10.1全等三角形同步练习（含解析）

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10.1全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定
2．如图，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有（ ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
3．如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（ ）．
A．Rt△ACD和Rt△BCE全等 B．OA=OB C．E是AC的中点 D．AE=BD
4．如图，在与中，．若，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
6．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
7．如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
8．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　）

A．12 B．7 C．2 D．14
9．如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
11．如图：，则∠D的度数（　　）

A．30° B．60° C．45° D．90°
12．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边 B．三角形中位线定理 C．边边边 D．全等三角形的对应角相等
二、填空题
13．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为 ．
14．如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是 ．
15．如图，在中，于点，于点，与交于点，，则的长度为 ．
16．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD， ＝ ，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．
17．如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，用SSS判定两个三角形全等，应补充条件 ．
三、解答题
18．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：点O为BF的中点．
19．如图①，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥CA的延长线点E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE进而得到AC=DE，BC=AE， 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G，求证：点G是DE的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A为平面内任意一点，点B的坐标为（4，1），若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标．
20．四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；
(2)如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA=CB+CD；
(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．
21．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC．
22．如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F．
(1)求证：ABC≌ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
23．如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：ABEDCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．

24．如图，在网格上有一个．
(1)画，使它与关于直线l成轴对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到AB的距离之和最短；
(3)在直线l上找一点Q，使为直角．
《10.1全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B C B A C B
题号 11 12
答案 A A
1．C
【详解】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C.
2．B
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有△ABD≌△AED，△ABC≌△AEC，△BDC≌△EDC,
故选：B.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
3．C
【分析】根据HL证Rt△ACD≌Rt△BCE即可判断A；根据以上全等推出AE=BD，再证△AOE≌△BOD，即可判断B和D，根据已知只能推出AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，即可判断C．
【详解】解：A.∵∠C=∠C=90°，
∴△ACD和△BCE是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∵AD=BE，DC=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；
B.∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，
在△AOE和△BOD中，
∵
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AO=OB，正确，不符合题意；
C.AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意；
D.∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B=∠A，CB=CA，
∵CD=CE，
∴AE=BD，正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据证明，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴（），
∴，，，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
根据全等三角形的判定与全等三角形的性质逐项进行分析与判断．
【详解】解：A、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
B、判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等，正确，符合题意；
C、面积相等的两个三角形的对应边不一定相等，无法判定全等，不符合题意；
D、周长相等的两个三角形的对应边不一定相等，无法判定全等，不符合题意．
故选：B．
6．C
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
7．B
【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可证明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的长，根据实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG，
∴AF=BG=2，EF=AG=5，
同理可得：△CDH≌△BCG，
∴CH=BG=2，CG=DH=3，
∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
∴实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC==32．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．
8．A
【分析】由题意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解．
【详解】解：△ABC≌△DEC，
BC=EC，AC=DC，
CE＝5，AC＝7，
BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】延长交于H，延长交于F，

