10.3直角三角形同步练习（含解析）

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10.3直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　）
A．5组 B．4组 C．3组 D．2组
2．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）
A．4 B．2或 C．4或 D．2或
4．如图1，点P从的顶点B出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点A．作于点D，点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
5．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．三角形的三边长a、b、c满足a2-c2=b2，则此三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
7．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）

A． B． C． D．
8．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c, 下列命题为真命题的是( )
A．如果∠A=2∠B=3∠C,则△ABC是直角三角形
B．如果∠A:∠B:∠C=3: 4: 5,则△ABC是直角三角形
C．如果a: b: c=1: 2: 2,则△ABC是直角三角形
D．如果a: b: c=3: 4: 5,则△ABC是直角三角形
9．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（　　）
A．《九章算术》 B．《几何原本》
C．《海岛算经》 D．《周髀算经》
10．如图，在Rt中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．
11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、都是格点，则线段的长度为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．25
二、填空题
13．已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是 ．
14．如图，在中，，为等边三角形，于点E，若，，则的长为
15．一名徒步爱好者来美丽永州旅行，他从宾馆C处出发，沿北偏东的方向行走2000米到达某书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆C处南偏东45°方向的滨江公园B处，如图所示，求的距离＝ 米．
16．若△ABC中，(b－a)(b＋a)=c2，则∠B= ；
17．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．
三、解答题
18．如图，中，为直角，，于，若，求的长．
19．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池.该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是半径为8m的半圆，其边缘m，点在上，m.一滑板爱好者要从点滑到点，则他滑行的最短距离是多少 （边缘部分的厚度忽略不计，取3）
20．已知，如图，在中，，点分别是上的点，且，，，若73°，35°，求的度数.

21．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：
（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；
（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
22．如图所示，中：

(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求边上的高．
23．如图，在平面直角坐标系中，，，点坐标为，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点．
(1)若点恰好落在上，求的值；
(2)若，求的值；
(3)当时，的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．
24．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
《10.3直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B C B D B C
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．
【详解】①中有92+122=152，可以构成直角三角形；
②中有72+242=252，可以构成直角三角形；
③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；
④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；
⑤中有( n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；
所以可以构成4组直角三角形.
故选B.
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．
2．B
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选B．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．C
【分析】分5为斜边和5为直角边两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】因为一个直角三角形的两边长分别为3和5，所以当5是此直角三角形的斜边长时，设另一直角边长为，则由勾股定理得，解得；当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为，则由勾股定理得，解得．故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是知道如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
4．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，正确理解几何图形与函数图形的关联是解答本题的关键．根据已知图形中图1与图2的关联信息画出点的运动路径，再根据和求出，，的长，最后根据勾股定理即可得到答案．
【详解】设点为点所在运动路径中的转折点，根据题意画出点运动的路径图如图所示，
根据图2可知，当时，，
即此时，，
，
又由图2知，当时，，
此时，
，
，
，
，
．
故选B．

5．B
【详解】分析：x可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对x的取值进行讨论．
解答：解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2；
当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2．
故选B．
点评：本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论．
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状即可．
【详解】因为三角形的三边长a、b、c满足a2-c2=b2，
即a2=c2+b2，
所以此三角形是直角三角形，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．
7．B
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选：B．

