2.7正多边形与圆同步练习（含解析）
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2.7正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是( )
A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）
A．130° B．120° C．80° D．60°
8．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A．扩大了一倍 B．扩大了两倍 C．扩大了四倍 D．没有变化
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知的半径为，内接于，，则（ ）
A． B． C． D．
12．圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
二、填空题
13．如图，是正六边形的外接圆，若正六边形的边长为3，则的半径为 ．
14．边长为a的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 .
15．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4．其中正确的有 ．（填序号）
16．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ．
17．五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为 度．
三、解答题
18．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
19．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G
求证：∠FGD＝∠ADC．
20．设圆的半径为1，若用的外切正六边形的面积来近似估计的面积，则的面积是多少？（结果保留根号）
21．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
22．如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．
(1)
(2)若，求的长．（参考数据：，结果精确到，可以直接利用（1）的结论）
23．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．
24．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
《2.7正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B C B D C C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
2．D
【分析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
3．C
【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
【详解】∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍，
，
∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的倍．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．
4．B
【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可．
【详解】如图，延长，分别交于M，N，
阴影部分的面积为：．
故选：B．
5．B
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
6．C
【分析】还原点A折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论．
【详解】解：如图，点为点A折叠前的位置，
∵折叠，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
7．B
【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．
考点：圆内接四边形的性质．
8．D
【分析】设正n边形的边长为x，根据正多边形的性质结合锐角三角函数求出半径的长，再求出比值，即可确定其比值与圆的半径无关，从而选择．
【详解】如图为该正n边形的一部分，过点O作AB的垂线于点P，
设正n边形的边长为x，即AB=x，则．
根据正多边形性质可知它的每个中心角是，即，
∴，
∴半径，
∴正n边形的边长与半径之比为，
∴正n边形的边长与半径之比与圆的半径无关，
∴圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有发生变化．
故选D．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，圆的基本性质等知识．正确画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键．
9．C
【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
设该圆锥的底面半径为，
则，
解得，
该圆锥的高为．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆及圆锥的相关计算，以及勾股定理的应用，熟练掌握扇形与扇形所围圆锥侧面之间的等量关系是解题的关键．
10．C
【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
【详解】弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．
11．C
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】
解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=，
故答案为：C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．C
【分析】如图，四边形为的正方形，可得 证明为的直径，结合 从而可得答案.
【详解】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故选：C
【点睛】本题考查的是圆的内接正方形的性质，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理的应用，理解并运用圆内接正多边形的性质解题是解本题的关键.
13．3
【分析】根据正六边形的性质和圆的有关性质解题．
【详解】解：如图，连接 由题意可知：
则
∵，
为等边三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的综合性质是解题关键．
14． a 6a 2
【分析】在正六边形中作出一个正三角形AOB，并作出边心距OH，利用三角函数求出边心距，然后求出六个正三角形的面积的，就是这个正六边形的面积．这个正六边形的周长等于边长的6倍．
【详解】解：如图，ABCDEF是边长为a的正六边形，则△OAB是边长为a的正三角形，
边心距OH=OA sin60°=
周长为6AB=6a．
面积为6S△AOB=6××AB×OH=6×=,
故答案分别是：(1). ；(2). 6a；(3). ．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到等腰三角形AOB，然后作出弦心距，在直角三角形中进行计算求出弦心距，然后计算出正六边形的周长和面积．
15．①②④
【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【详解】连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a＝1：1；故①正确；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；故②正确；
a：b＝：2；故③错误；
T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
16．
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：在正六边形中，，
，
，
故答案为：．
17．72
【分析】把五角星看成正五边形，求出正五边形的中心角即可解决问题；
【详解】解：∵把五角星看成正五边形，正五边形的中心角==72°，
∴绕它的中心旋转72°角度后能够与自身重合，
故选：72．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．；
【分析】连接，求出的内接正六边形、的外切正六边形的边长和面积，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由正多边形的性质可得：，，
∴为等边三角形
∴，
由题意可得：，
∴
设，则，由勾股定理得
解得，
∵
∴，为的角平分线
∴
在中，，，解得
，
故；
【点睛】此题考查了圆的内接正多边形与外切正多边形的性质，涉及了垂径定理、切线定理、勾股定理等有关内容，熟练掌握相关基本性质求得多边形的边长和面积是解题的关键．
19．详见解析
【分析】利用内接四边形的性质可得：∠FGD=∠ACD，再利用垂径定理，可得AB垂直平分CD，故AC=AD，即可得∠ADC=∠ACD，所以∠FGD=∠ADC.
【详解】证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD=∠ACD．
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠FGD=∠ADC．
【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角、垂径定理及垂直平分线的性质.
20．
【分析】根据正多边形的定义可得出为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理结合的长度可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
【详解】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形为正六边形，
∴为等边三角形，
∵的半径为1，
∴，
∴
∴，即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正六边形的性质和正方形的性质分别求出，即可．
（2）连接交于点，连接交于．证明是等边三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵是正六边形和正方形的对角线，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：连接交于点，连接交于．
在正六边形中，，，
、 分别平分、，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
在正方形 中，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆，涉及正方形和正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
23．2.
【详解】试题分析: 延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC-S△BEC即可求解．
试题解析:
延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.
∵正六边形的边长为1，
∴正六边形的半径是1，则CE＝4，
由题意得中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是，
则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，
则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝×4×(－)＝2.