∵，
∴
∴，
∴，
∴
故①②正确，
∴，
故③是错误的，
∵，
∴，
故④是正确的，
故选：C．
10．B
【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．
【详解】∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠F，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等是解题的关键．
11．A
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，即可求解.
【详解】∵在中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∵，
∴∠D=∠A=30°，
故选A.
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，得到对应角相等，是解题的关键.
12．A
【分析】根据O是AD与BC的中点，得到OA=OD，OB=OC，根据∠AOB=∠DOC，推出△AOB≌△DOC，是SAS．
【详解】∵O是AD与BC的中点，
∴OA=OD，OB=OC，
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)．
故选A．
【点睛】本题考查了测量原理，解决此类问题的关键是根据测量方法和工具推导测量原理．
13．4cm．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC，AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=BC=BD=4．
【详解】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE=BC=BD=4cm，
∴AC=4cm．
故答案为：4cm．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，根据折叠性质得，根据全的三角形的性质，的周长就等于的周长，解题的关键是掌握知识点的应用．
【详解】解：根据题意得，，
∴的周长就等于的周长，
∵，
∴的周长为：，
∴的周长为，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质得到是解题的关键．根据题意可证，得到，则，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5 ．
16． BC AD
【分析】因为夹∠ABC的两边分别为AB的BC，所以再加上BC＝AD，得△ABC≌△BAD（SAS）．
【详解】解：∵AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，
∴再加上BC＝AD，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
故答案为：①BC；②AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法是：①SSS②SAS③ASA④AAS．
17．BC＝ED
【分析】根据AD＝FC，得出AC=DF，再根据AB＝FE，BC＝ED，根据SSS推出即可．
【详解】解：条件是BC=DE，
理由是：∵AD=FC，
∴AD+DC=CF+DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△FED中
∴△ABC≌△FED，
故答案为BC=ED．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理—SSS,三边对应相等两个三角形全等．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证明△ACO≌△DEO即可得到O为BF的中点．
【详解】（1）∵ABDF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
，
∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
19．（1）见解析；（2）A(，)或(，-)．
【分析】（1）过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N．根据“K字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN，即EN=DM，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG，即点G是DE的中点．
（2）分情况讨论①当A点在OB的上方时，作AC垂直于y轴，BE垂直于x轴，CA和EB的延长线交于点D．根据“K字模型”即可证明，再利用B点坐标即可求出A点坐标．②当A点在OB的下方时，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．同理即能求出A点坐标．
【详解】（1）如图，过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH和△DAM中，
∴△ABH△DAM（AAS），
∴AH=DM．
同理 △ACH△EAN（AAS），
∴ AH=EN．
∴EN=DM．
在△DMG和△ENG中 ，
∴△DMG△ENG（AAS）．
∴DG=EG．
∴点G是DE的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A点分别在OB的上方和下方．
①当A点在OB的上方时，如图，作AC垂直于y轴，BE垂直于x轴，CA和EB的延长线交于点D．
利用“K字模型”可知，
∴，
设，则，
∵，
∴，
又∵，即，
解得，
∴，．
即点A坐标为(，)．
②当A点在OB的下方时，如图，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．
根据①同理可得：，．
即点A坐标为(，)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
(3)①证明见解析；②证明见解析
(4)
【分析】（1）根据对角互补四边形的定义和四边形内角和定理可知对角互补四边形两组对角都互补，再根据比例关系，依次即可求得∠B，∠C的度数，由此可求∠A的度数；
（2）先根据对角互补四边形的定义证明，从而利用边角边可证明，可得AC=AM，再根据角的数量关系求得，从而可得△ACM是等腰直角三角形，继而可证得平分，根据等腰直角三角形的性质和线段的数量关系可得CB、CD、CA三者关系；
（3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，求出，即可证明；②由①中全等三角形对应边相等，再根据线段的数量关系直接可证明；
（4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解．
【详解】（1）四边形为对角互补四边形，
，
，
，
∴ ，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴（SAS）
， ，
∴，
∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°，
∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分，
，
，
，
故答案为：；
（3）①延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分；
②，，
，
；
（4）延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，
为的中点，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线作出全等三角形是解题的关键．
21．证明见解析
【详解】试题分析：由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可.
试题解析：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．
22．(1)见解析
(2)AC⊥DE，见解析
【分析】（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BC＝2EC，
∵BC＝2AB，
∴AB＝EC，
∵，
∴∠B＋∠ECD＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）；
（2）AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠CED＋∠ACB＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴AC⊥DE．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）证明见解析 （2）5
【分析】（1）根据，，和是对顶角，利用证明即可;（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，最短距离问题等知识：
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（2）连接交直线l于点P，点P即为所求；
（3）找出格点G，连接交直线于即可
【详解】（1）解：如图所求，即为所画：
（2）解：如图所示，点P即为所画，
（3）解：如图所示，点Q即为所画，
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