【点睛】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
8．D
【分析】由三个内角的比例关系可求出内角度数，从而判断A、B选项，根据勾股定理逆定理判断C、D选项.
【详解】A. ∵∠A=2∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+∠A=180°，
∴∠A=，∠B=，∠C=
∴△ABC不是直角三角形，故A是假命题；
B.∵∠A:∠B:∠C=3: 4: 5，
设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
则3x+4x+5x=180°
解得x=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
故△ABC不是直角三角形，B是假命题；
C. ∵a: b: c=1: 2: 2，
∴△ABC不是直角三角形，C是假命题；
D. ∵a: b: c=3: 4: 5，
∴△ABC是直角三角形，D是真命题；
故选D.
【点睛】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握三角形角度计算和勾股定理逆定理是关键.
9．B
【分析】根据数学常识逐一判别即可得．
【详解】A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选B．
【点睛】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．
10．C
【分析】设BC＝x，根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC＝2x，根据勾股定理得出方程22+x2＝（2x）2，求出x即可．
【详解】解：设BC＝x，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2x，
∵AC＝2，
∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
22+x2＝（2x）2，
解得：x＝，
∴AB＝2x＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB＝2BC，用了方程思想．
11．B
【详解】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8．
故选B.
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和30°直角三角形的性质，正确作出辅助线，求得MN的长是解决问题的关键．
12．A
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【详解】解：如图所示：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
13．
【分析】作于，由等腰三角形的性质和勾股定理，进行计算即可得到答案.
【详解】解：作于，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得,，
，
的周长为：，
故答案为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
14．
【分析】以为边在右边作等边三角形，连接，证明，继而证明三点共线，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，求得,进而即可求得．
【详解】解：如图，以为边在右边作等边三角形，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
又
∴
∴，,
∵
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．
【分析】过C作于P，利用勾股定理以及直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：过C作于P，如下图
则，
由题意可得：，米，，
∴（米），
∴（米），
在中，米，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形．
16．90°
【分析】将原式整理得a2+c2=b2，则△ABC为直角三角形，且b为斜边，则∠B=90°.
【详解】解：原式= b2 -a2= c2 即a2+c2=b2，
∴△ABC为直角三角形，且b为斜边，
则∠B=90°.
故答案为90°.
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，解此题的关键在于熟练掌握相关知识点.
17．5
【详解】由题意知：盒子底面对角长为=10cm，
盒子的对角线长：=20cm，
细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20=5cm．
18．12
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC，求出∠DCB＝30，求出BC＝2BD＝4，即可求出答案．
【详解】为直角，，
，
于，
．
，
．
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
19．30m
【分析】如图，把“半圆柱” 展开后，连接，根据“两点之间线段最短”可知线段AE的长即为最短距离，再由勾股定理求得AE的长即可．
【详解】如图所示
由题意可知,（m），
（m）.
在中，由勾股定理得,
，
∴m，
即他滑行的最短距离是30 m.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把“半圆柱” 展开，根据两点之间线段最短确定线段AE的长即为最短距离是解决问题的关键．
20．∠AED=53°.
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=35°，根据勾股定理的逆定理得到∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠ADB=72°，进而根据平角的定义得到∠EDC=18°，再根据三角形外角的性质得到∠AED的度数．
【详解】∵，35°，
∴35°；
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，90°；
又∵180°，73°，
∴180°-73°-35°=72°；
又∵180°，
∴180°-72°-90°=18°；
∴18°+35°=53°.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（1）BP=7海里；（2）没有危险，理由见解析．
【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
（2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小．
【详解】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30°
∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°，
∴∠PAB=∠APB
∴BP=AB=7（海里）
（2）过点P作PD垂直AC，
则∠PDB=90°
∴PD=PB=3.5＞3
∴没有危险
22．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：，
设，则，，
，
，
；
（2）如图，作于点，

，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)；
(2)或．
(3)结论：是定值；理由见解析
【分析】（1）如图中，先求解，证明，由点为的中点，可得，求解，，从而可得答案；
（2）如图中，当时，设交于点．在直角三角形中，，，，，再结合直角三角形中，，，，可得答案，如图中，当，设的延长线交于点，同法可证，从而可得答案；
（3）如图中，由，可得，不重合，由，证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图中，
，
，
，，
，
，
由题知，，
，
点为的中点
，
在直角三角形中， ，
，
，即，
；
（2）如图中，当时，设交于点．
，，
，
，
，
，
在直角三角形中，，
，，
在直角三角形中，，，，
，即，解得，
，，
；
如图中，当，设的延长线交于点同法可证，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（3）结论：是定值．
理由：如图中，∵，
∴，不重合，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，熟练的利用以上知识解题是关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）利用证明即可证明结论；
（3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴平分，平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
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