10.4线段的垂直平分线同步练习（含解析）

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10.4线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是（ ）

A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
2．如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A＝30°，BC＝2，则AH的长是(　　)
A． B．2 C．+1 D．2﹣2
4．如图，四个点 P1， P2 ，P3 ，P4 中，到 OM,ON 的距离相等，且到 A，B 两点的距离也相等的点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
5．如图，中，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线，在射线上任取一点D，连接．若，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．6
6．下列说法错误的是（ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
7．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点M，则BC与MB的比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．3：4
9．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( )
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
10．如图，在中，的垂直平分线交于点，若cm，则两点之间的距离是
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
11．在数学课上，老师提出如下问题；如图，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得.下面是四个同学的作法，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC=3，BC=4，则DE等于（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，AB的垂直平分线交A于点D，交BC于点E，若，，则的周长为 ．
14．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝ ．
15．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=20，则△PMN的周长为 ．

16．如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为 ．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为 ．
三、解答题
18．如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使为等腰直角三角形，且C为直角顶点，这样的点C有几个？
19．已知：如图，是的高线，的垂直平分线分别交，于点．求证：．
20．如图，，点E，F，B在同一直线上，．
(1)判断与是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由；
(2)当和满足什么数量关系时，？请给出结论并说明理由．
21．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
（1）∠ECD和∠EDC相等吗？
（2）OC和OD相等吗？
（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？
22．如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
23．已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B、D两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）

结论：BE=DE
24．综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】
对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．发现四边形满足：，．查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步应用】
(1)如图1，在中，若，，那么___________°．
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究．如图2，求证：
(2)；
(3)垂直平分线段．