点睛: 本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC＝S△AEC S△BEC是关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
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2.7正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
2．下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是( )
A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（ ）
A．130° B．120° C．80° D．60°
8．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A．扩大了一倍 B．扩大了两倍 C．扩大了四倍 D．没有变化
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知的半径为，内接于，，则（ ）
A． B． C． D．
12．圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
二、填空题
13．如图，是正六边形的外接圆，若正六边形的边长为3，则的半径为 ．
14．边长为a的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 .
15．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4．其中正确的有 ．（填序号）
16．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ．
17．五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为 度．
三、解答题
18．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
19．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G
求证：∠FGD＝∠ADC．
20．设圆的半径为1，若用的外切正六边形的面积来近似估计的面积，则的面积是多少？（结果保留根号）
21．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
22．如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．
(1)
(2)若，求的长．（参考数据：，结果精确到，可以直接利用（1）的结论）
23．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．
24．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．
（1）求证：；
（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．
《2.7正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B C B D C C
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
2．D
【分析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
3．C
【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
【详解】∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍，
，
∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的倍．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．
4．B
【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可．
【详解】如图，延长，分别交于M，N，
阴影部分的面积为：．
故选：B．
5．B
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB=120°，由圆周角定理求出∠APC=30°．
【详解】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
6．C
【分析】还原点A折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论．
【详解】解：如图，点为点A折叠前的位置，
∵折叠，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
7．B
【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．
考点：圆内接四边形的性质．
8．D
【分析】设正n边形的边长为x，根据正多边形的性质结合锐角三角函数求出半径的长，再求出比值，即可确定其比值与圆的半径无关，从而选择．
【详解】如图为该正n边形的一部分，过点O作AB的垂线于点P，
设正n边形的边长为x，即AB=x，则．
根据正多边形性质可知它的每个中心角是，即，
∴，
∴半径，
∴正n边形的边长与半径之比为，
∴正n边形的边长与半径之比与圆的半径无关，
∴圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有发生变化．
故选D．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，圆的基本性质等知识．正确画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键．
9．C
【分析】先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
设该圆锥的底面半径为，
则，
解得，
该圆锥的高为．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆及圆锥的相关计算，以及勾股定理的应用，熟练掌握扇形与扇形所围圆锥侧面之间的等量关系是解题的关键．
10．C
【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
【详解】弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．
11．C
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】
解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=，
故答案为：C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．C
【分析】如图，四边形为的正方形，可得 证明为的直径，结合 从而可得答案.
【详解】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故选：C
【点睛】本题考查的是圆的内接正方形的性质，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理的应用，理解并运用圆内接正多边形的性质解题是解本题的关键.
13．3
【分析】根据正六边形的性质和圆的有关性质解题．
【详解】解：如图，连接 由题意可知：
则
∵，
为等边三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的综合性质是解题关键．
14． a 6a 2
【分析】在正六边形中作出一个正三角形AOB，并作出边心距OH，利用三角函数求出边心距，然后求出六个正三角形的面积的，就是这个正六边形的面积．这个正六边形的周长等于边长的6倍．
【详解】解：如图，ABCDEF是边长为a的正六边形，则△OAB是边长为a的正三角形，
边心距OH=OA sin60°=
周长为6AB=6a．
面积为6S△AOB=6××AB×OH=6×=,
故答案分别是：(1). ；(2). 6a；(3). ．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到等腰三角形AOB，然后作出弦心距，在直角三角形中进行计算求出弦心距，然后计算出正六边形的周长和面积．
15．①②④
【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【详解】连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a＝1：1；故①正确；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；故②正确；
a：b＝：2；故③错误；
T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
16．
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：在正六边形中，，
，
，
故答案为：．
17．72
【分析】把五角星看成正五边形，求出正五边形的中心角即可解决问题；
【详解】解：∵把五角星看成正五边形，正五边形的中心角==72°，
∴绕它的中心旋转72°角度后能够与自身重合，
故选：72．
【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．；
【分析】连接，求出的内接正六边形、的外切正六边形的边长和面积，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由正多边形的性质可得：，，
∴为等边三角形
∴，
由题意可得：，
∴
设，则，由勾股定理得
解得，
∵
∴，为的角平分线
∴
在中，，，解得
，
故；
【点睛】此题考查了圆的内接正多边形与外切正多边形的性质，涉及了垂径定理、切线定理、勾股定理等有关内容，熟练掌握相关基本性质求得多边形的边长和面积是解题的关键．
19．详见解析
【分析】利用内接四边形的性质可得：∠FGD=∠ACD，再利用垂径定理，可得AB垂直平分CD，故AC=AD，即可得∠ADC=∠ACD，所以∠FGD=∠ADC.
【详解】证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD=∠ACD．
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠FGD=∠ADC．
【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角、垂径定理及垂直平分线的性质.
20．
【分析】根据正多边形的定义可得出为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理结合的长度可求出的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
【详解】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形为正六边形，
∴为等边三角形，
∵的半径为1，
∴，
∴
∴，即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正六边形的性质和正方形的性质分别求出，即可．
（2）连接交于点，连接交于．证明是等边三角形，然后解直角三角形可求出，，再求出、，利用等腰直角三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵是正六边形和正方形的对角线，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：连接交于点，连接交于．
在正六边形中，，，
、 分别平分、，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
在正方形 中，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正多边形和圆，涉及正方形和正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
23．2.
【详解】试题分析: 延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC-S△BEC即可求解．
试题解析:
延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.
∵正六边形的边长为1，
∴正六边形的半径是1，则CE＝4，
由题意得中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是，
则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，
则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝×4×(－)＝2.
点睛: 本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC＝S△AEC S△BEC是关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
【点睛】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．
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