10.5角平分线同步练习（含解析）

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10.5角平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（　　）
A． B．
C． D．
4．已知锐角，那么的补角与的余角的差是：
A． B． C． D．
5．如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
（3）作射线．
A．射线是的平分线 B．线段平分线段
C．点和点关于直线对称 D．
6．如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：
①；
②；
③点到直线，直线，直线的距离相等；
④．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
8．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
9．作的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧使两弧在的内部相交于一点，则这个适当的长度（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．以上都不对
10．在内一点P到各边的距离都为2，且的面积为12，那么周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
11．如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
12．如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
13．到已知角两边距离相等的点的轨迹是 ．
14．如图，在Rt中，，平分，交于点，且，，则点到的距离是 ．
15．如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为 ．
16．如图，钝角三角形的面积为，最长边， 平分，点 M、N 分别是、上的动点，则 的最小值为

17．如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠CMA＝25°，则∠C的度数为 °．
三、解答题
18．如图，在中，平分，于点，过点作交于点．
求证：为的中点．
19．如图，在中，，平分交于点D，于点E，于点F，若，求的长．
20．(1)如图1，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试说明BE＋CF＝EF的理由；
(2)如图2，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACG，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，则BE，CF，EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
21．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：．
22．已知：如图，是内一点，，，，分别是垂足，且．求证：点在的平分线上．
23．如图，于E，于F，若
(1)求证：平分；
(2)直接写出之间的等量关系．
24．如图，在中，，．求证：平分．
《10.5角平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B A D A B A B
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
2．B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．C
【分析】点P到AB、BC的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．
【详解】解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．
4．B
【详解】试题解析：因为锐角 的补角为 ，余角为 ，所以的补角与的余角的差是 ，故本题应选B.
5．A
【分析】本题考查了用尺规作角平分线的相关知识，理解题目所给的作图步骤是解题关键；根据作图步骤判断即可解题．
【详解】解：根据作图的步骤和图形可知：尺规作图实际上是平分了，所以射线是的平分线，
故选：A．
6．D
【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断①；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断②；根据角平分线的性质即可判断③；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断④．
【详解】解：∵分别平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确；
∵的两条角平分线，相交于点
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵分别平分，
∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离，
∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键．
7．A
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值
【详解】过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故选A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和
8．B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
9．A
【分析】根据作已知角的角平分线的方法即可判断．
【详解】因为分别以C，D为圆心画弧时，要保证两弧在的内部交于一点，所以半径应大于，
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．B
【分析】根据题意得出即可得出答案．
【详解】解：如图，
根据题意可得
，
∴，
即周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，将的面积分成三个小三角形的面积表示从而得出其周长．
11．D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
12．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．
【详解】∵是边的垂直平分线，
∴；
故①正确；
过点F作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，

故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．这个角的平分线所在的直线
【分析】根据角平分线的性质即可得答案.
【详解】∵角平分线上的点到角两边的距离相等,
∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
故答案为：这个角的平分线所在的直线
【点睛】本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键.
14．3
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据勾股定理得出AD，根据角平分线的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，则DE为点D到BC的距离，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可．
【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上，
∴点到两个坐标轴的距离相等，
∴，
∴；
故答案为：3．
16．4
【分析】过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N，

∵ 平分，，，
，
当C、M、E三点共线时，有最小值，
，
∵三角形的面积为12，，
∴，
．
即的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
17．130
【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°，再利用平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：由作图知AP平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵ABCD，
∴∠CMA=∠MAB=25°，
∴∠CAM=∠MAB=25°，
∴∠CAB=50°，
∵ABCD，
∴∠C=180°-∠CAB=130°．
故答案为：130．
【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠MAB=∠CMA=25°是解题关键．
18．证明见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得进而即可得到证明．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点．
【点睛】本题考查了角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
19．4
【分析】根据角平分线的性质，结合求解即可．
【详解】解：∵BD平分交AC于点D，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了解平分线的性质，正确得出是解答本题的关键．
20．（1）见解析；（2）BE－CF＝EF，理由见解析
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED和DF＝CF，然后即可证明BE＋CF＝EF．
（2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【详解】解：(1)理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴BE＋CF＝EF.
(2)BE－CF＝EF.理由如下：由(1)知BE＝ED，∵EF∥BC，CD平分∠ACG，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.
【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．
21．见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．见解析
【分析】作射线，要证明点在的平分线上，可以转化为证明射线平分，利用直角三角形全等的判定和性质即可得证．
【详解】证明：如图所示，作射线；
∵，（已知），
∴．
又∵（公共边），（已知），
∴（HL）．
∴（角平分线的定义），
∴平分，
即点在的平分线上．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上；解题的关键是利用直角三角形的全等的判定和性质解答．
23．(1)见解析
(2)结论：，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分；
（2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴在和中，
，
∴
∴，
∵
∴平分；
（2）解：结论：
理由：∵
∴
∵
∴
∵，
∵
即：．
24．见解析.
【分析】过点作，，通过证和全等，得到ME=MF，从而得到平分.
【详解】证明：如图，过点作，，垂足分别为、．
∴．
在和中，，
∴≌．∴．
又，，
∴点在的平分线上，即平分．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.通过做垂直证直角三角形全等是解题的关键.
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