9.5相似三角形判定定理的证明同步练习（含解析）

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9.5相似三角形判定定理的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，、分别交于点、，则图中相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是
A．∠BAD=∠CAE B．∠B=∠D C． D．
3．在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，是的直径，分别与相交于点，连接，现给出两个命题：
①若，则；
②若，记的面积为，四边形的面积为，则，那么( )
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题
5．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，若AD＝2，AE＝3，CE＝1，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图所示，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，有下列三个结论：①DE＝AB；②△CDE∽△CAB；③△CDE与△CAB的相似比为2.其中正确的结论有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图， ABCD的面积为20，点E，F，G为对角线AC的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延长交BC于点M，则的面积为　　
A．10 B． C．4 D．5
8．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
10．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（　　）
A．点G是△ABC的重心 B．DE∥BC C．△ABC的面积=2△ADE的面积 D．BG=2GE
11．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
12．相似三角形的判定定理： 的两个三角形相似；两边 且夹角 的两个三角形相似；三边 的两个三角形相似．
13．如图，△ABC经过平移到△DEF位置，它们的重叠部分的面积是△ABC的一半，若BC=，则BE= ．
14．如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 ．
15．如图，要使△ AEF∽△ ACB，已具备的条件是 ，从边上来说还需补充的条件是 ．
16．如图，已知点是上的一点，连接，若，，当与，之间满足关系式 时，．
三、解答题
17．【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，．
（1）求证：．
（2）若、的面积分别为和，则的值为______．
【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______．
18．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）求证：△ABF∽△CEB；
（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．
19．如图，AB、CD相交于点0，AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，则△AOD与△COB相似吗 为什么
20．如图，在中，，点是的重心，且，的延长线交于．
(1)求证：；
(2)求的值．
21．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
22．在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直．
求证：；
若设，，求与的函数解析式．
《9.5相似三角形判定定理的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B C B B D C
题号 11
答案 D
1．B
【分析】根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．
【详解】解：AB∥CD，AE∥FD
∴△CEG∽△BAG，
△CEG∽△CDH，
∵△BFH∽△CDH，
∴△CEG∽△BFH，
∴与△CEG相似三角形有3对．
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．
2．D
【详解】试题分析：根据相似三角形的判定方法依次分析各选项即可作出判断.
A．∠BAD=∠CAE，B．∠B=∠D，C．，均能使△ABC∽△ADE，不符合题意；
D．，不一定能使△ABC∽△ADE，本选项符合题意.
考点：相似三角形的判定
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.
3．C
【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，第1,2,4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个
故选C
【点睛】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行．
4．D
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角形的判定判断①；
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．
∵AC=AB，∴∠C=∠B，
∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∴∠C=∠CDE，
∴DE=CE；①正确；
连接AE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，又∠C=45°，∴AC=CE，
∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，
∴△CDE∽△CBA，
∴，∴S1=S2，②正确，
故选D．
考点：命题与定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定和性质.
5．B
【详解】∵AE＝3，CE＝1，
．
∵∠AED＝∠B，∠Ａ＝∠Ａ，
，
，
，
，
．
故选Ｂ．
6．C
【详解】分析：根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．
详解：①△ABC中， ∵DE是它的中位线，∴DE=，故本选项正确；
②△ABC中，∵DE是它的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
③∵DE=，△ADE∽△ABC，∴△CDE与△CAB的相似比为1：2． 故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，在解题时要注意与三角形的中位线的性质相结合是本题的关键．
7．B
【分析】首先连接CH，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BM：BC=2：3，继而求得答案．
【详解】连接CH，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，
点E，F，G为对角线AC的四等分点，
∴AE：EC=1：3，AF：FC=1：1，
∴AH：BC=AE：EC=1：3，AH：CM=AF：FC=1：1，
∴CM=AH，
∴CM：BC=1：3，
∴BM：BC=2：3，
∵ ABCD的面积为20，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．B
【分析】根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论.
【详解】等腰梯形是轴对称图形，故①正确；
可证明△ABC≌△DCB
∴
,
∴△AOB≌△DOC，故③正确；
AD∥BC
∴△AOD∽△BOC,故④正确.