《10.4线段的垂直平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A A C B D C
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
2．C
【分析】延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，所以①是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用x表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴①是正确的；
∵，
∴，
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
∴②是不正确的；
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③是正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴④是正确的，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．D
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2，再利用基本作图得到FG垂直平分AC，CH＝CF，则FA＝FC，所以∠A＝∠FCA＝30°，接着证明△BCF为等边三角形，所以CF＝CB＝2，然后计算AC﹣CH即可．
【详解】在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AC＝BC＝2，
由作法得FG垂直平分AC，CH＝CF，
∴FA＝FC，
∴∠A＝∠FCA＝30°，
∴∠BCF＝60°，
∴△BCF为等边三角形，
∴CF＝CB＝2，
∴AH＝AC﹣CH＝2﹣2．
故选D．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
4．B
【分析】到角的两边距离相等的点是在该角的角平分线上，到两点间距离相等的点是在两点的垂直平分线上，画图即可得答案
【详解】解: 到 OM,ON 的距离相等，且到 A，B 两点的距离也相等的点是∠MON的角平分线及AB的垂直平分线的交点，画图可知该点为P2
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线及垂直平分线的特征，掌握到角的两边距离相等是在角的角平分线上，到两点间距离相等的点是在两点垂直平分线上是解题的关键
5．A
【分析】连接、（图见详解），由可得为线段的垂直平分线，再利用勾股定理求出、，即可求得的长．
【详解】如图，连接、，设交于点O
由作图步骤可知：
E点在线段的垂直平分线上
A点在线段的垂直平分线上
垂直平分线段
，
在中，由勾股定理得
在中，，由勾股定理，得
故选：A
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和勾股定理，掌握相关知识并能熟练运用是解决本题的关键．
6．A
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质解决此题．
【详解】解：A、根据一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形，得这两个直角三角形中有两个角分别相等，但无法推断一组对应边相等，那么A错误，那么A符合题意；
B、根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，那么B正确，故B不符合题意；
C、根据三角形的内角和定理，由三角形的两个内角等于60°，得这个三角形的三个内角均为60°，根据等边三角形的判定，这个三角形是等边三角形，那么C正确，故C不符合题意；
D、根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合，那么D正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解决本题的关键．
7．C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：垂直平分，且，
，
的周长为，
，
，即，
则的周长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．B
【分析】根据题意画出草图．由线段垂直平分线的性质，易求∠BMC＝2∠A＝30°．根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图所示:
∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∴∠A＝∠MBA．
∴∠BMC＝2∠A＝30°．
∴BC：BM＝1：2．
故选B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、含30°角的直角三角形性质等知识，比较简单．
9．D
【详解】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．
解答：解：∵PB=PC，
∴P在线段BC的垂直平分线上，
故选D．
10．C
【分析】首先连接，由是线段的垂直平分线，即可得cm．
【详解】解：如图所示：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选C．
【点睛】考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用是解此题的关键．
11．C
【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．
【详解】A的作法：如图1，以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PB=BC，故此选项错误；
B的作法：如图2，作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．PA=PB，不能得出PA=PC，故无法得出PA+PB=BC，故此选项错误；
C的作法：如图3，作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．PA=PC，故得出PA+PB=PC+PB=BC，故此选项正确；...
D的作法：如图4，作的平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．不能得出PA=PC，故无法得出PA+PB=BC，故此选项错误.
故选：C　　
【点睛】本题主要考查了复杂作图，正确把握线段垂直平分线的性质是解题关键．
12．C
【分析】连接AE，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AE，
∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
由题意得，MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
在Rt△ACE中，，即，
解得，AE= ，
由勾股定理得，DE= ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．11．
【分析】根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可得到AE=BE，则，代入即可求解．
【详解】解：∵AB的垂直平分线交A于点D，交BC于点E，
∴AE=BE，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
14．
【分析】过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x， AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．
【详解】解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．
15．20
【分析】根据垂直平分线性质定理，得到，，即可得到△PMN的周长.
【详解】解：根据题意，OA垂直平分，OB垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴△PMN的周长为：20.
【点睛】本题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质.
16．15
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后结合已知可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为15，
故答案为：15，
17．12
【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决．
【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线，
∵AO与BC交于点D，
∴BD＝CD，
∵BD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题．
18．2个
【分析】连接，作线段的垂直平分线，交于点O．在上分别作，故这样的点有2个．
【详解】2个，如图所示．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，等腰直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．见解析
【分析】根据题意可得：可得，通过证明，即可求证．
【详解】证明：由题意可得：、，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴、，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
20．(1)与全等，理由见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得到，可证得，即可；
（2）根据，可得，从而得到，即可．
【详解】（1）解：与全等；
理由：∵，，
∴，
∴，即．
又∵，，
∴；
（2）解：当时，；理由如下：
如图，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，垂直平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．（1）∠EDC与∠ECD相等；（2）OC与OD相等；（3）OE是线段CD的垂直平分线．
【详解】试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出CE=DE，从而得出△CDE为等腰三角形，从而得出答案；(2)、根据角平分线的性质得出Rt△ODE和Rt△OCE全等，从而得出答案；(3)、根据CE=DE，OC=OD得出答案.
试题解析：(1)、∠EDC与∠ECD相等
∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC=ED，∴△CED是等腰三角形， ∴∠EDC=∠ECD；
(2)、OC与OD相等
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠ODE=∠OCE=90° 在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OE（公共边），DE=CE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL） ∴OD=OC
(3)、OE是线段CD的垂直平分线
∵EC=ED，∴E点在线段CD的垂直平分线上 ∵OC=OD，∴O点在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
考点：(1)、角平分线的性质；(2)、中垂线的性质.
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接，与交于点O，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴
∴在和中，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴．
23．见解析
【分析】因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上， 首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．
【详解】解：作图如下：

结论：点E为所求
24．(1)20；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）证明，根据内角和定理、外角性质和全等三角形的性质即可求解；
（2）根据即可证明；
（3）根据（2）全等的性质和线段垂直平分线的判定定理即可证明；
【详解】（1）在中，若，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
；
（2）证明：在和中，
∴；
（3）证明：∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．
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