于AM、DE是的切线，，
,而，于是可证，从而有，根据圆周角定理有，那么，从而有；
（2）连接OC，由（1）得，而，于是可得，再由（1）得，易证，从而可知是直角三角形，而F是斜边上的中点，于是．
【详解】（1）证明：连接OE，即有，
∵AM、DE是的切线，
∴，，
又∵，
在△AOD和△EOD中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2），
理由：连接OC，
∵BC、CE是的切线，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握圆的切线的性质是解答本题的关键．
24．相切
【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切 d=r，进而判断得出即可
试题解析：
相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
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