故选B.
【点睛】本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等知识点.
9．D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
10．C
【详解】解：∵△ABC的中线BE与CD交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DE∥BC且DE=BC，所以选项A、B正确；
∵点G是△ABC的重心，根据重心性质或利用三角形相似可得BG=2GE，∴选项D正确；
由△ADE∽△ABC，可知△ABC的面积=4△ADE的面积，所以选项C错误．
故选C．
11．D
【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D．
12． 两角分别相等 成比例 相等 成比例
【分析】根据相似三角形相似的判定定理，可知：两角对应相等的两三角形相似；
两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似.
【详解】相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．
故答案为两角分别相等；成比例；相等；成比例.
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟记三角形相似的判定是关键.
13．-1.
【详解】由题意可知：OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴，即，解得：EC=1.
∴BE=BC-EC=.
14． ∠A=∠A， ∠ACD=∠B（答案不唯一）， ∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【分析】直接根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】∵∠A是公共角，
∴若∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC．
故答案为∠A=∠A，∠ACD=∠B（答案不唯一），∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【点睛】考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
15． ∠ FAE=∠ BAC
【详解】试题解析：由图示可知∠EAF=∠CAB
要使△AEF和△ACB相似
根据三角形相似的判定定理，需要补充条件是∠EAF=∠CAD，或∠AEF=∠C，或．
从边上来说是：．
故答案为∠EAF=∠CAB， ．
点睛：三角形相似的判定定理为：
①两角对应相等两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
③三边对应成比例，两个三角形相似．
16．
【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析即可.
【详解】要使△ACP∽△ABC成立,∠A是公共角,则AB:AC=AC:AP应成立,即m:n=n:AP,则.
故答案为.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
17．（1）见解析；（2）；拓展：27
【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形BFED是平行四边形，得出BF=DE，由EF∥AB证出，从而得出，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根据SAS判定两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，求出对应边的比值；
拓展 过D作DM∥AC交BC于点M，先证明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面积，在证明△ADE∽△BDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比值，最后求出△ABC的面积．
【详解】（1）∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C，
∴BF=DE，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∵∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC（SAS）．
（2）∵△ADE∽△EFC，
∴．
【拓展】．如图，过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMF=∠C，
∵DE∥BC，DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DF=EG，∠DFM=∠EGC，
∵∠DFM=∠C，
∴△AFM≌△EGC（AAS），
∴S△DFM=S△EGC=5，
∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12，
∵DE∥BC，DF∥EG，
∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A，
∴△DAE∽△BDM（AA），
∴，
∴，
∴，
同理可证△ADE∽△ABC，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似比的平方等于面积比求出答案即可．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析．
【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等；
（2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似；
（3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
（3）答：EB=EG，BE⊥EG
理由如下：如图.
∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF
∴.即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF=45°.
∴EB=EG，∠BEG=90°
∴EB=EG，BE⊥EG．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答．
19．不相似
【分析】根据“两边及其夹角法”(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)进行证明.
【详解】解: △AOD与△COB不相似.理由如下:
∵AO=4，BO=2，CO=6，OD=3，
∴AO:CO≠DO:BO,
∴△AOD与△COB不相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，利用等角的余角相等得，根据点是的重心，可得是边上的中线，所以，所以，可得，又，根据相似三角形的判定方法得到；
（2）设，由点是的重心，根据重心的性质得，根据重心的定义得是边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到，于是得到，求得，根据为边上的中线，于是得到，推出，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵点是的重心，
∴是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，设，
∵点是的重心，，
∴，为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等角的余角相等，三角形中线的性质．
21．见解析
【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．
【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm，
∴，，
∴
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
22．证明见解析
（2）
【分析】（1）要求的两个相似三角形中，已有一对直角对应相等，可利用垂直得到其余一组锐角相等即可得到相似．
（2）利用相似求得函数关系式．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵垂直，
∴．
∴．
，．
∴．
∴．
解：∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与反比例函数，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与根据实际问题列反比例函数关系式.
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