10.2等腰三角形同步练习（含解析）

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10.2等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．等腰三角形两边a，b满足，则此三角形的周长是（ ）
A．7 B．5 C．8 D．7或5
2．如图，是等边三角形，AD是角平分线，是等边三角形，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（　　）
A． B． C． D．或
4．如图，△ABC中，∠B=∠C，BD=CD， 则下列判断不一定正确的是（）
A．AB=AC B．AD⊥BC C．∠BAD=∠CAD D．△ABC是等边三角形
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C． D．a与b相交
11．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
12．下列叙述不正确的是（ ）
A．等腰三角形一定是锐角三角形
B．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
C．其中有一个内角为的等腰三角形是等边三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
二、填空题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，BD=10，则PM+PN= ．
14．等腰三角形的一边长是2cm,另一边长是4cm,则底边长为 cm.
15．如图，等边三角形中，于点D，点分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ．
16．已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为 ，若直角边长为2，则斜边长为
17．等边三角形是特殊的 三角形，因此它也是 图形，有 条对称轴．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．
19．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求OC的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
20．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形的三边长．
小明自己画出了图形，并结合图形写出了下列解法，李老师说小明的解法不能得全分，请你说明理由，并继续给出一个满分的答案．
解：设AB的长为x，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝x
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD=x，∴AB+BD=x，
∴x＝15，x＝10，
∴AB＝BC＝10，DC＝5，AC＝12﹣DC＝7，即△ABC的三边长分别为：10，10，7．
21．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点作的中垂线，垂足为”；
彬彬：“作的角平分线”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．
（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
22．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
23．（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

24．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
《10.2等腰三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D D A D C C D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】根据非负数的性质，列出方程组，进而求得的值，进而根据题意分类讨论，即可求得答案．
【详解】
解得
当为等腰三角形的腰时，，不能构成三角形；
当为等腰三角形的腰时，等腰三角形的周长为：．
故选A．
【点睛】本题考查了非负性的性质，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可一一判断．
【详解】∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AE=AD=ED，∠EAD=60°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠DAB=∠DAC=30°，
∴AD⊥BC，故A正确，
∴∠EAB=∠BAD=30°，
∴AB⊥ED，EF=DF，故B正确，
∴BE=BD，故C正确，
∵AE=AD，D在BC上，
∴AC> AD=AE，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题．
3．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．由题意知，的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角．
【详解】解：∵在一个内角是的等腰三角形中，该内角必为顶角，
∴底角的度数为，
故选：A．
4．D
【分析】在△ABC中，由∠B=∠C得出AB=AC，由BD=CD，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案.
【详解】解：∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
故A、B、C正确，D错误． 故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定和性质.
5．D
【分析】分等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由题意得：，，
∴，
∴此等腰三角形的底角的度数为；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由题意得：，，
∴，
∴此等腰三角形的底角的度数为；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理和三角形外角的性质，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质可求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解∶如图，
根据题意，得，，
∴，
故选∶A．
7．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，连接，先证明，得到，从而推出当三点共线且时最小，即此时最小，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时最小，即此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，，
同理可得，则，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故选：D．
8．C
【详解】先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰三角形．
解：∵AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．
故选C．
9．C
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理．设直线与交于点，与交于点，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数．
【详解】解：设直线与交于点，与交于点，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
为的一个外角，
，
直线，
．
故选：C．
10．D
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答．
【详解】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，
应假设：a不平行b或a与b相交．
故选D．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
11．B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解．
【详解】解：如图，
则符合条件的C点有8个，
故选：B．
12．A
【分析】本题考查等腰三角形即等边三角形的性质与判定，根据等边三角形的性质及判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A.等腰三角形的顶角可能是钝角，所以等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，原说法错误，符合题意；
B.正确，符合等边三角形三线合一的性质，不符合题意；
C.正确，符合等边三角形的判定，不符合题意；
D.正确，符合等边对等角及等角对等边的性质，不符合题意．
故选A．
13．10
【详解】解：如图，连接AP．∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴AC BD=AB PM+AC PN．∵AB=AC，∴PM+PN=BD．∵BD=10，∴PM+PN=10．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，作辅助线把△ABC分成两个三角形是解题的关键．
14．2
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．由此即可解答.
【详解】当底边为2cm时，则腰长为4cm,，4+4＞2,符合三角形的三边关系；当底边为4cm时，则腰长为2cm,，2+2=4,不符合三角形的三边关系，所以底边不能够为4cm；综上，底边只能为2cm.故答案为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要分类进行讨论，还要注意验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
15．或
【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得，分两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：是等边三角形，，
由折叠的性质可得：
若且
若
故答案为∶ 或．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；设直角边长为，由等腰三角形的性质及勾股定理得，，即可求解；掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设直角边长为，
则，
可得；
斜边为：
=2．
故答案：，．
17． 等腰 轴对称 3
【分析】根据等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性即可得出结论．
【详解】解：等边三角形是特殊的__等腰___三角形，因此它也是__轴对称____图形，有____3___条对称轴．
故答案为：等腰；轴对称；3．
【点睛】本题考查等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性，掌握等边三角形与等腰三角形的联系与区别，具有等腰三角形的一切性质，和自身的独特性是解题关键．
18．见解析.
【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=30°，根据外角性质可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，进而可知∠4=∠5=60°，得证．
【详解】证明：如图，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质．
19．(1)点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）
(2)
(3)存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）
【分析】（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，即可求解
（2）OC=x，则AC=BC=4-x，在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题；
（3）分三种情形讨论：当PA＝PB时，当PA＝AB＝5时，当PB＝AB时，分别求解即可解决问题；
【详解】（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：当PA＝PB时，点P与点C重合，如图，
此时OP=OC=，
∴P（，0）；
当PA＝AB＝5时，如图，
∴OP1=AP1-OA=5-4=1，OP2=OA+AP2=4+5=9,
∴P（﹣1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，如图，
∵PB=AB，OB⊥AP，
∴OP=OA=4，
∴P（﹣4，0），
综上，存在，P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）时，使△PAB为等腰三角形．
【点睛】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．10，10，7或8，8，11
【分析】分两种情形分别构建方程即可解决问题.
【详解】小明的解法是AB＞AC是情形．
当AB＜AC时，x＝12，解得x＝8，
∴AB＝BC＝8，DC＝4，AC＝15﹣DC＝11，
此时△ABC的三边分别为8，8，11．
综上所述，△ABC的三边分别为10，10，7或8，8，11．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．解：（1）只要合理即可．
（2）证明：作的角平分线，则，
又，，
，．
【详解】（1）只可以说过点A作BC的垂线AD或取BC的中点D，连结AD
（2）利用辅助线找出全等三角形的条件即可
22．见解析
【分析】假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°.根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
23．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，先证明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再证明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，证明△DCM是等腰直角三角形即可；
（2）探究一：延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MBC，根据ASA推出△EMD≌△BMN，证出BN=AD，证明△CMD为等腰直角三角形即可；
探究二：作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出∠E=∠NBM，根据ASA证△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD为等腰直角三角形．
【详解】解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，
∵∠EDA=∠ABN=90°，
∴DE∥BN，
∴∠DEM=∠MBN，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
在△CAD和△CNB中，
，
∴△CAD≌△CNB，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DN，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM；
（2）探究一，
理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，
，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵AC=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM；
探究二，
理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中
，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
，
平分，
，
，
，
∵，，
∴的周长为：
．
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