第十章三角形的有关证明同步练习（含解析）

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第十章三角形的有关证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
2．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与交于点F，H是的中点，连接，与交于点G．有下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）
A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
5．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（ ）
A．45° B．30 ° C．15° D．60°
6．射线OE在∠AOB的内部，下列四个式子中，不能判断OE是∠AOB的平分线的是（　　）
A．∠AOE=∠EOB B．∠AOE+∠EO B=∠AOB
C．∠AOB=2∠B OE D．∠AOE=∠AOB
7．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°
C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=40°，∠B=80°
8．如图，在钝角三角形ABC中，为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点下列结论错误的是
A．CE垂直平分AD B．CE平分
C．是等腰三角形 D．是等边三角形
9．如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
10．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米．宽为16厘米的长方形纸板上．剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，剪下的等腰三角形的面积为（　　　）
A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或20
11．如图，的平分线与的平分线相交于点P．若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图所示：在中，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ．
14．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是 ．

15．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片 即可
16．将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ．
17．如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6,10,12，三条角平分线的交点为o,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
三、解答题
18．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．
19．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：．
20．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
21．如图，为的中线，为上一点，，的延长线交于点，求证：．
22．如图，在中，，D，E分别是边和上的点，和关于直线对称，交于点F．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
23．已知：如图，，，求证：．
24．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD=20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE=AC．
《第十章三角形的有关证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C B C D A C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查了构成等腰三角形的条件，解题关键是熟记等腰三角形的性质及三边关系．
【详解】解：A．2，3，4不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误；
B．3，7，7符合构成等腰三角形的条件，符合题意，选项正确；
C．2，2，6不符合构成三角形的条件，不符合题意，选项错误；
D．5，6，7不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误，
故选：B
2．B
【分析】①根据角平分线的定义可得，然后证明出，可得，从而得证；②根据题意证明出，进而求解即可；③根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答；④过点G作于M，只要证明即可判断④错误．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，H为上的中点，
∴，，
设，则，，
∴，故③错误；
过点G作于M，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴正确的有①②，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．C
【分析】根据题中条件即可证明、、、．
【详解】解：∵，，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴；
∴全等三角形共有4对，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，仔细找出全等三角形有几对，并加以证明是关键．
4．B
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，
∵52+122=132
即AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB BC+AC DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
5．C
【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．
【详解】解：∵ABCD是长方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAF=60°，
∴∠DAF=30°，
∵长方形ABCD沿AE折叠，
∴△ADE≌△AFE，
∴∠DAE=∠EAF=∠DAF=15°．
故选C．
【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．
6．B
【详解】分析：根据角平分线的定义逐项分析即可.
详解：A、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
B、不能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项正确；
C、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
D、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
故选B．
点睛：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
7．C
【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案.
【详解】当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝50°时，∠C＝65°≠∠A，故A项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝60°时，∠C＝60°≠∠A，故B选项错误；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°＝∠B，故C选项正确；当顶角为∠A＝40°时，∠C＝70°≠∠B，当顶角为∠B＝80°时，∠C＝50°≠∠A，故D项错误.因此选C.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角相等，掌握这个知识点是解题的关键.
8．D
【分析】依据作图可得，，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：由题可得，，，
是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
，，
，
即CE平分，故B选项正确；
，
是等腰三角形，故C选项正确；
与AC不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．A
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，观察发现，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
即，
同理，，
则，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．解决本题的关键是得到．
10．C
【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．
【详解】解：如图四边形是矩形，cm，cm；
本题可分三种情况：
①如图（1）：中，cm；
cm2；
②如图（2）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有：cm；
cm2；
③如图（3）：中，cm；
在中，cm；
根据勾股定理有cm；
cm2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．
11．C
【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于点，于点，于点F，根据角平分线的性质，得到，进而得到，即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，于点，于点F，
∵的平分线与的平分线相交于点P，
∴，
∴，
即：点P到直线的距离为3；
故选：C．
12．D
【分析】本题考查等腰三角形性质、全等三角形的判定定理等知识，根据题中条件，由等腰三角形性质即可验证各个结论正确与否，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，则，②正确；
，即是等腰顶角的角平分线，
由等腰三角形“三线合一”可知，③④正确；
，，，
，①正确；
综上所述，结论正确的有①②③④四个，
故选：D．
13．1
【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长．
【详解】过点作，
设，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：1
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数．求出是解题的关键．
连接，证明是等边三角形，从而求得，根据菱形的性质求得，继而求得，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：连接，

∵E为的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴．
故答案为：．
15．②
【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案是：②．
【点睛】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．
16．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可．
【详解】解：添加的条件是：．
∵，
∴在和中，
，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】过O作OD⊥AB于D，OF⊥BC于F，OE⊥AC于E，根据角平分线性质求出OD=OF=OE，根据三角形面积公式求出即可.
【详解】
如图，过O作OD⊥AB于D， OF⊥BC于F，OE⊥AC于E，
∵O为△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6,10,12，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=(AB×OD):(BC×OF):(AC×OE)=AB:BC:AC=6:10:12
=.
故答案为.
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是关键.
18．（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析
【分析】（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．
【详解】解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC=8，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，
∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，
∴＜AD＜，
故答案为：SAS，＜AD＜；
（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，
同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，FD=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
（3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN．
理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G．
由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD=∠E，AB=CE，
∵∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠BAC+∠MAN=180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB=MA，AC=AN，
∴CE=MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，
∴2AD=MN．
∵∠NAC=90°，
∴∠EAC+∠NAG=90°，
∴∠MNA+∠NAG=90°，
∴∠AGN=90°，
∴AD⊥MN．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故．
【详解】证明：∵是的角平分线
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．详见解析
【分析】在△ABC中，AD是中线，得BD=CD，根据∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
得△BED≌△CFD，故BE=CF．
【详解】证明：∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED与△CFD中，
∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD，
∴BE=CF．
【点睛】全等三角形的判定和性质.
21．见解析
【分析】过点B作，交的延长线于点，过点作于点，根据三角形的中线的定义可得 ，证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后得出．
【详解】证明：如下图，过点B作，交的延长线于点，过点作于点，
为的中线，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，证明是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查成轴对称的性质，等腰三角形的判断和性质：
（1）对称得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，进行计算即可；
（2）对称得到，进而得到，再利用三角形的外角，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵和关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵和关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】由两角和夹边即可得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可到AE=AD，AB=AC，进而可得出结论BE=CD，再利用△BOE≌△COD，得出结论．
【详解】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AE=AD，AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD，
∴BE=CD，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD，
∴OE=OD
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是理解全等三角形的判定能找出隐含的条件．
24．见解析．
【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明．
【详解】证明：连接AE，
∵∠ACB的外角是110°，
∴∠ACB=180°﹣110°=70°，
∵∠DAC=20°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴AD⊥EC，
∵DE=DC，
∴AE=AC，
∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴BE=AC．
【点睛】本题考查三角形外角的定义、线段垂直平分线的性质、垂直的定义，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
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